Sia L un insieme non vuoto chiuso rispetto a due operazioni binarie chiamate meet e join, indicate con ∧ e ∨. Allora L è detto reticolo se valgono i seguenti assiomi dove a, b, c sono elementi di L:
1) Diritto commutativo: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
2) Diritto associativo:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) Legge di assorbimento: -
(a) un ∧ ( un ∨ b) = un (b) un ∨ ( un ∧ b) = un
Dualità:
Il duale di qualsiasi affermazione in un reticolo (L,∧ ,∨ ) è definito come un'affermazione ottenuta scambiando ∧ e ∨.
Per esempio , il duale di a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a è a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
Reticoli delimitati:
Un reticolo L si dice limitato se ha l'elemento massimo 1 e l'elemento minimo 0.
Esempio:
- L'insieme di potenze P(S) dell'insieme S sotto le operazioni di intersezione e unione è un reticolo limitato poiché ∅ è l'elemento minimo di P(S) e l'insieme S è l'elemento maggiore di P(S).
- L'insieme dell'intero +ve I+sotto il solito ordine di ≦ non è un reticolo limitato poiché ha un elemento minimo 1 ma l'elemento maggiore non esiste.
Proprietà dei reticoli delimitati:
Se L è un reticolo limitato, allora per ogni elemento a ∈ L abbiamo le seguenti identità:
- un ∨ 1 = 1
- un ∧1= un
- un ∨0=un
- un ∧0=0
Teorema: Dimostrare che ogni reticolo finito L = {a1,UN2,UN3....UNN} è limitato.
Prova: Abbiamo dato il reticolo finito:
L = {a1,UN2,UN3....UNN}
Pertanto, l'elemento più grande dei Reticoli L è a1∨A2∨A3∨....∨aN.
Inoltre, l'elemento minimo del reticolo L è a1∧ a2∧a3∧....∧aN.
Poiché per ogni reticolo finito esistono gli elementi maggiori e minimi. Quindi L è limitato.
Sottoreticoli:
Consideriamo un sottoinsieme non vuoto L1di un reticolo L. Allora L1si dice sottoreticolo di L se L1esso stesso è un reticolo cioè l'operazione di L cioè a ∨ b ∈ L1e a ∧ b ∈ L1ogni volta che a ∈ L1e b ∈ L1.
Esempio: Consideriamo il reticolo di tutti i +ve interi I+nell’ambito dell’operazione di divisibilità. Il reticolo DNdi tutti i divisori di n > 1 è un sottoreticolo di I+.
Determinare tutti i sottoreticoli di D30che contengono almeno quattro elementi, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Soluzione: I sottoreticoli di D30che contengono almeno quattro elementi sono i seguenti:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
Reticoli isomorfi:
Due reticoli L1e io2sono detti reticoli isomorfi se esiste una biiezione da L1a l2cioè, f: L1⟶L2, tale che f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) e f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
Esempio: Determina se i reticoli mostrati in figura sono isomorfi.
Soluzione: I reticoli mostrati in figura sono isomorfi. Considera la mappatura f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Ad esempio f (b ∧ c) = f (a) = 1. Inoltre, abbiamo si ha f(b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1
Reticolo distributivo:
Un reticolo L si dice reticolo distributivo se per ogni elemento a, b e c di L soddisfa le seguenti proprietà distributive:
- un ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- un ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Se il reticolo L non soddisfa le proprietà sopra indicate, viene detto reticolo non distributivo.
Esempio:
- L'insieme di potenze P (S) dell'insieme S sotto l'operazione di intersezione e unione è una funzione distributiva. Da,
un ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
e, anche a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) per ogni insieme a, b e c di P(S). - Il reticolo mostrato in figura II è un distributivo. Poiché soddisfa le proprietà distributive per tutte le triple ordinate prese da 1, 2, 3 e 4.
Complementi e reticoli complementati:
Sia L un reticolo limitato con limite inferiore o e limite superiore I. Sia a un elemento se L. Un elemento x in L è chiamato complemento di a se a ∨ x = I e a ∧ x = 0
apice in Illustrator
Un reticolo L si dice complementare se L è limitato e ogni elemento di L ha un complemento.
Esempio: Determina il complemento di a e c in fig:
Soluzione: Il complemento di a è d. Poiché a ∨ d = 1 e a ∧ d = 0
Il complemento di c non esiste. Poiché non esiste alcun elemento c tale che c ∨ c'=1 e c ∧ c'= 0.
Reticolo modulare:
Un reticolo (L, ∧,∨) è detto reticolo modulare se a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c ogni volta che a ≦ c.
Prodotto diretto di reticoli:
Lasciamo (L1∨1∧1)e io2∨2∧2) siano due reticoli. Allora (L, ∧,∨) è il prodotto diretto dei reticoli, dove L = L1xL2in cui l'operazione binaria ∨(join) e ∧(meet) su L sono tali che per ogni (a1,B1) e (a2,B2) nella l.
(UN1,B1)∨(a2,B2)=(a1∨1UN2,B1∨2B2)
e (a1,B1) ∧ (a2,B2)=(a1∧1UN2,B1∧2B2).
Esempio: Consideriamo un reticolo (L, ≦) come mostrato in fig. dove L = {1, 2}. Determinare i reticoli (L2, ≦), dove L2=L x L.
Soluzione: Il reticolo (L2, ≦) è mostrato in fig: