Un periodo è definito come l'intervallo di tempo tra due punti nel tempo e una funzione periodica è definita come una funzione che si ripete a intervalli o periodi di tempo regolari. In altre parole, una funzione periodica è una funzione i cui valori si ripetono dopo un intervallo di tempo specifico. Una funzione periodica è rappresentata come f(x + p) = f(x), dove p è il periodo della funzione. L'onda sinusoidale, l'onda triangolare, l'onda quadra e l'onda a dente di sega sono alcuni esempi di funzioni periodiche. Di seguito sono riportati i grafici di alcune funzioni periodiche e possiamo osservare che il grafico di ciascuna funzione periodica ha una simmetria traslazionale.

Periodo fondamentale di una funzione

Il dominio di una funzione periodica comprende tutti i valori dei numeri reali mentre il suo intervallo è specificato per un intervallo fisso. Una funzione periodica è quella in cui esiste un numero reale positivo P tale che f (x + p) = f (x), poiché tutti gli x sono numeri reali. Il periodo fondamentale di una funzione è il valore minimo del numero reale positivo P o il periodo durante il quale una funzione si ripete.

f(x + P) = f(x)

Dove,

P è il periodo della funzione e F è la funzione periodica.

Come determinare il periodo di una funzione?

1. Una funzione periodica è definita come una funzione che si ripete a intervalli o periodi regolari.
2. È rappresentato come f(x + p) = f(x), dove p è il periodo della funzione, p ∈ R.
3. Per periodo si intende l'intervallo di tempo tra le due occorrenze dell'onda.

Periodi delle funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche sono funzioni periodiche e il periodo delle funzioni trigonometriche è il seguente

• Il periodo di Sin x e Cos x è 2 pag .

cioè sin(x + 2π) = sin x e cos(x + 2π) = cos x

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• Il periodo di Tan x e Cot x è Pi.

cioè tan(x + π) = tan x e cot(x + π) = cot x

• Il periodo di Sec x e Cosec x è 2 pag.

cioè sec(x + 2π) = sec x e cosec(x + 2π) = cosec x

Il periodo della funzione è indicato come la distanza tra le ripetizioni di qualsiasi funzione. Il periodo di una funzione trigonometrica è la lunghezza di un ciclo completo. L'ampiezza è definita come lo spostamento massimo di una particella in un'onda dall'equilibrio. In parole semplici, è la distanza tra il punto più alto o più basso e il punto medio sul grafico di una funzione. In trigonometria, ci sono tre funzioni fondamentali, vale a dire sin, cos e tan, i cui periodi sono rispettivamente periodi 2π, 2π e π. Il punto iniziale del grafico di qualsiasi funzione trigonometrica è considerato x = 0.

Ad esempio, se osserviamo il grafico del coseno riportato di seguito, possiamo vedere che la distanza tra due occorrenze è 2π, ovvero il periodo della funzione coseno è 2π. La sua ampiezza è 1.

Grafico del coseno

Formule periodiche

• Se p è il periodo della funzione periodica f (x), allora anche 1/f (x) è una funzione periodica e avrà lo stesso periodo fondamentale di p di f(x).

Se f(x + p) = f(x),

F(x) = 1/f(x) , Poi F (x + p) = F (x).

• Se p è il periodo della funzione periodica f(x), allora f (ax + b), anche a>0 è una funzione periodica con periodo p/|a|.

• Il periodo di Sin (ax + b) e Cos (ax + b) è 2π/|a|.
• Il periodo di Tan (ax + b) e Cot (ax + b) è π/|a|.
• Il periodo di Sec (ax + b) e Cosec (ax + b) è 2π/|a|.

• Se p è il periodo della funzione periodica f(x), allora af(x) + b, anche a>0 è una funzione periodica con periodo p.

• Il periodo di [a Sin x + b] e [a Cos x + b] è 2π.
• Il periodo di [a Tan x + b] e [a Cot x + b] è π.
• Il periodo di [a Sec x + b] e [a Cosec x + b] è 2π.

Problemi pratici basati sulla funzione periodica

Problema 1: Determina il periodo della funzione periodica cos(5x + 4).

Soluzione:

Funzione data: cos (5x + 4)

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Il coefficiente di x = a = 5.

Lo sappiamo,

Il periodo di cos x è 2π.

Quindi il periodo di cos(5x + 4) è 2π/ |a| = 2π/5.

Quindi il periodo di cos(5x + 4) è 2π/5.

Problema 2: Trova il periodo di f(x) = cot 4x + sin 3x/2.

Soluzione:

Data la funzione periodica: f(x) = cot 4x + sin 3x/2

Lo sappiamo,

Il periodo di cot x è π e il periodo di sin x è 2π.

Quindi il periodo di cot 4x è π/4.

Quindi, il periodo del peccato 3x/2 è 2π/(3/2) = 4π/3.

Ora, il calcolo del periodo della funzione f(x) = cot 4x + sin 3x/2 è:

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Periodo di f(x) = (LCM di π e 4π)/(HCF di 3 e 4) = 4π/1 = 4π.

Pertanto, il periodo di cot 4x + sin 3x/2 è 4π.

Problema 3: traccia il grafico di y = 3 sin 3x+ 5.

Soluzione:

Dato che y = 3 sin 3x + 5

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L'onda data ha la forma di y = a sin bx + c

Dal grafico sopra possiamo scrivere quanto segue:

1. Periodo = 2π/|b| = 2π/3
2. Asse: y = 0 [asse x]
3. Ampiezza: 3
4. Valore massimo = (3 × 1) + 5 = 8
5. Valore minimo = (3 × -1) + 5 = 2
6. Dominio: { x : x ∈ R }
7. Intervallo = [ 8, 2]

Problema 4: Determina il periodo della data funzione periodica 5 sin(2x + 3).

Soluzione:

Funzione data: 5 sin(2x + 3)

Il coefficiente di x = a = 2.

Lo sappiamo,

Il periodo di cos x è 2π.

Quindi, il periodo di 5 sin(2x + 3) è 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Quindi, il periodo di 5 sin(2x + 3) è π.

Problema 5: Trova il periodo di f (x) = tan 3x + cos 5x.

Soluzione:

Data la funzione periodica: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Lo sappiamo,

Il periodo di tan x è π e il periodo di cos x è 2π.

Quindi, il periodo di tan 3x è π/3.

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Quindi il periodo di cos 6x è 2π/5.

Ora, il calcolo del periodo della funzione f(x) = tan 3x + cos 6x è:

Periodo di f(x) = (LCM di π e 2π)/(HCF di 3 e 5) = 2π/1 = 2π.

Pertanto, il periodo di f (x) = tan 3x + cos 5x è 2π.