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Area sotto curva

L'area sotto curva è un'area racchiusa dalla curva e dagli assi coordinati, si calcola prendendo rettangoli molto piccoli e poi prendendo la loro somma se prendiamo rettangoli infinitamente piccoli allora la loro somma si calcola prendendo il limite della funzione così formata.

Per una data funzione f(x) definita nell'intervallo [a, b], l'area (A) sotto la curva di f(x) da 'a' a 'b' è data da A = ∫ UN B f(x)dx . L'area sotto una curva viene calcolata prendendo il valore assoluto della funzione sull'intervallo [a, b], sommato sull'intervallo.



In questo articolo impareremo a conoscere l'area sotto la curva, le sue applicazioni, esempi e altro in dettaglio.

Tabella dei contenuti

Cos'è l'area sotto curva?

L'area sotto la curva è l'area racchiusa da qualsiasi curva con l'asse x e date condizioni al contorno, ovvero l'area delimitata dalla funzione y = f(x), asse x e la linea x = a e x = b. In alcuni casi, esiste solo una o nessuna condizione al contorno poiché la curva interseca l'asse x rispettivamente una o due volte.



L'area sotto la curva può essere calcolata utilizzando vari metodi come la somma di Reimann e Integrale definito e possiamo anche approssimare l'area utilizzando le forme base, ad esempio triangolo, rettangolo, trapezio, ecc.

Leggi in dettaglio: Calcolo in matematica

Calcolo dell'area sotto la curva

Per calcolare l'area sotto una curva, possiamo utilizzare i seguenti metodi come:



  • Utilizzo delle somme di Reimann
  • Utilizzo degli integrali definiti
  • Utilizzando l'approssimazione

Studiamo questi metodi in dettaglio come segue:

Utilizzo delle somme di Reimann

Somme Reimann viene calcolato dividendo il grafico di una determinata funzione in rettangoli più piccoli e sommando le aree di ciascun rettangolo. Quanti più rettangoli consideriamo suddividendo l'intervallo fornito, tanto più precisa sarà l'area calcolata con questo approccio; tuttavia, quanti più sottointervalli consideriamo, tanto più difficili diventano i calcoli.

La somma di Reimann può essere classificata in altre tre categorie come:

  • Sinistra Somma Reimann
  • Somma Reimann destra
  • Punto medio Somma Reimann
Somme Reimann

L'area che utilizza la somma di Reimann è data come segue:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

Dove,

  • f(x io ) è il valore della funzione che viene integrata in io th punto campione
  • Δx = (b-a)/n è la larghezza di ciascun sottointervallo,
    • UN E B sono i limiti dell'integrazione e
    • N è il numero di sottointervalli
  • rappresenta la somma di tutti i termini da i=1 a n,

Esempio: trovare l'area sotto la curva per la funzione, f(x) = x 2 tra i limiti x = 0 e x = 2.

Soluzione:

Vogliamo trovare l'area sotto la curva di questa funzione tra x = 0 e x = 2. Utilizzeremo una somma di Reimann sinistra con n = 4 sottointervalli per approssimare l'area.

Calcoliamo l'area sotto la curva utilizzando 4 sottointervalli.

Pertanto, larghezza dei sottointervalli, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Tutti e 4 i sottointervalli sono,

un = 0 = x0 1 2 3 4= 2 = b

X0= 0,x1= 0,5,x2= 1,x3= 1,5,x4= 2

Ora possiamo valutare la funzione a questi valori x per trovare le altezze di ciascun rettangolo:

f(x0) = (0)2= 0
f(x1) = (0,5)2= 0,25
f(x2) = (1)2= 1
f(x3) = (1,5)2= 2,25
f(x4) = (2)2= 4

Esempio di area sotto la curva

L'area sotto la curva può ora essere approssimata sommando le aree dei rettangoli formati da queste altezze:

A ≈ Δx[f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Pertanto, l'area sotto la curva di f(x) = x2tra x = 0 e x = 2, approssimato utilizzando una somma di Reimann sinistra con 4 sottointervalli, è circa 1,25.

Utilizzo degli integrali definiti

L'integrale definito è quasi uguale alla somma di Reimann ma qui il numero di sottointervalli si avvicina all'infinito. Se la funzione è data per l'intervallo [a, b] allora l'integrale definito è definito come:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Un integrale definito fornisce l'esatta area sotto la curva, a differenza della somma di Reimann. L'integrale definito si calcola trovando l'antiderivativa della funzione e valutandola ai limiti dell'integrazione.

Area rispetto all'asse X

La curva mostrata nell'immagine seguente è rappresentata utilizzando y = f(x). Dobbiamo calcolare l'area sotto la curva rispetto all'asse x. I valori limite per la curva sull'asse x sono rispettivamente a e b. L'area A sotto questa curva rispetto all'asse x è calcolata tra i punti x = a e x = b. Consideriamo la seguente curva:

Area rispetto all'asse X

La formula per l'area sotto la curva rispetto all'asse x è data da:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

Dove,

  • UN è l'area sotto la curva
  • E O f(x) è l'equazione della curva
  • UN, E B sono valori x o limite di integrazione, per i quali dobbiamo calcolare l'area

Area rispetto all'asse Y

La curva mostrata nell'immagine sopra è rappresentata utilizzando x = f(y). Dobbiamo calcolare l'area sotto la curva rispetto all'asse Y. I valori limite per la curva sull'asse Y sono rispettivamente a e b. L'area A sotto questa curva rispetto all'asse Y tra i punti y = a e y = b. Consideriamo la seguente curva:

Area rispetto all'asse Y

La formula per l'area sotto la curva rispetto all'asse y è data da:

clausole sql

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

Dove,

  • UN è l'area sotto la curva
  • X O f(y) è l'equazione della curva
  • un, b sono le intercetta y

Saperne di più, Area tra due curve

Area approssimativa sotto la curva

L'approssimazione dell'area sotto la curva implica l'utilizzo di forme geometriche semplici, come rettangoli o trapezi, per stimare l'area sotto la curva. Questo metodo è utile quando la funzione è difficile da integrare o quando non è possibile trovare un'antiderivativa della funzione. La precisione dell'approssimazione dipende dalla dimensione e dal numero delle forme utilizzate.

Calcolo dell'area sotto la curva

Possiamo facilmente calcolare l'area delle varie curve utilizzando i concetti discussi nell'articolo fornito. Consideriamo ora alcuni esempi di calcolo dell'Area Sotto la Curva per alcune curve comuni.

Area sotto la curva: parabola

Sappiamo che una parabola standard è divisa in due parti simmetriche dall'asse x o dall'asse y. Supponiamo di prendere una parabola y2= 4ax e quindi la sua area va calcolata da x = 0 a x = a. E se necessario raddoppiamo la sua area per trovare l'area della parabola in entrambi i quadranti.

Area sotto la curva: parabola

Area di calcolo,

E2= 4 assi

y = √(4ax)

A = 2∫0UNy.dx

A = 2∫0UN√(4ax).dx

A = 4√(a)∫0UN√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a3/2}

A = 8/3a2

Pertanto, l'area sotto la parabola da x = 0 a x = a è 8/3a 2 unità quadrate

Area sotto la curva: cerchio

Un cerchio è una curva chiusa la cui circonferenza è sempre equidistante dal suo centro. La sua area si calcola calcolando prima l'area del primo quadrante e poi moltiplicandola per 4 per tutti e quattro i quadranti.

Supponiamo di prendere una circonferenza x2+ e2= un2e poi si calcola la sua area da x = 0 a x = a nel primo quadrante. E se necessario quadruplichiamo la sua area per trovare l'area del cerchio.

Area sotto la curva: cerchio

Area di calcolo,

X2+ e2= un2

y = √(a2- X2).dx

A = 4∫0UNy.dx

A = 4∫0UN√(a2- X2).dx

A = 4[x/2√(a2- X2) + a2/2 senza-1(x/a)]UN0

A = 4[{(a/2).0 + a2/2.senza-1} – 0]

A = 4(a2/2)(p/2)

A = πa2

Pertanto, l'area sotto il cerchio è papà 2 unità quadrate

Area sotto la curva: ellisse

Un cerchio è una curva chiusa. La sua area si calcola calcolando prima l'area del primo quadrante e poi moltiplicandola per 4 per tutti e quattro i quadranti.

Supponiamo di prendere un cerchio (x/a)2+ (sì/b)2= 1 e quindi si calcola la sua area da x = 0 a x = a nel primo quadrante. E se necessario quadruplichiamo la sua area per trovare l'area dell'ellisse.

Area sotto la curva: ellisse

Area di calcolo,

(x/d)2+ (sì/b)2= 1

y = b/a√(a2- X2).dx

A = 4∫0UNy.dx

A = 4b/a∫0UN√(a2- X2).dx

A = 4b/a[x/2√(a2- X2) + a2/2 senza-1(x/d)]UN0

A = 4b/a[{(a/2).0 + a2/2.senza-1} – 0]

A = 4b/a(a2/2)(p/2)

A = πab

Pertanto, l'area sotto l'ellisse è πab unità quadrate.

Formule dell'area sotto la curva

La formula per i vari tipi di calcolo dell'area sotto curva è riportata di seguito:

Tipo di zona

Formula dell'area

Area utilizzando la somma di Riemannold{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}
Area rispetto all'asse yold{A = int_{a}^{b}f(y)dy}
Area rispetto all'asse xold{A = int_{a}^{b}f(x)dx}
Area sotto la parabola2∫UNB√(4ax).dx
Area sotto il cerchio4∫UNB√(a2- X2).dx
Area sotto l'ellisse4b/a∫UNB√(a2- X2).dx

Inoltre, Leggi

  • Integrali
  • L'area come integrale definito

Esempi di esempio sull'area sotto la curva

Esempio 1: Trova l'area sotto la curva y 2 = 12x e l'asse X.

Soluzione:

L'equazione della curva data è y2= 12x

Questa è un'equazione della parabola con a = 3 quindi y2= 4(3)(x)

Il grafico per l'area richiesta è mostrato di seguito:

Esempio 1

L'asse X divide la parabola sopra in 2 parti uguali. Quindi possiamo trovare l'area nel primo quadrante e poi moltiplicarla per 2 per ottenere l'area richiesta

Quindi, possiamo trovare l'area richiesta come:

A = 2int_{a}^{b}ydx

A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 mq

Esempio 2: Calcola l'area sotto la curva x = y 3 – 9 tra i punti y = 3 e y = 4.

Soluzione:

Dato, l'equazione della curva è x = y3– 9

I punti di confine sono (0, 3) e (0, 4)

Poiché l'equazione della curva è della forma x = f(y) e i punti sono anche sull'asse Y, utilizzeremo la formula,

A = int_{a}^{b}x.dy

A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 mq

Esempio 3: Calcola l'area sotto la curva y = x 2 – 7 tra i punti x = 5 e x = 10.

Soluzione:

Dato, la curva è y = x2−7 e i punti di confine sono (5, 0) e (10, 0)

Pertanto l’area sotto la curva è data da:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 mq

Esempio 4: Trova l'area racchiusa dalla parabola y 2 = 4ax e la linea x = a nel primo quadrante.

Soluzione:

La curva e la linea data possono essere disegnate come segue:

Esempio 4

Ora, l'equazione della curva è y2= 4 assi

tabella ascii in c

I punti di confine risultano essere (0, 0) e (a, 0)

Quindi l'area rispetto all'asse X può essere calcolata come:

A=int_{0}^{a}ydx

A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

A=frac{4a^2}{3} sq. units

Esempio 5: Trova l'area coperta dal cerchio x 2 + e 2 = 25 nel primo quadrante.

Soluzione:

Dato, x2+ e2= 25

La curva può essere disegnata come:

Esempio 5

L'area richiesta è stata ombreggiata nella figura sopra. Dall'equazione possiamo vedere che il raggio del cerchio è 5 unità.

Come, x2+ e2= 25

y = sqrt{25-x^2}

Per trovare l'area useremo:

A = int_{a}^{b}ydx

A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 unità quadrate

Domande frequenti sull'area sotto curva

Definisci l'area sotto una curva.

La regione racchiusa dalla curva, dall'asse e dai punti di confine viene definita area sotto la curva. Utilizzando gli assi delle coordinate e la formula di integrazione, l'area sotto la curva è stata determinata come un'area bidimensionale.

Come calcolare l'area sotto una curva?

Esistono tre metodi per trovare l'area sotto la curva, ovvero:

  • Somme Reimann implicano la divisione della curva in rettangoli più piccoli e l'aggiunta delle loro aree, con il numero di sottointervalli che influenzano la precisione del risultato.
  • Integrali definiti sono simili alle somme di Reimann ma utilizzano un numero infinito di sottointervalli per fornire un risultato esatto.
  • Metodi di approssimazione vengono utilizzate forme geometriche note per approssimare l'area sotto la curva.

Qual è la differenza tra un integrale definito e una somma di Reimann?

La differenza fondamentale tra un integrale definito e una somma di Reimann è che un integrale definito rappresenta l'area esatta sotto una determinata curva mentre una somma di Reimann rappresenta il valore approssimativo dell'area e l'accuratezza della somma dipende dalla dimensione della partizione scelta.

L'area sotto la curva può essere negativa?

Se la curva è sotto l'asse o si trova nei quadranti negativi dell'asse delle coordinate, l'area sotto la curva è negativa. Anche in questo caso l'area sotto la curva viene calcolata utilizzando l'approccio convenzionale e poi la soluzione viene modulata. Anche nei casi in cui la risposta è negativa viene preso in considerazione solo il valore dell’area e non il segno negativo della risposta.

Cosa rappresenta l'area sotto la curva nelle statistiche?

L'area sotto la curva (ROC) è la misura dell'accuratezza di un test diagnostico quantitativo.

Come si interpreta il segno dell'area sotto una curva?

Il segno dell'area mostra che l'area sotto la curva è sopra l'asse x o sotto l'asse x. Se l'area è positiva, l'area sotto la curva è sopra l'asse x e se è negativa, l'area sotto la curva è sotto l'asse x.

Come viene approssimata l'area sotto la curva?

Segmentando la regione in piccoli rettangoli, è possibile stimare approssimativamente l'area sotto la curva. E sommando le aree di questi rettangoli, si può ottenere l'area sotto la curva.