FORMULA DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE: DIMOSTRAZIONE, ESEMPI E DOMANDE FREQUENTI

Formula di interpolazione di Lagrange trova un polinomio chiamato Polinomio di Lagrange che assume determinati valori in un punto arbitrario. È un ennesimo gradoespressione polinomiale della funzione f(x). Il metodo di interpolazione viene utilizzato per trovare i nuovi punti dati all'interno dell'intervallo di un insieme discreto di punti dati noti.

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In questo articolo impareremo l'interpolazione di Lagrange, la formula di interpolazione di Lagrange, la dimostrazione della formula di interpolazione di Lagrange, gli esempi basati sulla formula di interpolazione di Lagrange e altri in dettaglio.

Cos'è l'interpolazione di Lagrange?

L'interpolazione di Lagrange è un modo per trovare il valore di qualsiasi funzione in un dato punto quando la funzione non è data. Usiamo altri punti sulla funzione per ottenere il valore della funzione in qualsiasi punto richiesto.

Supponiamo di avere una funzione y = f(x) in cui sostituendo i valori di x si ottengono valori diversi di y. E ci vengono dati due punti (x₁, E₁) e (x₂, E₂) sulla curva, il valore di y in x = a(costante) viene calcolato utilizzando la formula di interpolazione di Lagrange.

Formula di interpolazione di Lagrange

Dati pochi valori reali x₁, X₂, X₃, …, X_Ne sì₁, E₂, E₃, …, E_Ne ci sarà un polinomio P a coefficienti reali che soddisfa le condizioni P(x_io) = e_io, ∀ i = {1, 2, 3, …, n} e il grado del polinomio P deve essere inferiore al conteggio dei valori reali, ovvero grado(P)

Formula di interpolazione di Lagrange per l'ennesimo ordine

La formula dell'interpolazione di Lagrange per n^thil polinomio dei gradi è riportato di seguito:

Formula di interpolazione di Lagrange per il n ^th l'ordine è,

$f(x)=frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} imes y_0+ frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} imes y_1+...+ frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} imes y_n$

Formula di interpolazione del primo ordine di Lagrange

Se laIl grado del polinomio è 1 quindi viene chiamato polinomio del primo ordine. Formula di interpolazione di Lagrange per 1^stpolinomi d'ordine è,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1$

Formula di interpolazione del secondo ordine di Lagrange

Se il grado del polinomio è 2 allora si chiama polinomio del secondo ordine. La formula di interpolazione di Lagrange per i polinomi del 2° ordine è:

$f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)} {(x_1-x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2$

Dimostrazione del Teorema di Lagrange

Consideriamo un polinomio di ennesimo grado della forma data,

f(x) = A₀(x-x₁)(x – x₂)(x – x₃)…(x – x_N)+A₁(x-x₁)(x – x₂)(x – x₃)…(x – x_N) +... + A_(n-1)(x-x₁)(x – x₂)(x – x₃)…(x – x_N)

Osservazioni sostitutive x_ioprendere un_io

Metti x = x₀quindi otteniamo A₀

f(x₀) = e₀=A₀(X₀- X₁)(X₀- X₂)(X₀- X₃)…(X₀- X_N)

UN ₀ = e ₀ /(X ₀ - X ₁ )(X ₀ - X ₂ )(X ₀ - X ₃ )…(X ₀ - X _N )

Sostituendo x = x₁otteniamo A₁

f(x₁) = e₁=A₁(X₁- X₀)(X₁- X₂)(X₁- X₃)…(X₁- X_N)

UN ₁ = e ₁ /(X ₁ - X ₀ )(X ₁ - X ₂ )(X ₁ - X ₃ )…(X ₁ - X _N )

Allo stesso modo, sostituendo x = x_Notteniamo A_N

f(x_N) = e_N=A_N(X_N- X₀)(X_N- X₁)(X_N- X₂)…(X_N- X_n-1)

UN _N = e _N /(X _N - X ₀ )(X _N - X ₁ )(X _N - X ₂ )…(X _N - X _n-1 )

Se sostituiamo tutti i valori di A_ionella funzione f(x) dove i = 1, 2, 3, ...n allora otteniamo la formula di interpolazione di Lagrange come,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} volte y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)}volte y_1+... +frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} imes y_n$

Proprietà della formula di interpolazione di Lagrange

Varie proprietà della formula di interpolazione di Lagrange sono discusse di seguito,

Questa formula viene utilizzata per trovare il valore della funzione in qualsiasi momento anche quando la funzione stessa non è specificata.
Viene utilizzato anche se i punti indicati non sono equamente distanziati.
Fornisce il valore della variabile dipendente per qualsiasi variabile indipendente appartenente a qualsiasi funzione e quindi viene utilizzato nell'analisi numerica per trovare i valori della funzione, ecc.

Usi della formula di interpolazione di Lagrange

Di seguito vengono discussi vari usi della formula di interpolazione di Lagrange,

Viene utilizzato per trovare il valore della variabile dipendente in qualsiasi variabile indipendente particolare anche se la funzione stessa non è specificata.
Viene utilizzato nel ridimensionamento delle immagini.
Viene utilizzato nella modellazione AI.
È usato per insegnare la PNL, ecc.

Per saperne di più,

Formula di interpolazione
Formula di interpolazione lineare

Esempi di utilizzo della formula di interpolazione di Lagrange

Esaminiamo alcune domande di esempio sulla formula di interpolazione di Lagrange.

Esempio 1: Trova il valore di y in x = 2 per il dato insieme di punti (1, 2),(3, 4)

Soluzione:

Dato,

(X₀, E₀) = (1, 2)
(X₁, E₁) = (3, 4)
La formula di interpolazione di Lagrange del primo ordine è:

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1$

In x = 2

E $=~frac{(2-3)}{(1-3)} imes 2+frac{(2-1)}{(3-1)} imes 4$

y = (-2/-2) + (4/2)

y = 1 + 2 = 3

Il valore di y in x = 2 è 3

Esempio 2: Trova il valore di y in x = 5 per il dato insieme di punti (9, 2), (3, 10)

Soluzione:

Dato,

(X₀, E₀) = (9, 2)
(X₁, E₁) = (3, 10)
La formula di interpolazione di Lagrange del primo ordine è:

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1$

A x = 5

$y~=~frac{(5-3)}{(9-3)} imes 2+frac{(5-9)}{(3-9)} imes 10$

y = (4/6) + (-40/-6)

y = (2/3) + (20/3)

y = 22/3 = 7,33

Il valore di y in x = 5 è 7,33

Esempio 3: trovare il valore di y in x = 1 per il dato insieme di punti (1, 6), (3, 4), (2, 5)

Soluzione:

Dato,

(X₀, E₀) = (1, 6)
(X₁, E₁) = (3, 4)
(X₂, E₂) = (2, 5)
La formula di interpolazione di Lagrange del secondo ordine è:

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2$

In x = 1

$y~=~frac{(1-3)(1-2)}{(1-3)(1-2)} imes 6+frac{(1-1)(1-2)}{( 3-1)(3-2)} imes 4+frac{(1-1)(1-3)}{(2-1)(2-3)} imes 5 y~=~ frac{(-2)(-1)}{(-2)(-1)} imes 6+frac{(0)(-1)}{(2)(1)} imes 4+frac {(0)(-2)}{(1)(-1)}volte 5$

y = (12/2) + 0 + 0

y = 6

Il valore di y in x = 1 è 6

Esempio 4: Trova il valore di y in x = 10 per il dato insieme di punti (9, 6), (3, 5), (1, 12)

Soluzione:

Dato,

(X₀, E₀) = (9, 6)
(X₁, E₁) = (3, 5)
(X₂, E₂) = (1, 12)
La formula di interpolazione di Lagrange del secondo ordine è:

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2$

A x = 10

$y~=~frac{(10-3)(10-1)}{(9-3)(9-1)} imes 6+frac{(10-9)(10-1)}{( 3-9)(3-1)} imes 5+frac{(10-9)(10-3)}{(1-9)(1-3)} imes 12 y~=~ frac{(7)(9)}{(6)(8)} imes 6+frac{(1)(9)}{(-6)(2)} imes 5+frac{(1) (7)}{(-8)(-2)} imes 12$

y = (63/8) + (-15/4) + (21/4)

y = (63-30 + 42)/8

y = 75/8 = 9,375

Il valore di y in x = 10 è 9,375

Esempio 5: Trova il valore di y in x = 7 per il dato insieme di punti (1, 10), (2, 4), (3, 4), (5, 7)

Soluzione:

Dato,

(X₀, E₀) = (1, 10)
(X₁, E₁) = (2, 4)
(X₂, E₂) = (3, 4)
(X₃, E₃) = (5, 7)
La formula di interpolazione di Lagrange del terzo ordine è:

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} imes y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} imes y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1 )(x_3-x_2)}volte y_3$

In x = 7

$y~=~frac{(7-2)(7-3)(7-5)}{(1-2)(1-3)(1-5)} imes 10+frac{(7- 1)(7-3)(7-5)}{(2-1)(2-3)(2-5)} imes 4+frac{(7-1)(7-2)(7- 5)}{(3-1)(3-2)(3-5)} imes 4+frac{(7-1)(7-2)(7-3)}{(5-1)( 5-2)(5-3)} imes 7 y~=~frac{(5)(4)(2)}{(-1)(-2)(-4)} imes 10+ frac{(6)(4)(2)}{(1)(-1)(-3)} imes 4+frac{(6)(5)(2)}{(2)(1) (-2)} imes 4+frac{(6)(5)(4)}{(4)(3)(2)} imes 7$

y = -50 + 64 – 60 + 35
la classe astratta può avere un costruttore

y = 99 – 110 = -undici

Il valore di y in x = 7 è -11

Esempio 6: trovare il valore di y in x = 10 per il dato insieme di punti (5, 12), (6, 13), (7, 14), (8, 15)

Soluzione:

Dato,

(X₀, E₀) = (5, 12)
(X₁, E₁) = (6, 13)
(X₂, E₂) = (7, 14)
(X₃, E₃) = (8, 15)
La formula di interpolazione di Lagrange del terzo ordine è:

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} imes y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} imes y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1 )(x_3-x_2)}volte y_3$

A x = 10,

$y~=~frac{(10-6)(10-7)(10-8)}{(5-6)(5-7)(5-8)} imes 12+frac{(10- 5)(10-7)(10-8)}{(6-5)(6-7)(6-8)} imes 13+frac{(10-5)(10-6)(10- 8)}{(7-5)(7-6)(7-8)} imes 14+frac{(10-5)(10-6)(10-7)}{(8-5)( 8-6)(8-7)} imes 15 y~=~frac{(4)(3)(2)}{(-1)(-2)(-3)} imes 12+ frac{(5)(3)(2)}{(1)(-1)(-2)} imes 13+frac{(5)(4)(2)}{(2)(1) (-1)} imes 14+frac{(5)(4)(3)}{(3)(2)(1)} imes 15$

y = -48 + 195 – 280 + 150

y = 17

Il valore di y in x = 10 è 17

Esempio 7: Trova il valore di y in x = 0 per il dato insieme di punti (-2, 5),(1, 7)

Soluzione:

Dato,

(X₀, E₀) = (-2, 5)
(X₁, E₁) = (1, 7)
La formula di interpolazione di Lagrange del primo ordine è:

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1$

A x = 0,

$y~=~frac{(0-1)}{(-2-1)} imes 5+frac{(0+2)}{(1+2)} imes 7$

y = (5/3) + (14/3)

y = 19/3 = 6,33

Il valore di y in x = 0 è 6,33

Domande frequenti sulla formula di interpolazione di Lagrange

1. Cos'è la formula di interpolazione di Lagrange?

La formula di interpolazione di Lagrange è una formula utilizzata per trovare il valore della variabile dipendente della funzione per qualsiasi variabile indipendente anche se la funzione stessa non è specificata.

2. Quali sono le applicazioni della formula di interpolazione di Lagrange?

La formula di Lagrange ha varie applicazioni nella matematica moderna e nella scienza dei dati,

Viene utilizzato per l'addestramento del modello AI.
Viene utilizzato nell'elaborazione delle immagini.
Viene utilizzato nella rappresentazione grafica di curve 3D e superiori, ecc.

3. Cos'è la formula di interpolazione di Lagrange del primo ordine?

La formula di interpolazione di Lagrange del primo ordine è:

f(x) = (x – x ₁ )/(X ₀ - X ₁ )×f ₀ +(x-x ₀ )/(X ₁ - X ₀ )×f ₁

4. Cos'è la formula di interpolazione di Lagrange del secondo ordine?

La formula di interpolazione di Lagrange del secondo ordine è:

f(x) = [(x – x ₁ )(x – x ₂ )/(X ₀ - X ₁ )(X ₀ - X ₂ )]×f ₀ + [(x-x ₀ )(x – x ₂ )/(X ₁ - X ₀ )(X ₁ - X ₂ )]×f ₁ + [(x-x ₀ )(x – x ₁ )/(X ₂ - X ₀ )(X ₂ - X ₂ )]×f ₀