Una dichiarazione di implicazione può essere rappresentata nella forma 'se....allora'. Il simbolo ⇒ viene utilizzato per mostrare l'implicazione. Supponiamo che ci siano due affermazioni, P e Q. In questo caso, l'affermazione 'se P allora Q' può anche essere scritta come P ⇒ Q o P → Q, e verrà letta come 'P implica Q'. In questa implicazione, l'affermazione P è un'ipotesi, nota anche come premessa e antecedente, e l'affermazione Q è una conclusione, nota anche come conseguente.

Anche l’implicazione gioca un ruolo importante nell’argomentazione logica. Se si sa che l’implicazione delle affermazioni è vera, allora ogni volta che la premessa è soddisfatta, anche la conclusione deve essere vera. Per questo motivo l’implicazione è detta anche enunciato condizionale.

Alcuni esempi di implicazioni sono descritti come segue:

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• 'Se il tempo di GOA è soleggiato, allora andremo in spiaggia'.
• 'Se il club ha un sistema di sconti, allora andremo in quel club'.
• 'Se c'è il sole mentre andiamo in spiaggia, allora saremo abbronzati'.

L’implicazione logica può essere espressa in vari modi, descritti come segue:

1. Se p allora q
2. Se p, q
3. q quando p
4. Q solo se P
5. q a meno che ~p
6. q ogni volta che p
7. p è una condizione sufficiente per q
8. q segui pag
9. p implica q
10. Una condizione necessaria per p è q
11. qse p
12. q è necessario per p
13. p è una condizione necessaria per q

Ora descriveremo gli esempi di tutte le implicazioni sopra descritte con l'aiuto della premessa P e della conclusione Q. Per questo, supporremo che P = c'è il sole e Q = andrò in spiaggia.

P⇒ Q

1. SE c'è il sole ALLORA andrò in spiaggia
2. SE c'è il sole, andrò in spiaggia
3. Andrò in spiaggia QUANDO c'è il sole
4. Andrò in spiaggia SOLO SE c'è il sole
5. Andrò in spiaggia A MENO CHE non ci sia il sole
6. Andrò in spiaggia ogni volta che c'è il sole
7. C'è il sole È UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER andare al mare
8. Andrò in spiaggia SEGUI che c'è il sole
9. C'è il sole IMPLICA che andrò in spiaggia
10. UNA CONDIZIONE NECESSARIA PERCHÉ ci sia il sole è che andrò in spiaggia
11. Andrò in spiaggia SE c'è il sole
12. Andrò in spiaggia È NECESSARIO PERCHÉ c'è il sole
13. C'è il sole È UNA CONDIZIONE NECESSARIA PER andrò al mare

Quando c'è un'affermazione condizionale 'se p allora q', allora questa affermazione P ⇒ Q sarà falsa quando la premessa p è vera e la conclusione q è falsa. In tutti gli altri casi, ciò significa che quando p è falso o Q è vero, l'affermazione P ⇒ Q sarà vera. Possiamo rappresentare questa affermazione con l'aiuto di una tavola di verità in cui il falso sarà rappresentato da F e il vero sarà rappresentato da T. La tavola di verità dell'affermazione 'se P allora Q' è descritta come segue:

Non è necessario che le premesse e la conclusione siano correlate tra loro. Dalla formulazione di P e Q dipende l'interpretazione della tavola di verità.

Per esempio:

• Se Jack è fatto di plastica, allora l'oceano è verde.
• L'affermazione: Jack è fatto di plastica
• La dichiarazione: L'oceano è verde

Le due affermazioni precedenti non hanno alcun senso perché Jack è un essere umano e non potrà mai essere fatto di plastica, e un'altra affermazione L'oceano è verde non avverrà mai perché l'oceano è sempre blu e il colore dell'oceano non può essere cambiato. Come possiamo vedere, entrambe le affermazioni non sono correlate tra loro. Vale invece la tavola di verità per l’affermazione P ⇒ Q. Quindi non è una questione se la tabella della verità sia corretta o meno, ma è una questione di immaginazione e interpretazione.

Quindi in P ⇒ Q non abbiamo bisogno di alcun tipo di collegamento tra premessa e conseguente. Il significato di questi dipende solo dal valore reale di P e Q.

Queste affermazioni saranno false anche se consideriamo entrambe le affermazioni per il nostro mondo

 False ⇒ False 

Quindi, quando guardiamo la tabella della verità sopra, vediamo che quando P è falso e Q è falso, allora P ⇒ Q è vero.

Quindi, se il Jack è fatto di plastica, l’Oceano sarà verde.

Tuttavia, la premessa p e la conclusione q saranno correlate ed entrambe le affermazioni hanno senso.

Ambiguità

Può esserci un'ambiguità nell'operatore implicito. Quindi, quando usiamo l'operatore implica (⇒), in questo momento dovremmo usare le parentesi.

Per esempio: In questo esempio, abbiamo un'affermazione ambigua P ⇒ Q ⇒ R. Ora, abbiamo due affermazioni ambigue ((P ⇒ Q) ⇒ R) o (P ⇒ (Q ⇒ R)), e dobbiamo mostrare se queste affermazioni sono simili o no.

Soluzione: Lo dimostreremo con l’aiuto di una tabella di verità, descritta come segue:

Nella tabella di verità sopra, possiamo vedere che la tabella di verità di P ⇒ (Q ⇒ R) e (P ⇒ Q) ⇒ R non sono simili. Pertanto, entrambi genereranno output o risultati diversi.

Maggiori informazioni sull'implicazione

Alcuni altri esempi di implicazioni sono descritti come segue:

• Se c'è il sole, andrò a scuola.
• Se trovo un buon lavoro, guadagnerò soldi.
• Se ottengo buoni voti, i miei genitori saranno felici.

In tutti gli esempi precedenti, ci confondiamo perché non sappiamo quando un'implicazione sarà considerata vera e quando sarà considerata falsa. Per risolvere questo problema e comprendere il concetto di implicazione, utilizzeremo un esempio ipotetico. In questo esempio, supponiamo che Marry giochi a badminton con il suo ragazzo Jack, e che il suo ragazzo Jack voglia motivare un po' Marry, quindi la attira con una dichiarazione:

 'If you win then I will buy a ring for you' 

Con questa affermazione, Jack intende che se il matrimonio vince, ovviamente comprerà un anello. Attraverso questa affermazione, Jack si impegna solo quando vince Marry. In ogni caso non ha commesso nulla quando Mary è stata sciolta. Quindi alla fine della partita ci possono essere solo quattro possibilità, descritte come segue:

• Sposarsi vince: compra un anello.
• Il matrimonio vince: non comprare l'anello.
• Sposarsi perde: compra un anello.
• Sposarsi perde: non comprare l'anello.

Tuttavia, Jack non ha fatto alcuna dichiarazione relativa alla regola (B). Inoltre non ha menzionato le regole numero (C) e (D) nella sua dichiarazione, quindi se Marry perde, allora spetta totalmente a Jack comprarle un anello oppure no. In effetti, le affermazioni (A), (C) e (D) potrebbero verificarsi come risultato dell'affermazione che Jack dice a Sposarsi, ma (B) non sarà il risultato. Se si verifica il risultato (B), solo allora Jack verrà colto in una bugia. In tutti gli altri tre casi, cioè (A), (C) e (D), avrà detto la verità.

Ora useremo l'affermazione più semplice in modo da poter definire simbolicamente l'affermazione di Jack in questo modo:

 P: you win Q: I will buy a ring for you 

In questa implicazione usiamo il simbolo logico ⇒, che può essere letto come 'implica'. Formeremo l'enunciato composto di Jack con l'aiuto di mettere questa freccia da P a Q in questo modo:

 P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you. 

In conclusione, abbiamo osservato che l'implicazione sarà falsa solo quando P è vero e q è falso. Secondo questa affermazione, Marry vince la partita, ma purtroppo Jack non compra l'anello. In tutti gli altri casi/risultati, l’affermazione sarà vera. Di conseguenza, la tavola di verità per le implicazioni è descritta come segue:

L'elenco delle equazioni logiche corrispondenti per l'implicazione è descritto come segue:

 T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T 

Esempi di implicazione:

Esistono vari esempi di implicazioni e alcuni di essi sono descritti come segue:

Esempio 1: Supponiamo che ci siano quattro affermazioni, P, Q, R e S dove

P: Jack è a scuola

D: Jack sta insegnando

R: Jack sta dormendo

S: Jack è malato

Ora descriveremo alcune affermazioni simboliche che sono coinvolte in queste semplici affermazioni.

1. P→R
2. S → ~P
3. ~Q → (S ∧ R)
4. (P∨R) → ~Q
5. (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)

Qui dobbiamo mostrare la rappresentazione dell'interpretazione di queste affermazioni simboliche in parole.

Soluzione:

Esempio 2: In questo esempio, abbiamo un'implicazione P → Q. Qui abbiamo anche altre tre affermazioni composte che sono naturalmente associate a questa implicazione che è contropositiva, inversa e opposta all'implicazione. La relazione tra tutte queste quattro affermazioni è descritta con l'aiuto di una tabella, descritta come segue:

Considereremo ora un esempio di implicazione, che contiene l'affermazione: 'Se studi bene, ottieni buoni voti'. Questa affermazione è nella forma P → Q, dove

P: studi bene

D: ottieni buoni voti

Ora utilizzeremo le istruzioni P e Q e mostreremo le quattro istruzioni associate in questo modo:

Coinvolgimento: Se studi bene, prendi buoni voti.

Conversare: Se prendi buoni voti, studi bene.

Inverso: Se non studi bene, non prendi buoni voti.

Contrapositivo: Se non prendi buoni voti, non studi bene.

I valori di verità di tutte le affermazioni associate di cui sopra sono descritti con l'aiuto di una tabella di verità, descritta come segue

Nella tabella sopra, possiamo vedere che l'implicazione (P → Q) e il suo contropositivo (~Q → ~P) hanno lo stesso valore nelle rispettive colonne. Ciò significa che entrambi sono equivalenti. Quindi possiamo dire che:

 P → Q = ~Q → ~P 

Allo stesso modo, possiamo vedere che il contrario e l'inverso hanno entrambi valori simili nelle rispettive colonne. Ma questo non farà alcuna differenza perché l'inverso è il contropositivo del contrario. Allo stesso modo, l'implicazione originale può derivare dal contropositivo del contropositivo. (Ciò significa che se neghiamo P e Q e poi invertiamo la direzione della freccia, e successivamente ripeteremo di nuovo il processo, ciò significa negare ~P e ~Q, e invertire di nuovo la direzione della freccia, in questo caso, otterremo al punto di partenza).