La Funzione Obiettivo è l'obiettivo del Problema di Programmazione Lineare, come suggerisce il nome. Nella programmazione lineare o ottimizzazione lineare, utilizziamo varie tecniche e metodi per trovare la soluzione ottimale al problema lineare con alcuni vincoli. La tecnica può anche includere vincoli di disuguaglianza. La funzione obiettivo nella programmazione lineare è ottimizzare per trovare la soluzione ottimale per un dato problema.
In questo articolo impareremo tutto sulla funzione obiettivo inclusa la sua definizione, i tipi, come formulare una funzione obiettivo per un dato problema, ecc. Impareremo anche varie rappresentazioni delle funzioni obiettivo come funzioni obiettivo lineari o funzioni obiettivo non lineari. funzioni. Quindi, iniziamo a conoscere questo concetto fondamentale nella programmazione lineare, ovvero la funzione obiettivo.
Cos'è la funzione obiettivo?
Come suggerisce il nome, la funzione obiettivo stabilisce sostanzialmente l'obiettivo del problema. Si concentra sul processo decisionale basato su vincoli. È una funzione a valori reali che deve essere massimizzata o minimizzata a seconda dei vincoli. È come una funzione di profitto o di perdita. Di solito è indicato con Z.
Le terminologie associate alla Funzione Obiettivo sono le seguenti:
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- Vincoli: Sono fondamentalmente le equazioni condizionali che governano la funzione lineare
- Variabili decisionali: Le variabili i cui valori devono essere trovati. Le equazioni vengono risolte in modo da ottenere il valore ottimale di queste variabili.
- Regione fattibile: È la regione del grafico in cui i vincoli sono soddisfatti e le variabili decisionali si trovano agli angoli della regione.
- Soluzione ottimale: La migliore soluzione possibile che soddisfa tutti i vincoli e raggiunge l'obiettivo più alto o più basso.
- Soluzione irrealizzabile: Una soluzione che viola uno o più vincoli e non può essere implementata o eseguita.
Funzione Obiettivo nella Programmazione Lineare
Nella programmazione lineare una funzione obiettivo è una funzione lineare comprendente due variabili decisionali. È una funzione lineare che deve essere massimizzata o minimizzata a seconda dei vincoli. Se aeb sono costanti e xey sono variabili decisionali dove x> 0 e y> 0, allora la funzione Obiettivo è
Z = ascia + da
Quindi, per ottenere il valore ottimale della funzione di ottimizzazione, dobbiamo prima risolvere i vincoli utilizzando una qualsiasi delle tecniche e scoprire le variabili decisionali. Quindi inseriamo i valori delle variabili Decisione nella funzione Obiettivo per generare il valore ottimale.
Formulare una funzione obiettivo
La programmazione lineare consiste nel trovare i valori ottimali delle variabili decisionali e nell'inserire tali valori nella funzione obiettivo in modo da generare il valore massimo o minimo. Esistono molte tecniche come il metodo del simplesso e il metodo grafico per risolvere la programmazione lineare. Tuttavia, il metodo grafico è solitamente preferito per la sua semplicità. I passaggi per ottenere i valori ottimali della funzione obiettivo sono i seguenti:
- Generare le equazioni di vincolo e la funzione obiettivo dal problema.
- Traccia le equazioni dei vincoli sul grafico.
- Identifichiamo ora la regione ammissibile in cui i vincoli sono soddisfatti.
- Genera i valori delle variabili Decisioni che si trovano agli angoli della regione ammissibile.
- Inserisci tutti i valori generati nella funzione obiettivo e genera il valore ottimale.
Tipi comuni di funzioni obiettivo
Esistono due tipi di funzioni obiettivo.
- Funzione Obiettivo di Massimizzazione
- Funzione Obiettivo di Minimizzazione
Discutiamo questi due tipi in dettaglio come segue:
Funzione Obiettivo di Massimizzazione
In questo tipo, di solito miriamo a massimizzare la funzione obiettivo. I vertici che si trovano dopo aver rappresentato graficamente i vincoli hanno la tendenza a generare il valore massimo della funzione obiettivo. Illustriamolo con l'aiuto di un esempio
Esempio: un uomo investe al massimo 8 ore di tempo nella realizzazione di portafogli e zaini scolastici. Investe 2 ore nella realizzazione di portafogli e 4 ore negli zaini scolastici. Il suo obiettivo è realizzare al massimo 5 portafogli e zaini scolastici e vuole venderli e generare un profitto di Rs 20 su un portafoglio e Rs 100 su uno zaino. Trova la funzione obiettivo.
Soluzione:
Sia x il numero di rotis e y il numero di pane.
Un uomo può investire un massimo di 8 ore investendo 2 ore nella realizzazione di un portafoglio e 4 ore nella realizzazione di uno zaino scolastico. Pertanto la prima equazione di vincolo è
2x + 4a ⩽ 8
⇒ x + 2y ⩽ 4
Il numero massimo che può fare è 5
x+y ⩽ 5
Indichiamo la funzione obiettivo con Z
Pertanto Z = 20x + 100y
Funzione Obiettivo di Minimizzazione
In questo tipo, di solito miriamo a minimizzare la funzione obiettivo. I vertici che si trovano dopo aver rappresentato graficamente i vincoli hanno la tendenza a generare il valore minimo della funzione obiettivo. Illustriamolo con l'aiuto di un esempio
Esempio: data la somma delle due variabili è almeno 20. Viene data una variabile maggiore di uguale a 9. Derivare la funzione obiettivo se il costo di una variabile è di 2 unità e il costo di un'altra variabile è di 9 unità.
Soluzione:
Siano xey le due variabili. La somma delle due variabili dovrebbe essere almeno 20.
x+y ⩾ 20
e x ⩾ 9
Sopra le due disuguaglianze ci sono vincoli per la seguente funzione obiettivo.
Sia la funzione obiettivo indicata con Z. Pertanto Z lo è
Z = 2x + 9y
Rappresentazione matematica della funzione obiettivo
Come abbiamo discusso sulla funzione obiettivo nel contesto della programmazione lineare, ma anche la funzione obiettivo può essere non lineare.
- Funzioni obiettivo lineari: in questo tipo di funzione obiettivo, sia i vincoli che le funzioni obiettivo sono di natura lineare. Gli esponenti delle variabili sono 1.
- Funzioni obiettivo non lineari: in questo tipo di funzione obiettivo, sia i vincoli che le funzioni obiettivo sono di natura lineare. Gli esponenti delle variabili sono 1 o maggiori di 1.
Applicazioni delle funzioni obiettivo
Le funzioni obiettivo sono importanti negli scenari di vita reale. Ad esempio, queste funzioni vengono utilizzate dagli uomini d'affari. Gli uomini d'affari lo usano per massimizzare il loro profitto. Le funzioni obiettivo sono utili anche per i problemi di trasporto. Impostando una funzione è possibile analizzare l'entità del consumo di carburante e come l'utente può di conseguenza ridurne i prezzi. Le funzioni obiettivo sono utili anche nei problemi di distanza.
Problemi risolti sulla funzione obiettivo
Problema 1: una persona vuole cinture e portafogli. Ha un risparmio totale di Rs 6000 e desidera spendere tutti i suoi risparmi per l'acquisto di cinture e portafogli in modo da poterli vendere in seguito. Il valore del portafoglio è Rs 20 e il valore della cintura è Rs 10. Vuole conservarli in un armadio e la capacità massima dell'armadio è di 50 unità. Si aspetta un profitto di Rs 2 sulla cintura e Rs 3 sul portafoglio. Trovare i vincoli e la funzione obiettivo risultante.
Soluzione:
Sia x il numero di portafogli da acquistare e y il numero di cinture da acquistare. È da notare che ogni volta che nel problema viene menzionato il massimo dovremmo usare '⩽' per trovare i vincoli
L'investimento massimo è Rs 6000. La prima equazione di vincolo è
20x+10 anni⩽6000
hashmap javaLa capacità massima dell'armadio è di 50
x+y⩽50
Qui la funzione del profitto è fondamentalmente la funzione obiettivo. Indichiamolo con P. Pertanto la funzione di profitto lo è
P = 3x + 2y
Problema 2: Identificare le equazioni di vincolo e la funzione obiettivo dall'insieme dato
- 2x + 3 anni ⩾ 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4a ⩽ 40
- Z = 7x + 8y
Dove x e y sono maggiori di 0.
Soluzione:
I vincoli possono essere di disuguaglianza o formato di disuguaglianza. Ma una funzione obiettivo ha sempre un simbolo di uguaglianza
Pertanto le equazioni di vincolo sono
2x + 3 anni ⩾ 50
x + y ⩽ 50
5x + 4a ⩽ 40
L'equazione oggettiva è Z = 7x + 8y
Problema 3: Una donna investe al massimo 7 ore di tempo nella preparazione di rotis e pane. Investe 2 ore sul rotis e 4 ore sul pane. Il suo obiettivo è produrre al massimo 20 pane e rotis e vuole venderli e generare un profitto di Rs 2 su roti e Rs 1 sul pane. Trova la funzione obiettivo.
Soluzione:
Sia x il numero di rotis e y il numero di pane.
Una donna può investire un massimo di 7 ore investendo 2 ore nella preparazione di un roti e 4 ore nella preparazione del pane. Pertanto la prima equazione di vincolo è
2x + 4a ⩽ 7
Il numero massimo di pane e rotis che può preparare è 20
x + y ⩽ 20
Indichiamo la funzione obiettivo con Z
Pertanto Z = 2x + y.
Problema 4: L'azienda vuole produrre il Prodotto A e il Prodotto B. Il Prodotto A richiede 4 unità di cacao in polvere e 1 unità di latte in polvere. Il Prodotto B richiede 3 unità di cacao in polvere e 2 unità di latte in polvere. Sono disponibili 87 unità di cacao in polvere e 45 unità di latte in polvere. Il profitto da guadagnare su ciascun prodotto è rispettivamente di $ 3 e $ 5. Trova la funzione obiettivo.
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Soluzione:
Sia x il numero del Prodotto A e y il numero degli articoli di tipo B.
La quantità massima di cacao in polvere è di 87 unità. Quindi la prima equazione di vincolo è
4x + 3 anni ⩽ 87
La quantità massima di latte in polvere disponibile è di 45 unità. Quindi la seconda equazione di vincolo è
x + 2y ⩽ 45
Qui il nostro obiettivo è massimizzare il profitto. Quindi la nostra funzione di profitto è la funzione Obiettivo. Lo indichiamo con Z
Z = 3x + 5y
Problema 5: Devono essere generati due tipi di pacchetti alimentari A e B che contengono vitamine. Ci sono almeno 45 unità del pacchetto alimentare A da rendere disponibili e la produzione di entrambi i pacchetti alimentari dovrebbe essere almeno 30. Genera la funzione obiettivo da generare dove il pacchetto alimentare A contiene 6 unità di vitamine e il pacchetto alimentare B ha 8 unità .
Soluzione:
Sia x il numero di confezioni di cibo A e y il numero di confezioni di cibo B
Dovranno essere messi a disposizione almeno 45 pacchi alimentari. Pertanto la prima equazione di vincolo è
x ⩾ 45
La seconda equazione di vincolo è
x + y ⩾ 30
La funzione obiettivo è la seguente:
Z = 6x + 8y
Domande frequenti sulla funzione obiettivo
Q1: Qual è la funzione obiettivo nel problema di programmazione lineare?
Risposta:
Una funzione obiettivo è una funzione a valori reali che deve essere massimizzata o minimizzata a seconda dei vincoli. Comprende due variabili decisionali.
Q2: Qual è lo scopo della funzione obiettivo?
Risposta:
Lo scopo della funzione obiettivo è massimizzare o minimizzare il valore risultante. È un'equazione espressa in termini di variabili decisionali e svolge un ruolo cruciale nella programmazione lineare.
Q3: Come facciamo a capire se una funzione deve essere massimizzata o minimizzata?
Risposta:
Per verificare se una funzione deve essere massimizzata o meno dovremmo avere familiarità con termini come “al massimo”, “almeno”. Se il termine “almeno” viene fornito in questione, la funzione obiettivo deve essere minimizzata. Per il termine “al massimo” la funzione dovrebbe essere massimizzata.
Q4: Nomina i tipi comuni di funzioni obiettivo.
Risposta:
Esistono due tipi di funzioni obiettivo:
- Funzione Obiettivo di Massimizzazione
- Funzione Obiettivo di Minimizzazione
Q5: Quali sono le applicazioni della funzione obiettivo?
Risposta:
Esistono diverse applicazioni della funzione Obiettivo. Sono utili negli scenari di vita reale. Sono fondamentalmente utilizzati per stimare profitti o perdite in ciascun caso. Le funzioni obiettivo sono utili nei problemi di trasporto, nei problemi di vincoli temporali, ecc.