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Se stai studiando trigonometria o calcolo infinitesimale, o ti stai preparando a farlo, dovrai acquisire familiarità con il cerchio unitario. Il cerchio unitario è uno strumento essenziale utilizzato per risolvere il seno, il coseno e la tangente di un angolo. Ma come funziona? E quali informazioni devi conoscere per poterlo utilizzare?

In questo articolo spieghiamo cos'è il cerchio unitario e perché dovresti conoscerlo. Ti diamo anche tre suggerimenti per aiutarti a ricordare come utilizzare il cerchio unitario.

Immagine caratteristica: Gustavb /Wikimedia

Il cerchio unitario: un'introduzione di base

La circonferenza unitaria è una circonferenza di raggio 1. Ciò significa che per qualsiasi linea retta tracciata dal punto centrale del cerchio a qualsiasi punto lungo il bordo del cerchio, la lunghezza di quella linea sarà sempre uguale a 1. (Ciò significa anche che il diametro del cerchio sarà uguale a 2, poiché il diametro è pari al doppio della lunghezza del raggio.)

Tipicamente, il punto centrale della circonferenza unitaria è il punto in cui si intersecano gli assi x e y, o alle coordinate (0, 0):

Il cerchio unitario, o cerchio trigonometrico come è anche noto, è utile conoscerlo perché ci consente di calcolare facilmente il coseno, il seno e la tangente di qualsiasi angolo compreso tra 0° e 360° (o 0 e 2π radianti).

Come puoi vedere nel diagramma sopra, disegnando un raggio con qualsiasi angolo (contrassegnato da ∝ nell'immagine), creerai un triangolo rettangolo. Su questo triangolo, il coseno è la linea orizzontale e il seno è la linea verticale. In altre parole, coseno =coordinata x e seno = coordinata y. (La linea più lunga del triangolo, o ipotenusa, è il raggio e quindi è uguale a 1.)

Perché tutto questo è importante? Ricorda che puoi risolvere le lunghezze dei lati di un triangolo usando Teorema di Pitagora, ovvero $a^2+b^2=c^2$ (in quale UN E B sono le lunghezze dei lati del triangolo e C è la lunghezza dell'ipotenusa).

Sappiamo che il coseno di un angolo è uguale alla lunghezza della linea orizzontale, il seno è uguale alla lunghezza della linea verticale e l'ipotenusa è uguale a 1. Pertanto possiamo dire che la formula per ogni triangolo rettangolo nella circonferenza unitaria è la seguente:

$$cos^2θ+sen^2θ=1^2$$

Poiché ^2=1$, possiamo semplificare l'equazione in questo modo:

$$cos^2θ+sen^2θ=1$$

Fai attenzione a questi valori possono essere negativi a seconda dell'angolo formato e in quale quadrante cadono le coordinate x e y (lo spiegherò più dettagliatamente più avanti).

Ecco una panoramica di tutti gli angoli principali in gradi e radianti sulla circonferenza unitaria:

Cerchio unitario: gradi

Cerchio unitario: radianti

Ma cosa succede se non si forma alcun triangolo? Guardiamo cosa succede quando l'angolo è 0°, creando una linea retta orizzontale lungo l'asse x:

Su questa linea, la coordinata x è uguale a 1 e la coordinata y è uguale a 0. Lo sappiamo il coseno è uguale all'ascissa e il seno è uguale all'ordinata, quindi possiamo scrivere questo:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Cosa succede se l'angolo è 90° e forma una linea perfettamente verticale lungo l'asse y?

Qui possiamo vedere che la coordinata x è uguale a 0 e la coordinata y è uguale a 1. Questo ci dà i seguenti valori per seno e coseno:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Questo slogan è sicuramente applicabile se non sei un amante della matematica.

Perché dovresti conoscere il cerchio unitario

Come affermato sopra, il cerchio unitario è utile perché ci consente di risolvere facilmente il seno, il coseno o la tangente di qualsiasi grado o radiante. È particolarmente utile conoscere il diagramma del cerchio unitario se devi risolvere determinati valori trigonometrici per i compiti di matematica o se ti stai preparando a studiare l'analisi infinitesimale.

Ma come può aiutarti esattamente la conoscenza del cerchio unitario? Supponiamo che ti venga assegnato il seguente problema durante un test di matematica e lo sei non consentito utilizzare una calcolatrice per risolverlo:

$$sin30°$$

Da dove iniziare? Diamo di nuovo un'occhiata al grafico del cerchio unitario, questa volta con tutti gli angoli maggiori (sia in gradi che in radianti) e le loro coordinate corrispondenti:

Jim.belk /Wikimedia

Non lasciarti sopraffare! Ricorda, tutto ciò che stai risolvendo è $sin30°$. Osservando questo grafico, possiamo vederlo la coordinata y è uguale a /2$ a 30°. E poiché la coordinata y è uguale al seno, la nostra risposta è la seguente:

$$sin30°=1/2$$

Ma cosa succede se si verifica un problema che utilizza radianti anziché gradi? Il procedimento per risolverlo è sempre lo stesso. Supponiamo, ad esempio, di riscontrare un problema simile a questo:

$$cos{{3π}/4}$$

Ancora una volta, utilizzando il grafico qui sopra, possiamo vedere che la coordinata x (o coseno) per ${3π}/4$ (che è uguale a 135°) è $-{√2}/2$. Ecco come sarebbe allora la nostra risposta a questo problema:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Tutto questo è abbastanza semplice se hai il grafico del cerchio unitario sopra da utilizzare come riferimento. Ma la maggior parte delle volte (se non tutte) non sarà così e dovrai rispondere a questo tipo di domande di matematica usando solo il cervello.

Allora come puoi ricordare il cerchio unitario? Continua a leggere per i nostri migliori consigli!

Come ricordare il cerchio unitario: 3 consigli essenziali

In questa sezione ti forniamo i nostri migliori consigli per ricordare il cerchio trigonometrico in modo da poterlo utilizzare con facilità per qualsiasi problema di matematica che lo richieda.

Non consiglierei di praticare il cerchio unitario con i post-it, ma ehi, è un inizio.

N. 1: memorizza angoli e coordinate comuni

Per utilizzare il cerchio unitario in modo efficace, dovrai farlo memorizzare gli angoli più comuni (sia in gradi che in radianti) e le corrispondenti coordinate x e y.

Il diagramma sopra è un grafico circolare unitario utile da osservare, poiché include tutti gli angoli principali sia in gradi che in radianti, oltre ai punti di coordinazione corrispondenti lungo gli assi x e y.

Ecco un grafico che elenca queste stesse informazioni sotto forma di tabella:

Ora, anche se sei più che benvenuto se provi a memorizzare tutte queste coordinate e angoli, questo è molto di cose da ricordare.

Fortunatamente, c’è un trucco che puoi usare per aiutarti a ricordare le parti più importanti della circonferenza unitaria.

Guarda le coordinate sopra e noterai uno schema chiaro: tutti i punti (esclusi quelli a 0°, 90°, 270° e 360°) alternare solo tre valori (positivi o negativi):

i primi muker

• $ 1/2 $
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Ogni valore corrisponde a una linea corta, media o lunga sia per il coseno che per il seno:

Ecco cosa significano queste lunghezze:

Breve linea orizzontale o verticale= $ 1/2 $ Linea media orizzontale o verticale= ${√2}/2$ Linea lunga orizzontale o verticale= ${√3}/2$

Ad esempio, se stai cercando di risolvere $cos{π/3}$, dovresti sapere subito che questo angolo (che è uguale a 60°) indica una breve linea orizzontale sulla circonferenza unitaria. Perciò, la sua corrispondente coordinata x deve essere uguale a /2$ (un valore positivo, poiché $π/3$ crea un punto nel primo quadrante del sistema di coordinate).

Infine, sebbene sia utile memorizzare tutti gli angoli nella tabella sopra, tienilo presente gli angoli di gran lunga più importanti da ricordare sono i seguenti:

• 30° /$p/
• 45° /$p/4$
• 60° /$p/3$

Tratta i tuoi aspetti negativi e positivi come faresti con i cavi che possono potenzialmente ucciderti se collegati in modo errato.

#2: Scopri cosa è negativo e cosa è positivo

È fondamentale essere in grado di distinguere le coordinate x e y positive e negative in modo da trovare il valore corretto per un problema di trigonometria. Come promemoria, In dipende da se una coordinata sul cerchio unitario sarà positiva o negativa in quale quadrante (I, II, III o IV) rientra il punto:

Ecco un grafico che mostra se una coordinata sarà positiva o negativa in base al quadrante in cui si trova un particolare angolo (in gradi o radianti):

Ad esempio, supponiamo che ti venga assegnato il seguente problema durante un test di matematica:

$$cos210°$$

Prima ancora di provare a risolverlo, dovresti essere in grado di riconoscere che la risposta sarà un numero negativo poiché l'angolo 210° cade nel quadrante III (dove le coordinate x sono Sempre negativo).

Ora, usando il trucco che abbiamo imparato nel suggerimento 1, puoi capire che si crea un angolo di 210° una lunga linea orizzontale. Pertanto, la nostra risposta è la seguente:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Sapere come risolvere la tangente

Infine, è essenziale sapere come utilizzare tutte queste informazioni sul circolo trigonometrico e sul seno e coseno per poterlo fare risolvere la tangente di un angolo.

In trigonometria, per trovare la tangente di un angolo θ (in gradi o radianti), devi semplicemente dividi il seno per il coseno:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Ad esempio, supponiamo che tu stia cercando di rispondere a questo problema:

$$ an300°$$

Il primo passo è impostare un'equazione in termini di seno e coseno:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Ora, per trovare la tangente, dobbiamo trovare il seno E coseno di 300°. Dovresti essere in grado di riconoscere rapidamente che l'angolo di 300° rientra nel quarto quadrante, il che significa che il coseno, o coordinata x, sarà positivo e il seno, o coordinata y, sarà negativo.

Anche questo dovresti saperlo subito crea l'angolo di 300° una breve linea orizzontale e una lunga linea verticale. Pertanto, il coseno (la linea orizzontale) sarà pari a /2$ e il seno (la linea verticale) sarà pari a $-{√3}/2$ (un valore y negativo, poiché questo punto si trova nel quadrante IV) .

entità relazionale

Ora, per trovare la tangente, tutto ciò che devi fare è collegarla e risolvere:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

È ora di mettere in pratica le tue abilità matematiche!

Set di domande pratiche per il cerchio unitario

Ora che sai come appare il cerchio unitario e come usarlo, mettiamo alla prova ciò che hai imparato con alcuni problemi pratici.

Domande

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Risposte

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. $ 1/2 $
4. $-√3$

Rispondi Spiegazioni

#1: $sin45°$

Con questo problema, ci sono due informazioni che dovresti essere in grado di identificare immediatamente:

La risposta sarà positiva,poiché l'angolo 45° è nel quadrante I e il seno di un angolo è uguale alla coordinata y

• Si crea l'angolo di 45° una linea verticale di media lunghezza (per il loro)

Poiché 45° indica una linea positiva, di media lunghezza, la risposta corretta è ${√2}/2$.

Se non sei sicuro di come capirlo, disegna un diagramma per aiutarti a determinare se la lunghezza della linea sarà corta, media o lunga.

#2: $cos240°$

Come per il problema n. 1 sopra, ci sono due informazioni che dovresti essere in grado di comprendere rapidamente con questo problema:

La risposta sarà negativa,poiché l'angolo 240° è nel quadrante III e il coseno di un angolo è uguale all'ascissa

• Si crea l'angolo di 240° una breve linea orizzontale (per coseno)

Poiché 240° indica una linea negativa, corta, la risposta corretta è $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

A differenza dei problemi di cui sopra, questo problema utilizza radianti invece dei gradi. Anche se questo potrebbe far sembrare il problema più complicato da risolvere, in realtà utilizza gli stessi passaggi di base degli altri due problemi.

Innanzitutto, dovresti riconoscere che l'angolo ${5π}/3$ si trova nel quadrante IV, quindi la coordinata x, o coseno, sarà un numero positivo. Dovresti anche essere in grado di dirlo${5π}/3$crea una breve linea orizzontale.

Questo ti dà informazioni sufficienti per determinarlo IL la risposta è $ 1/2$.

#4: $ an{2π}/3$

Questo problema riguarda la tangente anziché il seno o il coseno, il che significa che richiederà un po' più di matematica da parte nostra. Prima di tutto, ricorda la formula base per trovare la tangente:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Ora, prendiamo il grado che ci è stato dato: ${2π}/3$—e inseriscilo in questa equazione:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Ora dovresti essere in grado di risolvere separatamente il seno e il coseno utilizzando ciò che hai memorizzato sulla circonferenza unitaria. Poiché l'angolo ${2π}/3$ è nel quadrante II, la coordinata x (o coseno) sarà negativa e la coordinata y (o seno) sarà positiva.

Successivamente, dovresti essere in grado di determinare, basandosi solo sull'angolo, quale è la linea orizzontale una breve riga, e la linea verticale è una lunga fila. Ciò significa che il coseno è uguale a $-1/2$ e il seno è uguale a ${√3}/2$.

Ora che abbiamo individuato questi valori, tutto ciò che dobbiamo fare è inserirli nella nostra equazione iniziale e risolvere la tangente:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Qual è il prossimo?

Se sosterrai presto il SAT o l'ACT, dovrai conoscere alcuni trigonometri in modo da poter ottenere buoni risultati nella sezione di matematica. Dai un'occhiata alle nostre guide esperte per eseguire trig su SAT e ACT in modo da poter imparare esattamente ciò che ti servirà sapere per il giorno del test!

Oltre a memorizzare la circonferenza unitaria, è una buona idea imparare come inserire i numeri e come inserire le risposte. Leggi le nostre guide per scoprire tutto su queste due utili strategie, che puoi utilizzare in qualsiasi test di matematica, inclusi SAT e ACT!