I numeri complessi sono la naturale continuazione dei numeri reali. Nell'età moderna i numeri complessi vengono utilizzati in molti campi come l'elaborazione dei segnali digitali, la crittografia e molti campi relativi ai computer.
In questo articolo impareremo a conoscere i numeri immaginari, i numeri complessi e il loro tipo, varie operazioni sui numeri complessi, le proprietà dei numeri complessi, l'applicazione dei numeri complessi, ecc.
Definizione di numeri complessi
Numeri complessi sono i numeri del modulo (a+ib) Dove UN & B sono i numeri reali e io è un'unità immaginaria chiamata iota che rappresenta √-1. Ad esempio, 2 + 3i è un numero complesso in cui 2 è un numero reale e 3i è un numero immaginario. I numeri complessi possono essere scritti come a + ib dove a e b sono numeri razionali che possono essere rappresentati su una linea numerica che si estende a infinito .
Modulo del numero complesso
Il modulo del numero complesso è il valore assoluto e rappresenta la distanza tra l'origine e il punto dato. È noto anche come grandezza del numero complesso. Consideriamo un numero complesso z = a + ib quindi il modulo di z è definito come:
|z| = √(a 2 + b 2 )
Dove,
- UN è la parte reale del numero complesso z, e
- B è la parte immaginaria del numero complesso z.
Argomento del numero complesso
L'angolo compreso tra il raggio vettore di un numero complesso e l'asse x positivo è chiamato argomento di un numero complesso. Per un numero complesso z = a + ib, è matematicamente dato da:
θ = abbronzatura -1 (b/a)
Dove,
- UN è la parte reale del numero complesso z, e
- B è la parte immaginaria del numero complesso z.
Potenza di i(iota)
L'i(iota) è definito come la radice quadrata di -1. Pertanto, qualsiasi potenza di i può essere espressa come una moltiplicazione ripetuta di i per se stesso, ovvero
- io = √(-1)
- io2= -1
- io3= – i
- io4= 1
- io5= io
- io6= – 1
- e così via..
Necessità di numeri complessi
Nei tempi antichi, le persone conoscevano solo i numeri naturali come questi numeri sono di natura più intuitiva poiché il cervello umano li comprende già utilizzando immagini di cose come pecore e cibo. Abbiamo quindi solo l’insieme dei numeri naturali ( N ) ma nei numeri naturali non esiste soluzione all'equazione x + a = b (a> b) e a, b ∈ N. Pertanto, è nata un'estensione dei numeri naturali, ovvero Integers( IO ).
Ora, sempre in questo insieme di numeri, non esiste soluzione all'equazione ax = b (a ≠ 0) e a, b ∈ I, dove a e b sono entrambi numeri interi. Pertanto, un insieme di numeri interi (I) viene esteso a un insieme di numeri razionali ( Q ).
Ancora una volta, in questo insieme di numeri razionali, non esiste soluzione all'equazione x2= a (a> 0) e a ∈ Q. Quindi, Q è esteso per includere numeri tali che x2= a(per a> 0) cioè numeri irrazionali. Questo insieme si chiama Numeri Reali ed è rappresentato da R .
Ora, per molto tempo si è pensato che non fosse necessario estendere questo insieme di numeri reali per formarne un altro più grande poiché questa raccolta di numeri sembra completa. Ma ancora una volta è sorto un nuovo problema in questo insieme di numeri, cioè non esiste un numero reale tale che x2= a (a <0) e a ∈ R. Pertanto, l'insieme dei numeri reali viene esteso ulteriormente per includere tutti questi valori e denominato questo insieme Numeri complessi ed è rappresentato da C .
Classificazione dei numeri complessi
Come sappiamo la forma standard di un numero complesso è z = (a + io b) dove a, b ∈ R e i è iota (un'unità immaginaria). Quindi a seconda dei valori di a (detta parte reale) e b (detta parte immaginaria), i numeri complessi si classificano in quattro tipologie:
- Numero complesso zero
- Numeri puramente reali
- Numeri puramente immaginari
- Numeri immaginari
Impariamo a conoscere queste tipologie in dettaglio.
Numero complesso zero
Per ogni numero complesso z = a + ib se a = 0 e b = 0, allora il numero complesso è chiamato numero complesso zero. Ad esempio, l'unico esempio di questo è 0.
Numeri puramente reali
Per ogni numero complesso z = a + ib se a ≠ 0 & b = 0, allora il numero complesso è chiamato numero puramente reale, cioè un numero senza parte immaginaria. Tutti i numeri reali ne sono esempi, ad esempio 2, 3, 5, 7, ecc.
Numeri puramente immaginari
Per ogni numero complesso z = a + ib se a = 0 & b ≠ 0, allora un numero complesso è chiamato numero puramente immaginario, cioè un numero senza parte reale. Tutti i numeri senza parti reali sono esempi di questo tipo di numero, ad esempio -7i, -5i, -i, i, 5i, 7i, ecc.
Numeri immaginari
Per ogni numero complesso z = a + ib se a ≠ 0 & b ≠ 0, allora un numero complesso è chiamato an numero immaginario . Ad esempio, (-1 – i), (1 + i), (1 – i), (2 + 3i), ecc.
Diverse forme di numeri complessi
Esistono varie forme di numeri complessi che sono,
- Forma rettangolare
- Forma polare
- Forma esponenziale
Ora impariamo a conoscerli in dettaglio.
età di pete davidson
Forma rettangolare
Forma rettangolare È chiamato anche Modulo standard ed è rappresentato da (a + ib), dove a e b sono i numeri reali.
Ad esempio: (5 + 5i), (-7i), (-3 – 4i), ecc.
Forma polare
Forma polare è la rappresentazione di un numero complesso in cui coordinate polari [dove le coordinate sono rappresentate come (r, θ), dove r è la distanza dall'origine e θ è l'angolo tra la linea che unisce il punto e l'origine e l'asse x positivo) vengono utilizzati per rappresentare un numero complesso. Qualsiasi numero complesso è rappresentato come r [cosθ + i sinθ].
Ad esempio: [cos π/2 + i sin π/2], 5[cos π/6 + i sin π/6], ecc.
Forma esponenziale
Forme esponenziali dei numeri complessi è la rappresentazione dei numeri complessi utilizzando la formula di Eulero e in questa forma il numero complesso è rappresentato da reio, dove r è la distanza di un punto dall'origine e θ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio vettore.
Ad esempio: eio(0), Èio(π/2), 5.eio(π/6), eccetera.
Nota: Tutte e tre le forme dei numeri complessi discussi sopra sono interconvertibili, cioè possono essere convertiti da una forma all'altra molto facilmente.
Operazioni su numeri complessi
Sui Numeri Complessi è possibile eseguire le seguenti operazioni:
- Aggiunta
- Sottrazione
- Moltiplicazione
- Divisione
- Coniugazione
Addizione di numeri complessi
Possiamo sommare due numeri complessi semplicemente sommando separatamente le loro parti reale e immaginaria.
Ad esempio, (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i.
Sottrazione di numeri complessi
Possiamo sottrarre due numeri complessi semplicemente sottraendo separatamente la loro parte reale e quella immaginaria.
Ad esempio, (3 + 2i) – (1 + 4i) = 2 – 2i.
Moltiplicazione di numeri complessi
Possiamo moltiplicare due numeri complessi utilizzando la proprietà distributiva e il fatto che i2= -1.
Ad esempio, (3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i2= 3 + 14i – 8 = -5 + 14i.
Divisione di numeri complessi
Possiamo dividere un numero complesso per un altro, semplicemente moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per il complesso coniugato del denominatore e semplificando ulteriormente l'espressione.
Ad esempio, (3 + 2i)/(1 + 4i) = (3 + 2i)(1 – 4i)/(1 + 4i)(1 – 4i) = (11 – 10i)/17.
Coniugazione di numeri complessi
Possiamo facilmente trovare il coniugato di un numero complesso, semplicemente cambiando il segno della sua parte immaginaria. Il coniugato di un numero complesso è spesso indicato con una barra sopra il numero, come z̄.
Ad esempio, il coniugato di 3 + 2i è 3 – 2i.
Identità per numeri complessi
Per due numeri complessi qualsiasi z1e z2si possono dare le seguenti identità algebriche:
- (Con 1 +z 2 ) 2 = (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 +2z 1 ×z 2
- (Con 1 - Con 2 ) 2 = (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 – 2z 1 ×z 2
- (Con 1 ) 2 - (Con 2 ) 2 = (z 1 +z 2 )(Con 1 - Con 2 )
- (Con 1 +z 2 ) 3 = (z 1 ) 3 + 3(z 1 ) 2 Con 2 +3(z 2 ) 2 Con 1 + (z 2 ) 3
- (Con 1 - Con 2 ) 3 = (z 1 ) 3 – 3(z 1 ) 2 Con 2 +3(z 2 ) 2 Con 1 - (Con 2 ) 3
Formule relative ai numeri complessi
Esistono alcune formule relative ai numeri complessi, alcune delle quali sono le seguenti:
La formula di Eulero
La Formula di Eulero mostra la relazione tra la potenza immaginaria dell'esponente e il rapporto trigonometrico sin e cos ed è data da:
È ix = cos x + i peccato x
l'attrice cinematografica Kajal
Formula di De Moivre
Formula di De Moivre esprime il nthpotenza di un numero complesso in forma polare ed è data da:
(cos x + io peccato x) N = cos(nx) + i sin(nx)
Piano complesso
Il piano su cui i numeri complessi sono rappresentati in modo univoco è chiamato piano complesso o piano di Argand o piano gaussiano.
Il piano Complesso ha due assi:
- Asse X o Asse Reale
- Asse Y o asse immaginario
Asse X o Asse Reale
oggetto Java su JSON
- Tutti i numeri complessi puramente reali sono rappresentati unicamente da un punto su di essi.
- La parte reale Re(z) di tutti i numeri complessi viene tracciata rispetto ad essa.
- Ecco perché viene chiamato anche asse X Asse reale .
Asse Y o asse immaginario
- Tutti i numeri complessi puramente immaginari sono rappresentati in modo univoco da un punto su di essi.
- La parte immaginaria Im(z) di tutti i numeri complessi viene tracciata rispetto ad essa.
- Ecco perché viene chiamato anche asse Y Asse immaginario .
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
Come sappiamo, ogni numero complesso (z = a + i b) è rappresentato da un unico punto p(a, b) sul piano complesso e ogni punto sul piano complesso rappresenta un unico numero complesso.
Per rappresentare qualsiasi numero complesso z = (a + i b) sul piano complesso segui queste convenzioni:
- La parte reale di z (Re(z) = a) diventa la coordinata X del punto p
- La parte immaginaria di z (Im(z) = b) diventa la coordinata Y del punto p
Ed infine z (a + i b) ⇒ p (a, b) che è un punto del piano complesso.
Proprietà dei numeri complessi
Esistono varie proprietà dei numeri complessi, alcune delle quali sono le seguenti:
- Per ogni numero complesso z = a + ib, se z = 0 allora a = 0 così come b = 0.
- Per 4 numeri reali a, b, c e d tali che z1= a + ib e z2= c + id. Se z1=z2allora a = c e b = d.
- L'addizione di un numero complesso con il suo coniugato dà come risultato un numero puramente reale, ovvero z + z̄ = numero reale.
Sia z = a + ib,
z + z̄ = a + uno + a – uno
⇒ z + z̄ = 2a (che è puramente reale)
- Anche il prodotto di un numero complesso con i suoi risultati coniugati è un numero puramente reale, ovvero z × z̄ = numero reale
Sia allora z = a + ib
z × z̄ = (a + uno) × (a – uno)
⇒ z × z̄= a2- io2B2
⇒ z × z̄ = a2+ b2(che è puramente reale)
- I numeri complessi lo sono commutativo nell'ambito dell'operazione di addizione e moltiplicazione. Consideriamo due numeri complessi z1e z2, poi
Con 1 +z 2 =z 2 +z 1
Con 1 ×z 2 =z 2 ×z 1
- I numeri complessi lo sono associativo con l'operazione di addizione e moltiplicazione. Consideriamo tre numeri complessi z1, Con2, e z3Poi
(Con 1 +z 2 ) +z 3 =z 1 + (z 2 +z 3 )
(Con 1 ×z 2 )×z 3 =z 1 ×(z 2 ×z 3 )
- I numeri complessi contengono proprietà distributiva anche della moltiplicazione rispetto all'addizione. Consideriamo tre numeri complessi z1, Con2, e z3Poi
Con 1 ×(z 2 +z 3 ) = z 1 ×z 2 +z 1 ×z 3
Per saperne di più,
- Divisione di numeri complessi
- Barra Z nei numeri complessi
Esempi sui numeri complessi
Esempio 1: traccia questi numeri complessi z = 3 + 2i sul piano Complesso.
Soluzione:
Dato:
Con = 3 + 2 i
Quindi il punto è z(3, 2). Ora tracciamo questo punto sul grafico sottostante, qui in questo grafico l'asse x rappresenta la parte reale e l'asse y rappresenta la parte immaginaria.
Esempio 2: traccia questi numeri complessi z 1 = (2 + 2 i), z 2 = (-2 + 3 i), z 3 = (-1 – 3 i), z 4 = (1 – i) sul piano Complesso.
Soluzione:
Dato:
Con1= (2 + 2 i)
Con2= (-2 + 3 i)
Con3= (-1 – 3 i)
Con4= (1 – i)
Quindi i punti sono z1(2, 2), z2(-2, 3), z3(-1, -3) e z4(1, -1). Ora tracciamo questi punti sul grafico sottostante, qui in questo grafico l'asse x rappresenta la parte reale e l'asse y rappresenta la parte immaginaria.
Domande frequenti sui numeri complessi
Definire i numeri complessi.
I numeri della forma a+ib sono chiamati numeri complessi, dove a e b sono il numero reale e i è l'unità immaginaria che rappresenta la radice quadrata di -1.
Qual è la differenza tra un numero reale e un numero complesso?
La differenza tra numeri reali e complessi è che abbiamo bisogno di un solo numero per rappresentare qualsiasi numero reale, ma abbiamo bisogno di due numeri reali per rappresentare qualsiasi numero complesso.
metodo sottostringa java
Qual è la parte reale e la parte immaginaria di un numero complesso?
In un numero complesso a + ib, a è la parte reale del numero complesso e b è chiamata la parte immaginaria del numero complesso.
Qual è il coniugato complesso di un numero complesso?
Per un numero complesso a + ib, a – ib è chiamato il suo complesso coniugato. I coniugati complessi possono essere trovati semplicemente cambiando il segno della parte immaginaria.
Qual è il modulo di un numero complesso?
La distanza tra l'origine e il punto rappresentato da un numero complesso nel piano Argand è chiamata modulo di quel numero completo e per z = a + ib è matematicamente data da:
|z| = √(a 2 + b 2 )
Qual è l'argomento di un numero complesso?
L'angolo compreso tra il raggio vettore di un numero complesso e l'asse x positivo è chiamato argomento di un numero complesso e per z = a + ib è matematicamente dato da:
θ = abbronzatura -1 (b/a)
Qual è la forma polare di un numero complesso?
Per ogni numero complesso, z = a + ib, la sua forma polare è data da:
r [cos θ + i sin θ]
Qual è la formula di Eulero?
La Formula di Eulero mostra la relazione tra la potenza immaginaria dell'esponente e il rapporto trigonometrico sin e cos ed è data da:
È ix = cos x + i peccato x