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Metodo di Newton Raphson

Il metodo Newton Raphson o metodo Newton è una potente tecnica per risolvere numericamente le equazioni. È più comunemente usato per l'approssimazione delle radici delle funzioni a valori reali. Il metodo Newton Rapson è stato sviluppato da Isaac Newton e Joseph Raphson, da qui il nome Metodo Newton Rapson.

Il metodo Newton Raphson prevede il perfezionamento iterativo di un'ipotesi iniziale per farla convergere verso la radice desiderata. Tuttavia, il metodo non è efficace per calcolare le radici dei polinomi o delle equazioni di grado più elevato, ma nel caso di equazioni di grado piccolo questo metodo fornisce risultati molto rapidi. In questo articolo impareremo il metodo Newton Raphson e i passaggi per calcolare le radici utilizzando questo metodo.



Tabella dei contenuti

Cos'è il metodo Newton Raphson?

Il metodo Newton-Raphson, noto anche come metodo di Newton, è un metodo numerico iterativo utilizzato per trovare le radici di una funzione a valori reali. Questa formula prende il nome da Sir Isaac Newton e Joseph Raphson, poiché contribuirono indipendentemente al suo sviluppo. Il metodo Newton Raphson o metodo di Newton è un algoritmo per approssimare le radici degli zeri delle funzioni a valori reali, utilizzando l'ipotesi per la prima iterazione (x0) e quindi approssimando l'iterazione successiva (x1) che è vicino alle radici, utilizzando la seguente formula.

X 1 =x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



Dove,

  • X 0 è il valore iniziale di x,
  • f(x 0 ) è il valore dell'equazione al valore iniziale, e
  • f'(x 0 ) è il valore della derivata del primo ordine dell'equazione o della funzione al valore iniziale x0.

Nota: f'(x0) non dovrebbe essere zero altrimenti la parte frazionaria della formula cambierà in infinito, il che significa che f(x) non dovrebbe essere una funzione costante.

Formula del metodo di Newton Raphson

Nella forma generale, la formula del metodo Newton-Raphson è scritta come segue:



X N =x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

Dove,

  • X n-1 è la stima (n-1)thradice della funzione,
  • f(x n-1 ) è il valore dell'equazione in (n-1)thradice stimata e
  • f'(x n-1 ) è il valore della derivata del primo ordine dell'equazione o della funzione in xn-1.

Calcolo con il metodo di Newton Raphson

Assumi l'equazione o le funzioni le cui radici devono essere calcolate come f(x) = 0.

Per dimostrare la validità del metodo Newton Raphson si seguono i seguenti passaggi:

Passo 1: Disegna un grafico di f(x) per diversi valori di x come mostrato di seguito:

Calcolo con il metodo di Newton Raphson

Passo 2: Si traccia una tangente a f(x) in x0. Questo è il valore iniziale.

Passaggio 3: Questa tangente intersecherà l'asse X in un punto fisso (x1,0) se la derivata prima di f(x) non è zero cioè f'(x 0 ) ≠ 0.

Passaggio 4: Poiché questo metodo presuppone l'iterazione delle radici, questo x1è considerata la prossima approssimazione della radice.

Passaggio 5: Ora i passaggi da 2 a 4 vengono ripetuti fino a raggiungere la radice effettiva x*.

Ora sappiamo che l'equazione pendenza-intercetta di qualsiasi linea è rappresentata come y = mx + c,

Dove M è la pendenza della retta e C è l'intercetta x della retta.

Usando la stessa formula noi, otteniamo

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x−x 0 )

Qui f(x0) rappresenta c e f'(x0) rappresenta la pendenza della tangente m. Poiché questa equazione è vera per ogni valore di x, deve essere vera anche per x1. Quindi, sostituendo x con x1, e uguagliando l'equazione a zero poiché dobbiamo calcolare le radici, otteniamo:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (X 1 -x 0 )

programmazione cobol

X 1 =x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Che è la formula del metodo Newton Raphson.

Pertanto, il metodo di Newton Raphson fu dimostrato matematicamente e accettato come valido.

Convergenza del metodo di Newton Raphson

Il metodo di Newton-Raphson tende a convergere se vale la seguente condizione:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Ciò significa che il metodo converge quando il modulo del prodotto del valore della funzione in x e della derivata seconda di una funzione in x è minore del quadrato del modulo della derivata prima della funzione in x. Il metodo Newton-Raphson ha una convergenza di ordine 2, il che significa che ha una convergenza quadratica.

Nota:

Il metodo di Newton Raphson non è valido se la derivata prima della funzione è 0 che significa f'(x) = 0. È possibile solo quando la funzione data è una funzione costante.

  • Il metodo di Newton per trovare le radici
  • Differenza tra il metodo Newton Raphson e il metodo Falsi regolare
  • Differenza tra il metodo della bisezione e il metodo di Newton Raphson
  • Algoritmo per la ricerca delle radici

Esempio del metodo Newton Raphson

Consideriamo l'esempio seguente per saperne di più sul processo di ricerca della radice di una funzione a valori reali.

Esempio: per il valore iniziale x 0 = 3, approssima la radice di f(x)=x 3 +3x+1.

Soluzione:

Dato, x0= 3 e f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Utilizzando il metodo Newton Raphson:

stringa Java su int

X1=x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1.767

Problemi risolti del metodo Newton Raphson

Problema 1: per il valore iniziale x 0 = 1, approssima la radice di f(x)=x 2 −5x+1.

Soluzione:

Dato, x0= 1 e f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Utilizzando il metodo Newton Raphson:

X1=x0– f(x0)/f'(x0)

⇒x1= 1 – (-3)/-3

⇒x1= 1-1

⇒x1= 0

Problema 2: per il valore iniziale x 0 = 2, approssima la radice di f(x)=x 3 −6x+1.

Soluzione:

Dato, x0= 2 e f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Utilizzando il metodo Newton Raphson:

X1=x0– f(x0)/f'(x0)

⇒x1= 2 – (-3)/6

⇒x1= 2 + 1/2

⇒x1= 5/2 = 2,5

Problema 3: per il valore iniziale x 0 = 3, approssima la radice di f(x)=x 2 −3.

Soluzione:

Dato, x0= 3 e f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Utilizzando il metodo Newton Raphson:

X1=x0– f(x0)/f'(x0)

⇒x1= 3 – 6/6

⇒x1= 2

Problema 4: Trova la radice dell'equazione f(x) = x 3 – 3 = 0, se il valore iniziale è 2.

funzionalità Java8

Soluzione:

Dato x0= 2 e f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

Utilizzando il metodo Newton Raphson:

X1=x0– f(x0)/f'(x0)

⇒x1= 2 – 5/12

⇒x1= 1.583

Utilizzando di nuovo il metodo Newton Raphson:

X2= 1,4544

X3= 1,4424

X4= 1,4422

Pertanto, la radice dell'equazione è circa x = 1,442.

parametro Verilog

Problema 5: Trova la radice dell'equazione f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, se il valore iniziale è 3.

Soluzione:

Dato x0= 3 e f(x) = x3– 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Utilizzando il metodo Newton Raphson:

X1=x0– f(x0)/f'(x0)

⇒x1= 3 – 15/22

⇒x1= 2,3181

Utilizzando di nuovo il metodo Newton Raphson:

X2= 1,9705

X3= 1,8504

X4= 1,8345

X5= 1,8342

Pertanto, la radice dell'equazione è circa x = 1,834.

Domande frequenti sul metodo Newton Raphson

Q1: Definire il metodo Newton Raphson.

Risposta:

Il metodo Newton Raphson è un metodo numerico per approssimare le radici di qualsiasi funzione a valori reali. In questo metodo, abbiamo utilizzato varie iterazioni per approssimare le radici e maggiore è il numero di iterazioni minore è l'errore nel valore della radice calcolata.

Q2: Qual è il vantaggio del metodo Newton Raphson?

Risposta:

Il metodo di Newton Raphson ha il vantaggio di permetterci di indovinare le radici di un'equazione con un grado piccolo in modo molto efficiente e rapido.

Q3: Qual è lo svantaggio del metodo Newton Raphson?

Risposta:

Lo svantaggio del metodo di Newton Raphson è che tende a diventare molto complesso quando il grado del polinomio diventa molto grande.

Q4: Indicare eventuali applicazioni nella vita reale del metodo di Newton Raphson.

Risposta:

Il metodo Newton Raphson viene utilizzato per analizzare il flusso dell'acqua nelle reti di distribuzione idrica nella vita reale.

D5: Su quale teoria si basa il metodo Newton-Raphson?

Risposta:

Il metodo Newton Raphson si basa sulla teoria del calcolo infinitesimale e sulla tangente ad una curva.