Lo standard IEEE per l'aritmetica in virgola mobile (IEEE 754) è uno standard tecnico per il calcolo in virgola mobile stabilito nel 1985 dall' Istituto di ingegneri elettrici ed elettronici (IEEE) . Lo standard affrontava molti problemi riscontrati nelle diverse implementazioni in virgola mobile che le rendevano difficili da usare in modo affidabile e ne riducevano la portabilità. La virgola mobile dello standard IEEE 754 è oggi la rappresentazione più comune dei numeri reali sui computer, inclusi PC basati su Intel, Mac e la maggior parte delle piattaforme Unix.

Esistono diversi modi per rappresentare un numero in virgola mobile, ma nella maggior parte dei casi IEEE 754 è il più efficiente. IEEE 754 ha 3 componenti di base:

1. Il Segno della Mantissa –
   Questo è semplice come il nome. 0 rappresenta un numero positivo mentre 1 rappresenta un numero negativo.
2. L’esponente parziale –
   Il campo dell'esponente deve rappresentare sia gli esponenti positivi che quelli negativi. Viene aggiunto un bias all'esponente effettivo per ottenere l'esponente memorizzato.
3. La Mantissa Normalizzata –
   La mantissa è parte di un numero in notazione scientifica o di un numero in virgola mobile, costituito dalle sue cifre significative. Qui abbiamo solo 2 cifre, cioè O e 1. Quindi una mantissa normalizzata è una con un solo 1 a sinistra del decimale.

I numeri IEEE 754 sono divisi in due in base ai tre componenti precedenti: precisione singola e precisione doppia.

Esempio -

85.125 85 = 1010101 0.125 = 001 85.125 = 1010101.001 =1.010101001 x 2^6 sign = 0 1. Single precision: biased exponent 127+6=133 133 = 10000101 Normalised mantisa = 010101001 we will add 0's to complete the 23 bits The IEEE 754 Single precision is: = 0 10000101 01010100100000000000000 This can be written in hexadecimal form 42AA4000 2. Double precision: biased exponent 1023+6=1029 1029 = 10000000101 Normalised mantisa = 010101001 we will add 0's to complete the 52 bits The IEEE 754 Double precision is: = 0 10000000101 0101010010000000000000000000000000000000000000000000 This can be written in hexadecimal form 4055480000000000>

Valori speciali: IEEE ha riservato alcuni valori che possono presentare ambiguità.

• Zero –
  Zero è un valore speciale indicato con un esponente e una mantissa pari a 0. -0 e +0 sono valori distinti, sebbene entrambi siano uguali.
  
  
  
  
• Denormalizzato –
  Se l'esponente è composto da tutti zeri, ma la mantissa no, il valore è un numero denormalizzato. Ciò significa che questo numero non ha un presupposto iniziale prima del punto binario.

• Infinito –
  I valori +infinito e -infinito sono indicati con un esponente di tutti uno e una mantissa di tutti zeri. Il bit di segno distingue tra infinito negativo e infinito positivo. Le operazioni con valori infiniti sono ben definite in IEEE.

• Non un numero (NAN) –
  Il valore NAN viene utilizzato per rappresentare un valore che è un errore. Questo è rappresentato quando il campo esponente è tutto uno con un bit di segno zero o una mantissa che non sia 1 seguito da zeri. Questo è un valore speciale che potrebbe essere utilizzato per denotare una variabile che non contiene ancora un valore.

Simile per Doppia precisione (sostituisce semplicemente 255 con 2049), Intervalli di numeri in virgola mobile:

L'intervallo di numeri in virgola mobile positivi può essere suddiviso in numeri normalizzati e numeri denormalizzati che utilizzano solo una parte della precisione delle frazioni. Poiché ogni numero a virgola mobile ha un valore corrispondente negato, gli intervalli sopra sono simmetrici attorno allo zero.

Esistono cinque intervalli numerici distinti che i numeri in virgola mobile a precisione singola non sono in grado di rappresentare con lo schema presentato finora:

1. Numeri negativi inferiori a – (2 – 2^-23) × 2¹²⁷(overflow negativo)
2. Numeri negativi maggiori di –2^-149(underflow negativo)
3. Zero
4. Numeri positivi inferiori a 2^-149(underflow positivo)
5. Numeri positivi maggiori di (2 – 2^-23) × 2¹²⁷(eccesso positivo)

L'overflow in genere significa che i valori sono diventati troppo grandi per essere rappresentati. L'underflow è un problema meno serio perché denota semplicemente una perdita di precisione, che è garantita essere molto prossima allo zero.

Di seguito è riportata la tabella dell'intervallo effettivo totale dei numeri a virgola mobile IEEE finiti:

Operazioni speciali –