Un albero di copertura minimo (MST) o spanning tree di peso minimo per un grafo pesato, connesso e non orientato è uno spanning tree con un peso inferiore o uguale al peso di ogni altro spanning tree. Per ulteriori informazioni sull'albero ricoprente minimo, fare riferimento a Questo articolo .
Introduzione all’algoritmo di Kruskal:
Qui discuteremo L'algoritmo di Kruskal per trovare l'MST di un dato grafico ponderato.
Nell'algoritmo di Kruskal, ordina tutti i bordi del grafico dato in ordine crescente. Quindi continua ad aggiungere nuovi bordi e nodi nel MST se il bordo appena aggiunto non forma un ciclo. Inizialmente seleziona il bordo con ponderazione minima e infine quello con ponderazione massima. Quindi possiamo dire che fa una scelta localmente ottimale in ogni passo per trovare la soluzione ottimale. Quindi questo è a Di seguito sono riportati i passaggi per trovare MST utilizzando l'algoritmo di Kruskal:
- Ordina tutti i bordi in ordine non decrescente in base al loro peso.
- Scegli il bordo più piccolo. Controlla se forma un ciclo con lo spanning tree formatosi finora. Se il ciclo non è formato, includere questo bordo. Altrimenti, scartalo.
- Ripetere il passaggio n. 2 finché non ci sono bordi (V-1) nello spanning tree.
Passo 2 utilizza il Algoritmo Unione-Trova per rilevare i cicli.
Pertanto consigliamo di leggere il seguente post come prerequisito.
- Algoritmo di ricerca dell'unione | Set 1 (rileva il ciclo in un grafico)
- Algoritmo di ricerca dell'unione | Set 2 (Unione per rango e compressione del percorso)
L’algoritmo di Kruskal per trovare l’albero di copertura del costo minimo utilizza l’approccio greedy. La scelta golosa è quella di scegliere il bordo di peso più piccolo che non causi un ciclo nel MST costruito finora. Cerchiamo di capirlo con un esempio:
Illustrazione:
Di seguito è riportato l'illustrazione dell'approccio di cui sopra:
Grafico di input:
Il grafico contiene 9 vertici e 14 spigoli. Quindi, l'albero di copertura minimo formato avrà (9 – 1) = 8 archi.
Dopo l'ordinamento:
Peso Fonte Destinazione 1 7 6 2 8 2 2 6 5 4 0 1 4 2 5 6 8 6 7 2 3 7 7 8 8 0 7 8 1 2 9 3 4 10 5 4 undici 1 7 14 3 5 Ora seleziona tutti i bordi uno per uno dall'elenco ordinato dei bordi
Passo 1: Scegli il bordo 7-6. Nessun ciclo si forma, includilo.
Aggiungi il bordo 7-6 nel MST
Passo 2: Scegli il bordo 8-2. Nessun ciclo si forma, includilo.
Aggiungi il bordo 8-2 nel MST
sottostringa javaPassaggio 3: Scegli il bordo 6-5. Nessun ciclo si forma, includilo.
Aggiungi il bordo 6-5 nel MST
Passaggio 4: Scegli il bordo 0-1. Nessun ciclo si forma, includilo.
Aggiungi il bordo 0-1 nel MST
Passaggio 5: Scegli il bordo 2-5. Nessun ciclo si forma, includilo.
Aggiungi il bordo 2-5 nel MST
Passaggio 6: Scegli il bordo 8-6. Poiché includere questo vantaggio risulta nel ciclo, scartatelo. Scegli il bordo 2-3: Nessun ciclo si forma, includilo.
Aggiungi il bordo 2-3 nel MST
Passaggio 7: Scegli il bordo 7-8. Poiché includere questo vantaggio risulta nel ciclo, scartatelo. Scegli il bordo 0-7. Nessun ciclo si forma, includilo.
Aggiungi il bordo 0-7 in MST
Passaggio 8: Scegli il bordo 1-2. Poiché includere questo vantaggio risulta nel ciclo, scartatelo. Scegli il bordo 3-4. Nessun ciclo si forma, includilo.
Aggiungi il bordo 3-4 nel MST
Nota: Poiché il numero di archi inclusi nell'MST è pari a (V – 1), l'algoritmo si ferma qui
rinominare una directory linux
Di seguito è riportata l’implementazione dell’approccio di cui sopra:
C++
// C++ program for the above approach> > #include> using> namespace> std;> > // DSU data structure> // path compression + rank by union> class> DSU {> >int>* parent;> >int>* rank;> > public>:> >DSU(>int> n)> >{> >parent =>new> int>[n];> >rank =>new> int>[n];> > >for> (>int> i = 0; i parent[i] = -1; rank[i] = 1; } } // Find function int find(int i) { if (parent[i] == -1) return i; return parent[i] = find(parent[i]); } // Union function void unite(int x, int y) { int s1 = find(x); int s2 = find(y); if (s1 != s2) { if (rank[s1] parent[s1] = s2; } else if (rank[s1]>rango[s2]) { genitore[s2] = s1; } else { genitore[s2] = s1; rango[s1] += 1; } } } }; class Graph { vectorint>> edgelist; in tv; pubblico: Graph(int V) { this->V = V; } // Funzione per aggiungere un bordo in un grafico void addEdge(int x, int y, int w) { edgelist.push_back({ w, x, y }); } void kruskals_mst() { // Ordina tutti i bordi sort(edgelist.begin(), edgelist.end()); // Inizializza la DSU DSU s(V); int ans = 0; cout<< 'Following are the edges in the ' 'constructed MST' << endl; for (auto edge : edgelist) { int w = edge[0]; int x = edge[1]; int y = edge[2]; // Take this edge in MST if it does // not forms a cycle if (s.find(x) != s.find(y)) { s.unite(x, y); ans += w; cout << x << ' -- ' << y << ' == ' << w << endl; } } cout << 'Minimum Cost Spanning Tree: ' << ans; } }; // Driver code int main() { Graph g(4); g.addEdge(0, 1, 10); g.addEdge(1, 3, 15); g.addEdge(2, 3, 4); g.addEdge(2, 0, 6); g.addEdge(0, 3, 5); // Function call g.kruskals_mst(); return 0; }> |
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C
// C code to implement Kruskal's algorithm> > #include> #include> > // Comparator function to use in sorting> int> comparator(>const> void>* p1,>const> void>* p2)> {> >const> int>(*x)[3] = p1;> >const> int>(*y)[3] = p2;> > >return> (*x)[2] - (*y)[2];> }> > // Initialization of parent[] and rank[] arrays> void> makeSet(>int> parent[],>int> rank[],>int> n)> {> >for> (>int> i = 0; i parent[i] = i; rank[i] = 0; } } // Function to find the parent of a node int findParent(int parent[], int component) { if (parent[component] == component) return component; return parent[component] = findParent(parent, parent[component]); } // Function to unite two sets void unionSet(int u, int v, int parent[], int rank[], int n) { // Finding the parents u = findParent(parent, u); v = findParent(parent, v); if (rank[u] parent[u] = v; } else if (rank[u]>rango[v]) { genitore[v] = u; } else { genitore[v] = u; // Poiché il rango aumenta se // i ranghi di due insiemi sono uguali[u]++; } } // Funzione per trovare l'MST void kruskalAlgo(int n, int edge[n][3]) { // Per prima cosa ordiniamo l'array di edge in ordine crescente // in modo da poter accedere alle distanze minime/costo qsort(edge , n, sizeof(edge[0]), comparatore); int genitore[n]; int rango[n]; // Funzione per inizializzare parent[] e rango[] makeSet(parent, rango, n); // Per memorizzare il costo minimo int minCost = 0; printf( 'Seguono gli spigoli nel MST costruito
'); for (int i = 0; i int v1 = findParent(parent, edge[i][0]); int v2 = findParent(parent, edge[i][1]); int wt = edge[i][2] ; // Se i genitori sono diversi // significa che si trovano in insiemi diversi, quindi // uniscili if (v1 != v2) { unionSet(v1, v2, parent, minCost += wt); '%d -- %d == %d
', edge[i][0], edge[i][1], wt } } printf('Albero di copertura del costo minimo: %d); n', minCost); } // Codice driver int main() { int edge[5][3] = { { 0, 1, 10 }, { 0, 2, 6 }, { 0, 3, 5 } , { 1, 3, 15 }, { 2, 3, 4 } }; kruskalAlgo(5, bordo); return 0 }> |
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Giava
// Java program for Kruskal's algorithm> > import> java.util.ArrayList;> import> java.util.Comparator;> import> java.util.List;> > public> class> KruskalsMST {> > >// Defines edge structure> >static> class> Edge {> >int> src, dest, weight;> > >public> Edge(>int> src,>int> dest,>int> weight)> >{> >this>.src = src;> >this>.dest = dest;> >this>.weight = weight;> >}> >}> > >// Defines subset element structure> >static> class> Subset {> >int> parent, rank;> > >public> Subset(>int> parent,>int> rank)> >{> >this>.parent = parent;> >this>.rank = rank;> >}> >}> > >// Starting point of program execution> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >int> V =>4>;> >List graphEdges =>new> ArrayList(> >List.of(>new> Edge(>0>,>1>,>10>),>new> Edge(>0>,>2>,>6>),> >new> Edge(>0>,>3>,>5>),>new> Edge(>1>,>3>,>15>),> >new> Edge(>2>,>3>,>4>)));> > >// Sort the edges in non-decreasing order> >// (increasing with repetition allowed)> >graphEdges.sort(>new> Comparator() {> >@Override> public> int> compare(Edge o1, Edge o2)> >{> >return> o1.weight - o2.weight;> >}> >});> > >kruskals(V, graphEdges);> >}> > >// Function to find the MST> >private> static> void> kruskals(>int> V, List edges)> >{> >int> j =>0>;> >int> noOfEdges =>0>;> > >// Allocate memory for creating V subsets> >Subset subsets[] =>new> Subset[V];> > >// Allocate memory for results> >Edge results[] =>new> Edge[V];> > >// Create V subsets with single elements> >for> (>int> i =>0>; i subsets[i] = new Subset(i, 0); } // Number of edges to be taken is equal to V-1 while (noOfEdges 1) { // Pick the smallest edge. And increment // the index for next iteration Edge nextEdge = edges.get(j); int x = findRoot(subsets, nextEdge.src); int y = findRoot(subsets, nextEdge.dest); // If including this edge doesn't cause cycle, // include it in result and increment the index // of result for next edge if (x != y) { results[noOfEdges] = nextEdge; union(subsets, x, y); noOfEdges++; } j++; } // Print the contents of result[] to display the // built MST System.out.println( 'Following are the edges of the constructed MST:'); int minCost = 0; for (int i = 0; i System.out.println(results[i].src + ' -- ' + results[i].dest + ' == ' + results[i].weight); minCost += results[i].weight; } System.out.println('Total cost of MST: ' + minCost); } // Function to unite two disjoint sets private static void union(Subset[] subsets, int x, int y) { int rootX = findRoot(subsets, x); int rootY = findRoot(subsets, y); if (subsets[rootY].rank subsets[rootY].parent = rootX; } else if (subsets[rootX].rank subsets[rootX].parent = rootY; } else { subsets[rootY].parent = rootX; subsets[rootX].rank++; } } // Function to find parent of a set private static int findRoot(Subset[] subsets, int i) { if (subsets[i].parent == i) return subsets[i].parent; subsets[i].parent = findRoot(subsets, subsets[i].parent); return subsets[i].parent; } } // This code is contributed by Salvino D'sa> |
1nf 2nf 3nf
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Python3
# Python program for Kruskal's algorithm to find> # Minimum Spanning Tree of a given connected,> # undirected and weighted graph> > > # Class to represent a graph> class> Graph:> > >def> __init__(>self>, vertices):> >self>.V>=> vertices> >self>.graph>=> []> > ># Function to add an edge to graph> >def> addEdge(>self>, u, v, w):> >self>.graph.append([u, v, w])> > ># A utility function to find set of an element i> ># (truly uses path compression technique)> >def> find(>self>, parent, i):> >if> parent[i] !>=> i:> > ># Reassignment of node's parent> ># to root node as> ># path compression requires> >parent[i]>=> self>.find(parent, parent[i])> >return> parent[i]> > ># A function that does union of two sets of x and y> ># (uses union by rank)> >def> union(>self>, parent, rank, x, y):> > ># Attach smaller rank tree under root of> ># high rank tree (Union by Rank)> >if> rank[x] parent[x] = y elif rank[x]>rango[y]: parent[y] = x # Se i ranghi sono uguali, creane uno come root # e incrementa il suo rango di un altro: parent[y] = x rango[x] += 1 # La funzione principale da costruire MST # usando l'algoritmo di Kruskal def KruskalMST(self): # Questo memorizzerà il risultato MST result = [] # Una variabile indice, usata per gli archi ordinati i = 0 # Una variabile indice, usata per result[] e = 0 # Ordina tutti gli spigoli in # ordine non decrescente del loro # peso self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2]) parent = [] rango = [] # Crea V sottoinsiemi con singoli elementi for node in range(self.V): parent.append(node) ranking.append(0) # Il numero di archi da prendere è inferiore a V-1 while e |
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file con estensione java
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C#
// C# Code for the above approach> > using> System;> > class> Graph {> > >// A class to represent a graph edge> >class> Edge : IComparable {> >public> int> src, dest, weight;> > >// Comparator function used for sorting edges> >// based on their weight> >public> int> CompareTo(Edge compareEdge)> >{> >return> this>.weight - compareEdge.weight;> >}> >}> > >// A class to represent> >// a subset for union-find> >public> class> subset {> >public> int> parent, rank;> >};> > >// V->NO. di vertici & E->n.di spigoli> >int> V, E;> > >// Collection of all edges> >Edge[] edge;> > >// Creates a graph with V vertices and E edges> >Graph(>int> v,>int> e)> >{> >V = v;> >E = e;> >edge =>new> Edge[E];> >for> (>int> i = 0; i edge[i] = new Edge(); } // A utility function to find set of an element i // (uses path compression technique) int find(subset[] subsets, int i) { // Find root and make root as // parent of i (path compression) if (subsets[i].parent != i) subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); return subsets[i].parent; } // A function that does union of // two sets of x and y (uses union by rank) void Union(subset[] subsets, int x, int y) { int xroot = find(subsets, x); int yroot = find(subsets, y); // Attach smaller rank tree under root of // high rank tree (Union by Rank) if (subsets[xroot].rank subsets[xroot].parent = yroot; else if (subsets[xroot].rank>sottoinsiemi[yroot].rank) sottoinsiemi[yroot].parent = xroot; // Se i ranghi sono gli stessi, creane uno come root // e incrementa il suo rango di un altro { subsets[yroot].parent = xroot; sottoinsiemi[xroot].rank++; } } // La funzione principale per costruire MST // utilizzando l'algoritmo di Kruskal void KruskalMST() { // Questo memorizzerà il // MST risultante Edge[] result = new Edge[V]; // Una variabile indice, utilizzata per result[] int e = 0; // Una variabile indice, utilizzata per gli archi ordinati int i = 0; for (i = 0; i result[i] = new Edge(); // Ordina tutti gli archi in ordine // non decrescente in base al loro peso. Se non ci è consentito // modificare il grafico dato, possiamo creare // una copia dell'array di bordi Array.Sort(edge // Alloca memoria per la creazione di V subset subset[] subsets = new subset[V] for (i = 0; i subsets[i] = new subset()); ; // Crea V sottoinsiemi con singoli elementi for (int v = 0; v subsets[v].parent = v; subsets[v].rank = 0; } i = 0; // Il numero di archi da prendere è uguale a V-1 while (e // Scegli il bordo più piccolo. E incrementa // l'indice per l'iterazione successiva Edge next_edge = new Edge(); next_edge = edge[i++]; int x = find(subsets, next_edge.src); int y = find(subsets, next_edge.dest); // Se includere questo bordo non causa il ciclo, // includerlo nel risultato e incrementare l'indice // del risultato per il bordo successivo if (x != y) { result[e++] = next_edge; Union(subsets, x, y); il MST costruito'); int costo minimo = 0; for (i = 0; i Console.WriteLine(risultato[i].src + ' -- ' + risultato[i].dest + ' == ' + risultato[i].peso); costominimo += risultato[i].weight; } Console.WriteLine('Spanning Tree costo minimo: ' + MinimumCost(} // Codice del driver public static void Main(String[] args) {); int V = 4; int E = 5; grafico grafico = nuovo grafico(V, E); graph.edge[0].weight = 10; // aggiungi bordo 0-2 graph.edge[1].src = 0; graph.edge[1].dest = 2; graph.edge[1].weight = 6 ; // aggiungi il bordo 0-3 graph.edge[2].src = 0; graph.edge[2].dest = 3; graph.edge[2].weight = 5; bordo[3].src = 1; grafico.edge[3].dest = 3; grafico.edge[3].peso = 15; // aggiunge bordo 2-3 grafico.edge[4].src = 2; .edge[4].dest = 3; graph.edge[4].weight = 4; // Chiamata di funzione graph.KruskalMST(); |
>
>// JavaScript implementation of the krushkal's algorithm.>>function>makeSet(parent,rank,n)>{>>for>(let i=0;i { parent[i]=i; rank[i]=0; } } function findParent(parent,component) { if(parent[component]==component) return component; return parent[component] = findParent(parent,parent[component]); } function unionSet(u, v, parent, rank,n) { //this function unions two set on the basis of rank //as shown below u=findParent(parent,u); v=findParent(parent,v); if(rank[u] { parent[u]=v; } else if(rank[u] { parent[v]=u; } else { parent[v]=u; rank[u]++;//since the rank increases if the ranks of two sets are same } } function kruskalAlgo(n, edge) { //First we sort the edge array in ascending order //so that we can access minimum distances/cost edge.sort((a, b)=>{ return a[2] - b[2]; }) //la funzione di ordinamento rapido incorporata viene fornita con stdlib.h //vai a https://www.techcodeview.com L'ordinamento dei bordi richiede tempo O(E * logE). Dopo l'ordinamento, iteriamo su tutti gli spigoli e applichiamo l'algoritmo di ricerca unione. Le operazioni di ricerca e unione possono richiedere al massimo O(logV) tempo. Quindi la complessità complessiva è il tempo O(E * logE + E * logV). Il valore di E può essere al massimo O(V2), quindi O(logV) e O(logE) sono la stessa cosa. Pertanto, la complessità temporale complessiva è O(E * logE) o O(E*logV) Spazio ausiliario: O(V + E), dove V è il numero di vertici ed E è il numero di archi nel grafico. Questo articolo è stato compilato da Aashish Barnwal e rivisto dal team techcodeview.com.>