Autovalori e autovettori sono le quantità scalari e vettoriali associate a Matrice utilizzato per la trasformazione lineare. Il vettore che non cambia anche dopo aver applicato le trasformazioni è chiamato autovettore e il valore scalare associato agli autovettori è chiamato Autovalori . Gli autovettori sono i vettori associati a un insieme di equazioni lineari. Per una matrice, gli autovettori sono anche chiamati vettori caratteristici e possiamo trovare l'autovettore solo di matrici quadrate. Gli autovettori sono molto utili per risolvere vari problemi di matrici ed equazioni differenziali.

In questo articolo impareremo a conoscere gli autovalori, gli autovettori per matrici e altri con esempi.

Tabella dei contenuti

• Cosa sono gli autovalori?
• Cosa sono gli autovettori?
• Equazione dell'autovettore
• Cosa sono gli autovalori e gli autovettori?
• Come trovare un autovettore?
• Tipi di autovettori
• Autovettore destro
• Autovettore sinistro
• Autovettori di una matrice quadrata
• Autovettore di una matrice 2 × 2
• Autovettore di una matrice 3×3
• Autospazio
• Applicazioni degli autovalori
• Diagonalizzare la matrice utilizzando autovalori e autovettori
• Esempi risolti su autovettori
• Domande frequenti sugli autovettori

Cosa sono gli autovalori?

Gli autovalori sono i valori scalari associati agli autovettori nella trasformazione lineare. La parola 'Eigen' è di origine tedesca che significa 'caratteristico'. Quindi questi sono i valori caratteristici che indicano il fattore di cui gli autovettori vengono allungati nella loro direzione. Non comporta il cambiamento nella direzione del vettore tranne quando l’autovalore è negativo. Quando l'autovalore è negativo la direzione è semplicemente invertita. L'equazione per l'autovalore è data da

Spento = λv

Dove,

• A è la matrice,
• v è associato all'autovettore e
• λ è l'autovalore scalare.

Cosa sono gli autovettori?

Gli autovettori per le matrici quadrate sono definiti come valori vettoriali diversi da zero che, moltiplicati per le matrici quadrate, danno il multiplo scalatore del vettore, ovvero definiamo un autovettore per la matrice A come v se specifica la condizione, Spento = λv

Il multiplo scalatore λ nel caso precedente è chiamato autovalore della matrice quadrata. Dobbiamo sempre trovare gli autovalori della matrice quadrata prima di trovare gli autovettori della matrice.

Per ogni matrice quadrata, A di ordine n × n l'autovettore è la matrice colonna di ordine n × 1. Se troviamo l'autovettore della matrice A con, Av = λv, v in questo è chiamato autovettore destro della matrice A ed è sempre moltiplicato a destra poiché la moltiplicazione di matrici non è di natura commutativa. In generale, quando troviamo l'autovettore è sempre l'autovettore giusto.

Possiamo anche trovare l'autovettore sinistro della matrice quadrata A utilizzando la relazione, vA = vl

Qui v è l'autovettore sinistro e viene sempre moltiplicato per il lato sinistro. Se la matrice A è di ordine n × n allora v è una matrice colonna di ordine 1 × n.

Equazione dell'autovettore

L'equazione dell'autovettore è l'equazione utilizzata per trovare l'autovettore di qualsiasi matrice quadrata. L'equazione dell'autovettore è,

Spento = λv

Dove,

• UN è la matrice quadrata data,
• In è l'autovettore della matrice A, e
• l è qualsiasi multiplo scalatore.

Cosa sono gli autovalori e gli autovettori?

Se A è a matrice quadrata di ordine n × n allora possiamo facilmente trovare l'autovettore della matrice quadrata seguendo il metodo discusso di seguito,

Sappiamo che l'autovettore è dato utilizzando l'equazione Av = λv, per la matrice identità di ordine uguale all'ordine di A cioè n × n utilizziamo la seguente equazione,

(A-λI)v = 0

Risolvendo l'equazione di cui sopra otteniamo vari valori di λ come λ₁, l₂, ..., l_Nquesti valori sono chiamati autovalori e otteniamo autovettori individuali correlati a ciascun autovalore.

Semplificando l'equazione di cui sopra otteniamo v che è una matrice di colonne di ordine n × 1 e v è scritta come,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Come trovare un autovettore?

L'autovettore della seguente matrice quadrata può essere facilmente calcolato utilizzando i passaggi seguenti,

Passo 1: Trovare gli autovalori della matrice A, utilizzando l'equazione det |(A – λI| =0, dove I è la matrice identità di ordine simile alla matrice A

Passo 2: Il valore ottenuto nel passaggio 2 è denominato λ₁, l₂, l₃….

Passaggio 3: Trovare l'autovettore (X) associato all'autovalore λ₁utilizzando l'equazione (A – λ₁I) X = 0

Passaggio 4: Ripetere il passaggio 3 per trovare l'autovettore associato agli altri autovalori rimanenti λ₂, l₃….

Seguendo questi passaggi si ottiene l'autovettore relativo alla matrice quadrata data.

Tipi di autovettori

Gli autovettori calcolati per la matrice quadrata sono di due tipi che sono,

• Autovettore destro
• Autovettore sinistro

Autovettore destro

L'autovettore che viene moltiplicato per la matrice quadrata data dal lato destro è chiamato autovettore destro. Si calcola utilizzando la seguente equazione,

DI _R = λV _R

Dove,

• UN è data una matrice quadrata di ordine n×n,
• l è uno degli autovalori, e
• IN _R è la matrice vettoriale colonna

Il valore di V_RÈ,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Autovettore sinistro

L'autovettore che viene moltiplicato per la matrice quadrata data dal lato sinistro è chiamato autovettore sinistro. Si calcola utilizzando la seguente equazione,

IN _l A = V _l l

Dove,

• UN è data una matrice quadrata di ordine n×n,
• l è uno degli autovalori, e
• IN _l è la matrice vettoriale riga.

Il valore di V_lÈ,

IN _l = [v ₁ , In ₂ , In ₃ ,…, In _N ]

Autovettori di una matrice quadrata

Possiamo facilmente trovare l'autovettore di matrici quadrate di ordine n × n. Ora troviamo le seguenti matrici quadrate:

• Autovettori di una matrice 2 × 2
• Autovettori di una matrice 3 × 3.

Autovettore di una matrice 2 × 2

L'autovettore della matrice 2 × 2 può essere calcolato utilizzando i passaggi sopra menzionati. Un esempio dello stesso è,

Esempio: trovare gli autovalori e l'autovettore per la matrice A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Soluzione:

Se gli autovalori sono rappresentati utilizzando λ e l'autovettore è rappresentato come v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Quindi l'autovettore viene calcolato utilizzando l'equazione,

|A-λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 e λ = -1

Pertanto, gli autovalori sono 6 e -1. Allora i rispettivi autovettori sono,

Per λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Semplificando l'equazione precedente otteniamo,

5a=2b

L'autovettore richiesto è,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Per λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

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⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

semplificando l'equazione di cui sopra otteniamo,

un = -b

L'autovettore richiesto è,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Allora gli autovettori della matrice 2 × 2 data lo sonoegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Questi sono due possibili autovettori ma molti dei corrispondenti multipli di questi autovettori possono anche essere considerati come altri possibili autovettori.

Autovettore di una matrice 3×3

L'autovettore della matrice 3 × 3 può essere calcolato utilizzando i passaggi sopra menzionati. Un esempio dello stesso è,

Esempio: trovare gli autovalori e l'autovettore per la matrice A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Soluzione:

Se gli autovalori sono rappresentati utilizzando λ e l'autovettore è rappresentato come v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Quindi l'autovettore viene calcolato utilizzando l'equazione,

|A-λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Semplificando il determinante di cui sopra otteniamo

⇒ (2-l)(l²) + 2 minuti²+ 2 minuti²= 0

⇒ (-l³) + 6 minuti²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Per λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Semplificando l'equazione precedente otteniamo

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Sia b = k₁e c = k₂

a+k₁+K₂= 0

a = -(k₁+K₂)

Pertanto, l'autovettore è,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

prendendo k₁= 1 e k₂= 0

l'autovettore è,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

prendendo k₁= 0 e k₂= 1

l'autovettore è,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Per λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Semplificando l'equazione precedente otteniamo,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Sia b = k₁e c = k₂, e prendendo k₁=k₂= 1,

noi abbiamo,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Pertanto, l'autovettore è,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Autospazio

Definiamo l'autospazio di una matrice come l'insieme di tutti gli autovettori della matrice. Tutti i vettori nell'autospazio sono linearmente indipendenti l'uno dall'altro.

Per trovare l'autospazio della matrice dobbiamo seguire i seguenti passi

Passo 1: Trova tutti gli autovalori della matrice quadrata data.

Passo 2: Per ogni autovalore trovare l'autovettore corrispondente.

Passaggio 3: Prendi l'insieme di tutti gli autovettori (diciamo A). L'insieme risultante così formato è detto autospazio del vettore seguente.

Dall'esempio sopra della matrice A 3 × 3 data, l'autospazio così formato è{egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Applicazioni degli autovalori

Alcune delle applicazioni comuni degli autovalori sono:

Algebra lineare

Diagonalizzazione: gli autovalori vengono utilizzati per diagonalizzare le matrici, semplificando i calcoli e risolvendo i sistemi lineari in modo più efficiente.

Esponenziazione della matrice: gli autovalori svolgono un ruolo cruciale nel calcolo dell'elevamento a potenza di una matrice.

Meccanica quantistica

Equazione di Schrödinger: gli autovalori dell'operatore hamiltoniano corrispondono ai livelli energetici dei sistemi quantistici, fornendo informazioni sui possibili stati.

Vibrazioni e Analisi Strutturale:

Vibrazioni meccaniche: gli autovalori rappresentano le frequenze naturali dei sistemi vibrazionali. Nell'analisi strutturale, aiutano a comprendere la stabilità e il comportamento delle strutture.

Statistiche

Matrice di covarianza: nelle statistiche multivariate, gli autovalori vengono utilizzati nell'analisi delle matrici di covarianza, fornendo informazioni sulla diffusione e sull'orientamento dei dati.

Grafica computerizzata

Analisi delle componenti principali (PCA): gli autovalori vengono utilizzati nella PCA per trovare i componenti principali di un set di dati, riducendo la dimensionalità pur mantenendo le informazioni essenziali.

Sistemi di controllo

Stabilità del sistema: gli autovalori della matrice del sistema sono fondamentali nel determinare la stabilità di un sistema di controllo. L'analisi della stabilità aiuta a garantire che la risposta del sistema sia limitata.

Diagonalizzare la matrice utilizzando autovalori e autovettori

Autovalori e autovettori vengono utilizzati per trovare matrici diagonali. UN matrice diagonale è una matrice che può essere scritta come,

A = XDX ^-1

Dove,

• D è la matrice che si forma sostituendo gli 1 nella matrice identità con autovalori, e
• X è la matrice formata dagli autovettori.

Possiamo comprendere il concetto di matrice diagonale prendendo il seguente esempio.

Esempio: diagonalizzare la matrice A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Soluzione:

Abbiamo già risolto gli autovalori e gli autovettori di A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Gli autovalori di A sono λ = 0, λ = 0 e λ = -8

Gli autovettori di A sonoegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Così,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Possiamo facilmente trovare l'inverso di X come,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Per saperne di più,

• Operazioni elementari sulle matrici
• Matrice identità
• Inverso di una matrice

Esempi risolti su autovettori

Esempio 1: Trova gli autovettori della matrice A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Soluzione:

Gli autovalori della matrice si trovano utilizzando,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Pertanto, gli autovalori sono,

λ = 1, 1, 1

Poiché tutti gli autovalori sono uguali, abbiamo tre autovettori identici. Troveremo gli autovettori per λ = 1, utilizzando (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

risolvendo l'equazione di cui sopra otteniamo,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Allora l'autovettore è,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Esempio 2: Trova gli autovettori della matrice A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Soluzione:

Gli autovalori della matrice si trovano utilizzando,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Pertanto, gli autovalori sono,

λ = 5,5

Poiché tutti gli autovalori sono uguali, abbiamo tre autovettori identici. Troveremo gli autovettori per λ = 1, utilizzando

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Semplificando quanto sopra otteniamo,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Allora l'autovettore è,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Domande frequenti sugli autovettori

Cosa sono gli autovettori?

Definiamo l'autovettore di qualsiasi matrice come il vettore che moltiplicando per la matrice dà come risultato il multiplo scalatore della matrice.

Come trovare gli autovettori?

L'autovettore di qualsiasi matrice A è indicato con In . L'autovettore della matrice viene calcolato trovando prima l'autovalore della matrice.

• L'autovalore della matrice si trova utilizzando la formula |A-λI| = 0 dove λ fornisce gli autovalori.
• Dopo aver trovato l'autovalore, abbiamo trovato l'autovettore con la formula Av = λv, dove v fornisce l'autovettore.

Qual è la differenza tra autovalore e autovettore?

Per ogni matrice quadrata A gli autovalori sono rappresentati da λ e si calcola con la formula |A – λI| = 0. Dopo aver trovato l'autovalore troviamo l'autovettore con Av = λv.

Cos'è la matrice diagonalizzabile?

Qualsiasi matrice che può essere espressa come prodotto delle tre matrici come XDX^-1è una matrice diagonalizzabile dove D è detta matrice diagonale.

Autovalori e autovettori sono la stessa cosa?

No, autovalori e autovettori non sono la stessa cosa. Gli autovalori sono lo scaler utilizzato per trovare gli autovettori mentre gli autovettori sono i vettori utilizzati per trovare le trasformazioni dei vettori di matrice.

L'autovettore può essere un vettore zero?

Possiamo avere autovalori pari a zero ma l'autovettore non può mai essere un vettore zero.

Cos'è la formula degli autovettori?

L'autovettore di qualsiasi matrice viene calcolato utilizzando la formula,

Spento = λv

Dove,
l è l'autovalore
In è l'autovettore