Media, varianza e deviazione standard sono misure statistiche vitali. La varianza quantifica la deviazione dei punti dati dalla media, mentre la deviazione standard misura la distribuzione dei dati. La distinzione chiave sta nel fatto che la deviazione standard è espressa nelle stesse unità della media, mentre la varianza è espressa in unità al quadrato. Approfondisci questi concetti con definizioni, formule e un esempio illustrativo.

Significare

Significare è la media di un dato insieme di dati. Consideriamo l'esempio seguente

Questi otto punti dati hanno la media (media) di 5:





Dove ? è media e x₁, X₂, X₃…., X_iosono elementi. Si noti inoltre che la media è talvolta indicata con

Varianza

Varianza è la somma dei quadrati delle differenze tra tutti i numeri e le medie.
Deviazione per l'esempio sopra. Innanzitutto, calcola le deviazioni di ciascun punto dati dalla media e eleva al quadrato il risultato di ciascuno:



varianza = = 4.



Dove ? è la media, N è il numero totale di elementi o la frequenza di distribuzione.

Deviazione standard

Deviazione standard è la radice quadrata della varianza. È una misura della misura in cui i dati variano dalla media.

Deviazione standard (per i dati sopra) = = 2

Perché i matematici scelsero un quadrato e poi una radice quadrata per trovare la deviazione, perché non presero semplicemente la differenza dei valori?
Uno dei motivi è che la somma delle differenze diventa 0 secondo la definizione di media. La somma delle differenze assolute potrebbe essere un'opzione, ma con le differenze assolute era difficile dimostrare molti bei teoremi. [Fonte: Videolezione del MIT alle 1:19]

1. Il valore della deviazione standard è 0 se tutte le voci nell'input sono uguali.
2. Se aggiungiamo (o sottraiamo) un numero, ad esempio 7, a tutti i valori nell'insieme di input, la media viene aumentata (o diminuita) di 7, ma la deviazione standard non cambia.
3. Se moltiplichiamo tutti i valori nel set di input per un numero 7, sia la media che la deviazione standard vengono moltiplicate per 7. Ma se moltiplichiamo tutti i valori di input con un numero negativo, ad esempio -7, la media viene moltiplicata per -7, ma il la deviazione standard viene moltiplicata per 7.
4. La deviazione standard e la varianza sono una misura che indica quanto sono distribuiti i numeri. Mentre la varianza dà un’idea approssimativa della diffusione, la deviazione standard è più concreta e fornisce le distanze esatte dalla media.
5. Media, mediana e moda sono la misura della tendenza centrale dei dati (raggruppati o non raggruppati).

Controllo:

• Varianza e deviazione standard
• Applicazioni nella vita reale della deviazione standard
• Differenza tra varianza e deviazione standard

Le seguenti domande sono state poste negli esami GATE dell'anno precedente Riferimenti:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm

Media, varianza e deviazione standard – Domande frequenti

Qual è la differenza tra deviazione standard e varianza?

Sia la deviazione standard che la varianza misurano la diffusione dei punti dati in un set di dati rispetto alla media. La differenza fondamentale è che la varianza misura la media delle deviazioni quadrate dalla media, mentre la deviazione standard è la radice quadrata della varianza, fornendo una misura della diffusione nelle stesse unità dei dati.

Come si calcola la media, la varianza e la deviazione standard?

• Media: somma tutti i numeri e dividi per il numero dei numeri.
• Varianza: calcola la media, sottrai la media da ciascun numero, eleva il risultato al quadrato, somma questi risultati al quadrato e dividi per il conteggio dei numeri meno uno.
• Deviazione standard: calcola la radice quadrata della varianza.

Perché la media, la varianza e la deviazione standard sono importanti?

Queste misure statistiche sono cruciali per comprendere la distribuzione dei dati. La media fornisce un valore centrale, mentre la varianza e la deviazione standard forniscono informazioni sulla variabilità o diffusione dei dati, indicando la coerenza o la volatilità del set di dati.

La varianza e la deviazione standard possono essere negative?

No, la varianza e la deviazione standard non possono essere negative. La varianza viene calcolata come la media delle differenze al quadrato dalla media, ottenendo un valore non negativo. Poiché la deviazione standard è la radice quadrata della varianza, anch'essa non può essere negativa.

In che modo i valori anomali influiscono sulla media, sulla varianza e sulla deviazione standard?

I valori anomali possono influenzare in modo significativo la media trascinandola verso il valore anomalo, non riflettendo quindi accuratamente la tendenza centrale del set di dati. Anche la varianza e la deviazione standard vengono influenzate poiché aumenteranno, indicando una maggiore diffusione dei dati a causa dei valori anomali.