Triangolo di Pascal è un modello numerico disposto in forma triangolare. Questo triangolo fornisce i coefficienti per l'espansione di qualsiasi espressione binomiale, con i numeri organizzati in modo da formare una forma triangolare. cioè la seconda riga nel triangolo di Pascal rappresenta i coefficienti in (x+y)²e così via.

Nel triangolo di Pascal ogni numero è la somma dei due numeri precedenti. Il triangolo di Pascal ha varie applicazioni nella teoria della probabilità, nella combinatoria, nell’algebra e in vari altri rami della matematica.

Cerchiamo di saperne di più Il triangolo di Pascal, la sua costruzione e vari modelli nel triangolo di Pascal in dettaglio in questo articolo.

Tabella dei contenuti

• Cos’è il triangolo di Pascal?
• Cos’è il triangolo di Pascal?
• Definizione del triangolo di Pascal
• Costruzione del triangolo di Pascal
• Formula del triangolo di Pascal
• Espansione binomiale del triangolo di Pascal
• Come utilizzare il triangolo di Pascal?
• Gli schemi dei triangoli di Pascal
• Aggiunta di righe
• Numeri primi nel triangolo di Pascal
• Diagonali nel triangolo di Pascal
• Sequenza di Fibonacci nel triangolo di Pascal
• Proprietà del triangolo di Pascal
• Esempi di triangoli di Pascal

Cos’è il triangolo di Pascal?

Prende il nome dal famoso filosofo e matematico Balise 'Pascal' che sviluppò uno schema di numeri che inizia con 1 e i numeri sottostanti sono la somma dei numeri sopra. Per prima cosa, annota il numero 1 per iniziare a costruire il triangolo di Pascal. La seconda riga viene scritta nuovamente con due 1. Altre righe vengono generate utilizzando le righe precedenti per creare un triangolo di numeri. Ogni riga inizia e termina con un 1.

Una struttura di base del triangolo Pascal è mostrata nell'immagine aggiunta di seguito,

Cos’è il triangolo di Pascal?

Definiamo il triangolo di Pascal come l'insieme base di numeri disposti in una matrice triangolare in modo tale che ogni elemento nel triangolo di Pascal sia la somma dei due numeri sopra di esso. Il triangolo di Pascal inizia con 1 e questo fu proposto per la prima volta dal famoso matematico francese Balise Pascal e da qui chiamato Triangolo di Pascal.

Questo triangolo rappresenta i coefficienti dell'espansione binomiale per varie potenze. (dobbiamo assicurarci che la potenza nell’espansione binomiale sia solo un numero naturale quindi solo il triangolo di Pascal rappresenta i coefficienti nell’espansione binomiale).

Definizione del triangolo di Pascal

Il triangolo di Pascal è una serie triangolare di numeri in cui ciascun numero è la somma dei due direttamente sopra di esso.

Costruzione del triangolo di Pascal

Possiamo facilmente costruire il triangolo Pad=scal semplicemente sommando i due numeri della riga sopra per ottenere il numero successivo nella riga sotto. Possiamo supporre che la riga zero inizi con un singolo elemento 1 e quindi l'elemento nella seconda riga sia 1 1 che si forma sommando 1+0 e 1+0. Allo stesso modo, gli elementi della seconda riga sono 1 2 1 2, che si formano sommando 1+0, 1+1 e 1+0, e così si ottengono gli elementi della terza riga. Espandendo questo concetto all’ennesima riga otteniamo un Triangolo di Pascal con n+1 righe.

Il triangolo di Pascal fino alla terza riga è mostrato nell'immagine qui sotto,

Dalla figura sopra, osserviamo facilmente che il primo e l'ultimo elemento di ogni riga sono 1.

Formula del triangolo di Pascal

La formula del triangolo Pascal è la formula utilizzata per trovare il numero da riempire nell'ennesima colonna e nell'ennesima riga. Come sappiamo, i termini nel triangolo di Pascal sono la somma dei termini nella riga sopra. Quindi abbiamo bisogno degli elementi nella (n-1)esima riga e nella (m-1)esima e nesima colonna per ottenere il numero richiesto nella mesima colonna e nell'ennesima riga.

Leggi in dettaglio: Formula del triangolo di Pascal

Gli elementi dell’ennesima riga del triangolo di Pascal sono dati,^NC₀,^NC₁,^NC₂, …,^NC_N.

La formula per trovare qualsiasi numero nel triangolo di Pascal è:

^N cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _M

Dove,

• ^N C _M rappresenta il (m+1)esimo elemento nella nesima riga., e
• N è un numero intero non negativo [0 ≤ m ≤ n]

Possiamo comprendere questa formula utilizzando l'esempio discusso di seguito,

Esempio: trova il terzo elemento nella terza riga del triangolo di Pascal.

Soluzione:

Dobbiamo trovare il 3° elemento nella 3° riga del triangolo di Pascal.

La formula del triangolo Pascal è,

^NC_K=^n-1C_k-1+^n-1C_K

Dove^NC_Krappresentare (k+1)^thelemento nel n^thriga.

Pertanto, il 3° elemento nella 3a riga è,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Pertanto, il terzo elemento nella terza riga del triangolo di Pascal è 3.

Espansione binomiale del triangolo di Pascal

Possiamo facilmente trovare il coefficiente di espansione binomiale utilizzando il triangolo di Pascal. Gli elementi nella (n+1)esima riga del triangolo Pascal rappresentano il coefficiente dell'espressione espansa del polinomio (x + y)^N.

Sappiamo che l'espansione di (x + y)^NÈ,

(x+y)^N= un₀X^N+a₁X^n-1e + a₂X^n-2E²+…+a_n-1xy^n-1+a_NE^N

Ecco, a₀, UN₁, UN₂, UN₃, …., UN_Nsono i termini nella (n+1)esima riga del Triangolo di Pascal

Ad esempio, vedere l'espansione di (x+y)⁴

(x+y)⁴=⁴C₀X⁴+⁴C₁X³e +⁴C₂X²E²+⁴C₃xy³+⁴C₄X⁰E⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²E²+ (4)xy³+ (1)y⁴

Qui, i coefficienti 1, 4, 6, 4 e 1 sono gli elementi della quarta riga del Triangolo di Pascal

Come utilizzare il triangolo di Pascal?

Usiamo il triangolo di Pascal per trovare i vari casi dei possibili risultati in condizioni di probabilità. Ciò può essere compreso dal seguente esempio, lanciando una moneta una volta otteniamo due risultati, ovvero H e T, questo è rappresentato dall'elemento nella prima riga del triangolo di Pascal.

Allo stesso modo lanciando una moneta due volte otteniamo tre risultati ovvero {H, H}, {H, T}, {T, H} e {T, T} questa condizione è rappresentata dall'elemento nella seconda riga del Triangolo di Pascal.

Pertanto, possiamo facilmente determinare il possibile numero di risultati nell'esperimento del lancio di una moneta semplicemente osservando i rispettivi elementi nel triangolo di Pascal.

La tabella seguente ci racconta i casi in cui una moneta viene lanciata una, due volte, tre volte e quattro volte e la sua conformità con il Triangolo di Pascal

Gli schemi dei triangoli di Pascal

Osserviamo vari modelli nel triangolo di Pascal che sono:

• Aggiunta di righe
• Numeri primi nel triangolo
• Diagonali nel triangolo di Pascal
• Modello di Fibonacci

Aggiunta di righe

Osservando da vicino il triangolo di Pascal possiamo concludere che la somma di qualsiasi riga del triangolo di Pascal è uguale a una potenza di 2. La formula per la stessa è: Per qualsiasi (n+1)^thriga nel triangolo di Pascal la somma di tutti gli elementi è 2^N

Applicando questa formula nelle prime 4 righe del triangolo di Pascal otteniamo,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Numeri primi nel triangolo di Pascal

Un altro schema molto interessante nel triangolo dei Pascal è che se una riga inizia con un numero primo (trascurando 1 all'inizio di ogni riga), allora tutti gli elementi di quella riga sono divisibili per quel numero primo. Questo modello non vale per i numeri composti.

Ad esempio, l'ottava riga nel triangolo Pascal è,

172135352171

Qui tutti gli elementi sono divisibili per 7.

Per le righe che iniziano con numeri composti come la quinta riga,

14641

Lo schema non è vero poiché 4 non divide 6.

Diagonali nel triangolo di Pascal

Ciascuna diagonale verso destra del Triangolo di Pascal, se considerata come una sequenza, rappresenta i diversi numeri, ad esempio la prima diagonale verso destra rappresenta una sequenza del numero 1, la seconda diagonale verso destra rappresenta i numeri triangolari, la terza diagonale verso destra rappresenta i numeri tetraedrici, la quarta diagonale verso destra rappresenta i numeri di Penelope e così via.

Sequenza di Fibonacci nel triangolo di Pascal

Possiamo facilmente ottenere la sequenza di Fibonacci semplicemente sommando i numeri nelle diagonali del triangolo di Pascal. Questo modello è mostrato nell'immagine aggiunta di seguito,

Proprietà del triangolo di Pascal

Varie proprietà del triangolo di Pascal sono:

• Ogni numero nel triangolo Pascal è la somma del numero sopra di esso.
• Il numero iniziale e finale nel triangolo di Pascal sono sempre 1.
• La prima diagonale nel triangolo di Pascal rappresenta il numero naturale o i numeri da contare.
• La somma degli elementi in ciascuna riga del triangolo di Pascal è data utilizzando una potenza di 2.
• Gli elementi in ciascuna riga sono le cifre della potenza di 11.
• Il triangolo Pascal è un triangolo simmetrico.
• Gli elementi in qualsiasi riga del triangolo di Pascal possono essere utilizzati per rappresentare i coefficienti dell'espansione binomiale.
• Lungo la diagonale del Triangolo di Pascal osserviamo i numeri di Fibonacci.

Articoli relativi al Triangolo di Pascal:

• Teorema binomiale
• Variabili casuali binomiali e distribuzione binomiale

Esempi di triangoli di Pascal

Esempio 1: Trova il quinta riga del triangolo di Pascal.

Soluzione:

Il triangolo Pascal con 5 righe è mostrato nell'immagine qui sotto,

Esempio 2: espandere utilizzando il triangolo Pascal (a + b) ² .

Soluzione:

Per prima cosa scrivi le espressioni generiche senza i coefficienti.

(a+b)²=c₀UN²B⁰+c₁UN¹B¹+c₂UN⁰B²

Ora costruiamo un triangolo di Pascal per 3 righe per scoprire i coefficienti.

I valori dell'ultima riga ci danno il valore dei coefficienti.

C₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a+b)²= un²B⁰+2a¹B¹+a⁰B²

Così verificato.

Esempio 3: espandere utilizzando il triangolo Pascal (a + b) ⁶ .

Soluzione:

Per prima cosa scrivi le espressioni generiche senza i coefficienti.

(a+b)⁶=c₀UN⁶B⁰+c₁UN⁵B¹+c₂UN⁴B²+c₃UN³B³+c₄UN²B⁴+c₅UN¹B⁵+c₆UN⁰B⁶

Ora costruiamo un triangolo di Pascal per 7 righe per scoprire i coefficienti.

I valori dell'ultima riga ci danno il valore dei coefficienti.

C₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, ca₃= 20, ca₄=15, c₅= 6 e c₆= 1.

(a+b)⁶= 1a⁶B⁰+6a⁵B¹+ 15a⁴B²+20a³B³+ 15a²B⁴+6a¹B⁵+1a⁰B⁶

Esempio 4: trova il secondo elemento nella terza riga del triangolo di Pascal.

Soluzione:

Dobbiamo trovare il 2° elemento nella 3° riga del triangolo di Pascal.

Sappiamo che l’ennesima riga del triangolo di Pascal è^NC₀,^NC₁,^NC₂,^NC_3…

La formula del triangolo Pascal è:

polimorfismo Java

^NC_K=^n-1C_k-1+^n-1C_K

Dove^NC_Krappresentare (k+1)^thelemento nel n^thriga.

Pertanto, il 2° elemento nella 3a riga è,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Pertanto, il secondo elemento nella terza riga del triangolo di Pascal è 3.

Esempio 5: Una moneta viene lanciata quattro volte, calcola la probabilità di ottenere esattamente 2 croci.

Soluzione:

Utilizzando la formula del triangolo Pascal,

Numero totale di risultati = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Qui abbiamo quattro casi in cui otteniamo 2 croci,

Così,

Probabilità di ottenere due croci = risultato favorevole/risultato totale

= 4/16 = 1/4

Quindi la probabilità di ottenere esattamente due croci è 1/4 o 25%

Riassunto – Triangolo di Pascal

Il triangolo di Pascal è una disposizione triangolare di numeri in cui ciascun numero è la somma dei due numeri direttamente sopra di esso. Prende il nome dal matematico Blaise Pascal, questo triangolo inizia con un singolo 1 in alto e ogni riga inizia e finisce con 1. I numeri nel triangolo di Pascal corrispondono ai coefficienti dell'espansione binomiale, rendendolo utile in algebra, probabilità e matematica. combinatoria. I modelli all'interno del triangolo includono somme di righe che sono potenze di 2, connessioni alla sequenza di Fibonacci e la presenza di numeri primi. Il triangolo di Pascal è utile anche per calcolare combinazioni e comprendere i risultati negli esperimenti probabilistici, come il lancio di monete.

Domande frequenti sul triangolo di Pascal

Cos’è il triangolo di Pascal?

La disposizione triangolare del numero proposta dal famoso matematico Balise Pascal è chiamata Triangolo di Pascal. Questo triangolo inizia con 1 e nella riga successiva i numeri iniziale e finale vengono fissati su 1, quindi il numero centrale viene generato prendendo la somma dei due numeri precedenti.

Quali sono gli usi del triangolo di Pascal?

I triangoli di Pascal hanno vari usi,

• Viene utilizzato per trovare il coefficiente binomiale dell'espansione binomiale.
• Fornisce un modo alternativo per espandere i termini binomiali.
• È utilizzato in algebra, teoria della probabilità, permutazione e combinazione e altri rami della matematica.

Qual è l'uso del triangolo di Pascal nell'espansione binomiale?

Usiamo il triangolo di Pascal per trovare facilmente il coefficiente di qualsiasi termine nell'espansione binomiale. Qualsiasi riga del triangolo di Pascal (diciamo n-esimo) rappresenta il coefficiente dell'espansione binomiale di (x+y)^N. Ad esempio, la seconda riga del triangolo di Pascal è 1 2 1 e l'espansione di (x+y)²

(x+y)²=x²+2xy+y²

Qui, il coefficiente di ciascun termine è 1 2 1 che assomiglia alla seconda riga del triangolo di Pascal.

Quali sono i vari modelli trovati nel triangolo di Pascal?

Vari schemi che troviamo facilmente nel triangolo di Pascal sono:

• Modello triangolare
• Modello dispari e pari
• Schema di Fibonacci
• Modello simmetrico

Qual è il 5^thRiga del triangolo di Pascal?

La quinta riga del triangolo di Pascal è rappresentata di seguito,

15101051

Sappiamo che la somma di tutti gli elementi in qualsiasi riga viene data utilizzando 2^Ndove n rappresenta il numero di righe. Quindi la somma di tutti i termini nella quinta riga è,

2⁵= 32

Qual è il primo elemento di ogni riga del triangolo di Pascal?

Il primo elemento di ogni riga del triangolo di Pascal è 1. Chiameremo questo termine il termine 0 della riga.