#practiceLinkDiv { display: none! importante; }Dato un numero n trova il numero di cifre negli n-esimi numeri di Fibonacci. I primi numeri di Fibonacci sono 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ....
Esempi:
Input : n = 6
Output : 1
6'th Fibonacci number is 8 and it has
1 digit.
Input : n = 12
Output : 3
12'th Fibonacci number is 144 and it has
3 digits.
Pratica consigliata ennesima cifra di Fibonacci Provalo!
UN soluzione semplice è trovare l'ennesimo numero di Fibonacci e poi contare il numero di cifre in esso contenute. Questa soluzione può portare a problemi di overflow per grandi valori di n.
UN modo diretto consiste nel contare il numero di cifre dell'ennesimo numero di Fibonacci utilizzando la formula di Binet riportata di seguito.
fib(n) = (?n - ?-n) / ?5
where
? = (1 + ?5) / 2
? = (1 - ?5) / 2
The above formula can be simplified
fib(n) = round(?n / ?5)
Here round function indicates nearest integer.
Count of digits in Fib(n) = Log10Fib(n)
= Log10(?n / ?5)
= n*Log10(?) - Log10?5
= n*Log10(?) - (Log105)/2
Come accennato in Questo G-Fact questa formula non sembra funzionare e produrre numeri di Fibonacci corretti a causa delle limitazioni dell'aritmetica in virgola mobile. Tuttavia sembra fattibile utilizzare questa formula per trovare il conteggio delle cifre nell'n-esimo numero di Fibonacci.
Di seguito è riportata l'implementazione dell'idea di cui sopra:
/* C++ program to find number of digits in nth Fibonacci number */ #include
// Java program to find number of digits in nth // Fibonacci number class GFG { // This function returns the number of digits // in nth Fibonacci number after ceiling it // Formula used (n * log(phi) - (log 5) / 2) static double numberOfDigits(double n) { if (n == 1) return 1; // using phi = 1.6180339887498948 double d = (n * Math.log10(1.6180339887498948)) - ((Math.log10(5)) / 2); return Math.ceil(d); } // Driver code public static void main (String[] args) { double i; for (i = 1; i <= 10; i++) System.out.println('Number of Digits in F('+i+') - ' +numberOfDigits(i)); } } // This code is contributed by Anant Agarwal.
# Python program to find # number of digits in nth # Fibonacci number import math # storing value of # golden ratio aka phi phi = (1 + 5**.5) / 2 # function to find number # of digits in F(n) This # function returns the number # of digitsin nth Fibonacci # number after ceiling it # Formula used (n * log(phi) - # (log 5) / 2) def numberOfDig (n) : if n == 1 : return 1 return math.ceil((n * math.log10(phi) - .5 * math.log10(5))) // Driver Code for i in range(1 11) : print('Number of Digits in F(' + str(i) + ') - ' + str(numberOfDig(i))) # This code is contributed by SujanDutta
// C# program to find number of // digits in nth Fibonacci number using System; class GFG { // This function returns the number of digits // in nth Fibonacci number after ceiling it // Formula used (n * log(phi) - (log 5) / 2) static double numberOfDigits(double n) { if (n == 1) return 1; // using phi = 1.6180339887498948 double d = (n * Math.Log10(1.6180339887498948)) - ((Math.Log10(5)) / 2); return Math.Ceiling(d); } // Driver code public static void Main () { double i; for (i = 1; i <= 10; i++) Console.WriteLine('Number of Digits in F('+ i +') - ' + numberOfDigits(i)); } } // This code is contributed by Nitin Mittal.
<script>// Javascript program to find number of // digits in nth Fibonacci number // This function returns the // number of digits in nth // Fibonacci number after // ceiling it Formula used // (n * log(phi) - (log 5) / 2) function numberOfDigits(n) { if (n == 1) return 1; // using phi = 1.6180339887498948 let d = (n * Math.log10(1.6180339887498948)) - ((Math.log10(5)) / 2); return Math.ceil(d); } // Driver Code let i; for (let i = 1; i <= 10; i++) document.write(`Number of Digits in F(${i}) - ${numberOfDigits(i)}
`); // This code is contributed by _saurabh_jaiswal </script>
// PHP program to find number of // digits in nth Fibonacci number // This function returns the // number of digits in nth // Fibonacci number after // ceiling it Formula used // (n * log(phi) - (log 5) / 2) function numberOfDigits($n) { if ($n == 1) return 1; // using phi = 1.6180339887498948 $d = ($n * log10(1.6180339887498948)) - ((log10(5)) / 2); return ceil($d); } // Driver Code $i; for ($i = 1; $i <= 10; $i++) echo 'Number of Digits in F($i) - ' numberOfDigits($i) 'n'; // This code is contributed by nitin mittal ?> Produzione
Number of Digits in F(1) - 1 Number of Digits in F(2) - 1 Number of Digits in F(3) - 1 Number of Digits in F(4) - 1 Number of Digits in F(5) - 1 Number of Digits in F(6) - 1 Number of Digits in F(7) - 2 Number of Digits in F(8) - 2 Number of Digits in F(9) - 2 Number of Digits in F(10) - 2
Complessità temporale: O(1)
Spazio ausiliario: O(1)
Un altro approccio (usando il fatto che i numeri di Fibonacci sono periodici):
La sequenza di Fibonacci è periodica modulo qualsiasi intero con periodo pari a 60 (noto come periodo di Pisano). Ciò significa che possiamo calcolare l'ennesimo numero di Fibonacci modulo 10^k per un k grande e quindi utilizzare la periodicità per calcolare il numero di cifre. Ad esempio possiamo calcolare F_n modulo 10^10 e contare il numero di cifre:
F_n_mod = F_n % 10**10
cifre = piano(log10(F_n_mod)) + 1
Di seguito è riportata l'implementazione dell'approccio di cui sopra:
strati del modello osiC++
#include
import java.util.*; public class GFG { public static long numberOfDigits(long n) { int k = 10; // module 10^k double phi = (1 + Math.sqrt(5)) / 2; //golden ratio // compute the n-th Fibonacci number modulo 10^k int a = 0 b = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { int c = (a + b) % (int) Math.pow(10 k); a = b; b = c; } int F_n_mod = b; // compute the number of digits in F_n_mod int digits = 1; while (F_n_mod >= 10) { F_n_mod /= 10; digits++; } return digits; } public static void main(String[] args) { long i; for (i = 1; i <= 10; i++) System.out.println('Number of Digits in F(' + i + ') - ' + numberOfDigits(i)); } }
import math def numberOfDigits(n): k = 10 # Golden ratio (approximately 1.618033988749895) phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2 # Compute the n-th Fibonacci number modulo 10^k a b = 0 1 # Start the loop from 2 as we already have F(0) and F(1) for i in range(2 n + 1): c = (a + b) % pow(10 k) # Update the previous Fibonacci numbers for the next iteration a = b b = c F_n_mod = b # Compute the number of digits in F_n_mod # Initialize the digit counter to 1 (as any number has at least one digit) digits = 1 # Keep dividing F_n_mod by 10 until it becomes less than 10 while F_n_mod >= 10: F_n_mod = F_n_mod // 10 # Increment the digit counter digits += 1 # Return the number of digits in the n-th Fibonacci number modulo 10^k return digits # Driver code for i in range(1 11): # Calculate and print the number of digits in F(i) modulo 10^10 print('Number of Digits in F(' + str(i) + ') - ' + str(numberOfDigits(i))) # THIS CODE IS CONTRIBUTED BY YASH AGARWAL(YASHAGARWAL2852002)
using System; class GFG { static int NumberOfDigits(long n) { int k = 10; // modulo 10^k // Compute the n-th Fibonacci number modulo 10^k int a = 0 b = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { int c = (a + b) % (int)Math.Pow(10 k); a = b; b = c; } int F_n_mod = b; // Compute the number of digits in F_n_mod int digits = 1; while (F_n_mod >= 10) { F_n_mod /= 10; digits++; } return digits; } static void Main(string[] args) { for (long i = 1; i <= 10; i++) { Console.WriteLine($'Number of Digits in F({i}) - {NumberOfDigits(i)}'); } } }
function numberOfDigits(n) { let k = 10; // module 10^k let phi = (1 + Math.sqrt(5)) / 2; // golden ratio // compute the n-th Fibonacci number modulo 10^k let a = 0 b = 1; for (let i = 2; i <= n; i++) { let c = (a + b) % Math.pow(10 k); a = b; b = c; } let F_n_mod = b; // compute the number of digits in F_n_mod let digits = 1; while (F_n_mod >= 10) { F_n_mod = Math.floor(F_n_mod / 10); digits++; } return digits; } // main function let i; for (i = 1; i <= 10; i++) console.log('Number of Digits in F(' + i + ') - ' + numberOfDigits(i)); // THIS CODE IS CONTRIBUTED BY YASH AGARWAL(YASHAGARWAL2852002)
Produzione
Number of Digits in F(1) - 1 Number of Digits in F(2) - 1 Number of Digits in F(3) - 1 Number of Digits in F(4) - 1 Number of Digits in F(5) - 1 Number of Digits in F(6) - 1 Number of Digits in F(7) - 2 Number of Digits in F(8) - 2 Number of Digits in F(9) - 2 Number of Digits in F(10) - 2
Complessità temporale: O(nk)
Spazio ausiliario: O(1)
Riferimenti:
https://r-knott.surrey.ac.uk/Fibonacci/fibFormula.html#section2
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_numero