Linee perpendicolari in matematica sono coppie di rette che si intersecano sempre ad angolo retto, cioè le rette perpendicolari sono sempre rette che si intersecano a 90°. Le linee perpendicolari sono facilmente visibili da noi, gli angoli delle pareti, gli angoli della scrivania e altri rappresentano la linea parallela. Per le rette perpendicolari si dice che si intersecano tra loro ad angolo retto. La distanza più breve tra due linee è data utilizzando la distanza perpendicolare tra loro, cioè la linea perpendicolare tra due punti indica la distanza più breve tra loro.

In questo articolo impareremo a conoscere le linee perpendicolari, le loro proprietà e altre in dettaglio.

Tabella dei contenuti

• Cosa sono le linee perpendicolari?
• Proprietà delle rette perpendicolari
• Pendenza delle rette perpendicolari
• Formula delle linee perpendicolari
• Come disegnare linee perpendicolari?
• Equazione della linea perpendicolare

Cos'è la perpendicolare?

La perpendicolare è definita come una linea che forma a angolo retto con un'altra linea. In altre parole, per linea perpendicolare si intendono le linee che formano un angolo di 90 gradi. La distanza più breve tra il punto e la linea è la linea perpendicolare tra loro. Una perpendicolare forma 90 gradi con l'altra retta. Le linee AB e PQ, come mostrato nell'immagine seguente, sono perpendicolari tra loro perché si intersecano a 90 gradi.

Le linee AB e CD aggiunte nell'immagine seguente mostrano due linee perpendicolari.

Cosa sono le linee perpendicolari?

Per Linee Perpendicolari si intendono le linee che si intersecano tra loro con un angolo pari a 90 gradi cioè se due linee si incontrano ad angolo retto si chiamano Linee Perpendicolari. Prendi la figura aggiunta qui sotto, la linea l e la linea m si intersecano nel punto O e l'angolo formato da loro è di 90 gradi.

Quindi, possiamo dire che l è una linea perpendicolare alla linea m o che la linea m è perpendicolare alla linea l. Rappresentiamo questa condizione come, l ⊥ m. Ora ogni retta parallela alla retta l è perpendicolare alla retta m. La distanza più breve tra il punto e la linea è sempre la distanza perpendicolare tra loro.

Nota: Non tutte le linee che si intersecano sono linee perpendicolari ma tutte le linee perpendicolari sono linee che si intersecano.

Segno perpendicolare

Le linee perpendicolari sono rappresentate utilizzando il simbolo '⊥'. Se le rette l e m sono perpendicolari tra loro, cioè si intersecano a 90 gradi, allora si chiamano rette perpendicolari e si rappresentano come, l ⊥ m. Il punto di intersezione si chiama piede della perpendicolare.

Forme perpendicolari

Forme perpendicolari possono essere viste intorno a noi nella nostra vita quotidiana. Nelle forme perpendicolari si intendono le forme in cui almeno un angolo è di 90°. Varie forme che hanno linee perpendicolari (forme perpendicolari) sono,

• Piazza
• Rettangolo
• Triangolo rettangolo

Proprietà delle rette perpendicolari

Due linee qualsiasi che si intersecano con un angolo di 90 gradi sono chiamate linee perpendicolari. Le linee perpendicolari hanno proprietà diverse rispetto alle linee che si intersecano e le proprietà generali delle linee che si intersecano sono,

• Le linee perpendicolari sono le linee che si intersecano sempre ad angolo retto.
• Se due rette sono perpendicolari alla stessa retta, allora queste due rette sono sempre parallele tra loro.

Pendenza delle rette perpendicolari

La pendenza di qualsiasi linea è l'abbronzatura dell'angolo formato dalla linea con l'asse x positivo e la pendenza nel caso delle linee perpendicolari ha una relazione particolare tra loro.

Supponiamo di avere due rette PQ e RS perpendicolari tra loro. Ora, la pendenza della retta PQ è diciamo m₁e la pendenza della linea RS è diciamo m₂, allora il prodotto delle pendenze è pari a -1. La dichiarazione per lo stesso è,

Dichiarazione: Due rette sono perpendicolari tra loro se e solo se il prodotto della loro pendenza è -1.

Questo può essere rappresentato come,

M ₁ .M ₂ = -1

Formula delle linee perpendicolari

Le due formule base della linea perpendicolare sono discusse di seguito,

Dichiarazione 1: Il prodotto della pendenza di una linea perpendicolare con la pendenza della linea originale è sempre -1 .

Prova:

Lascia che la linea originale formi un angolo di θ con l'asse X.

Quindi, la linea perpendicolare alla linea formerà un angolo di θ + 90° o θ – 90° con l'asse X.

Ora, la pendenza della linea originale è uguale a tan θ

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La pendenza della linea perpendicolare è uguale a tan (θ + 90^O) o marrone chiaro (θ – 90^O)

marrone chiaro (θ + 90 ^O ) = marrone chiaro (θ – 90 ^O ) = -culla i

Pertanto, la pendenza della linea perpendicolare è -cot θ

Ora,

Prodotto delle pendenze = tan θ × (-cot θ) = -1

Quindi dimostrato

Dichiarazione 2: Se l'equazione di una linea è ax + by + c = 0

Allora l'equazione di una retta perpendicolare alla retta data è:

–bx + ay + d = 0

Dove, C E D sono valori costanti

Prova:

L'equazione della retta è ax + by + c = 0

La pendenza della linea è -a/b

Sia la pendenza della retta perpendicolare m

Sappiamo che il prodotto della pendenza di due rette perpendicolari è -1

m × (-a / b) = – 1

m = b/a

Ora, se la retta perpendicolare passa per un punto (x₁, E₁), allora l'equazione della retta perpendicolare è,

(e e₁) / (x-x₁) = b/a

e e₁= (b/a) × (x – x₁)

è - è₁= bx – bx₁

–bx + è + (bx₁- È₁) = 0 {sia bx₁- È₁= d}

Pertanto, l'equazione richiesta della retta è:

–bx + ay + d = 0

Come disegnare linee perpendicolari?

Possiamo costruire facilmente la coppia della retta perpendicolare, utilizzando il goniometro e il compasso.

Disegnare linee perpendicolari utilizzando il goniometro

Per disegnare una coppia di linee perpendicolari seguire i passaggi discussi di seguito,

Passo 1: Per prima cosa traccia una linea orizzontale AB sul foglio usando un righello.

Passo 2: Segna un punto P qualsiasi sulla linea AB da cui dobbiamo tracciare la linea perpendicolare.

Passaggio 3: Posiziona il protettore sulla linea e fai corrispondere il punto medio del protettore con il punto P sulla linea.

Passaggio 4: Segnare l'angolo di 90 gradi utilizzando la protezione.

Passaggio 5: Unisci la linea utilizzando un qualsiasi righello con un angolo di 90 gradi, per ottenere una coppia di linee perpendicolari.

Disegnare una linea perpendicolare utilizzando la bussola

Di seguito sono riportati i passaggi per creare linee perpendicolari utilizzando un compasso

Passo 1: Disegna una linea sul foglio utilizzando un righello

Passo 2: Prendi un punto sulla linea e posizionaci sopra l'ago della bussola.

Passaggio 3: Disegna un arco (un semicerchio) su un lato della linea.

Passaggio 4: Senza modificare il raggio del compasso, posiziona ora l'ago su un'estremità del diametro del semicerchio.

Passaggio 5: Trisecare l'arco semicircolare tagliandolo due volte. Il primo taglio segna 60° e il secondo taglio segna 120°

Passaggio 6: C'è una differenza di 60° tra il primo e il secondo taglio. Dividere in due questo spazio utilizzando la bussola senza modificarne il raggio.

Passaggio 7: Unire ora il punto di bisezione di 60 e 120 con il punto ipotizzato inizialmente per disegnare l'arco semicircolare.

Passaggio 8: La linea così tracciata è perpendicolare alla linea iniziale.

Esempi di linee perpendicolari

Le linee perpendicolari sono le linee che si incontrano sempre a 90 gradi. Vediamo vari esempi di linee parallele nella vita reale, alcuni di essi sono,

• Gli angoli delle stanze sono perpendicolari tra loro.
• Le lancette dell'orologio rappresentano linee perpendicolari alle ore 3.
• Gli angoli del tavolo e della scrivania rappresentano le linee perpendicolari.

Rette perpendicolari e parallele

Le linee perpendicolari sono le linee che formano tra loro un angolo di 90° dove come linee parallele sono le linee che sono parallele tra loro cioè sono equidistanti tra loro e non si intersecano mai tra loro.

Nota: Le linee parallele si incontrano all'Infinito .

Pendenza di rette parallele e perpendicolari

La pendenza delle linee parallele è uguale mentre il prodotto della pendenza delle linee perpendicolari è -1.

Equazioni delle rette parallele e perpendicolari

Se due rette sono parallele la loro equazione è:

• ax + by + c = 0 e ax + by + d = 0

Mentre l'equazione di due perpendicolari è,

• ax + by + c = 0 e -bx + ax + d = 0

Cosa sono le linee parallele?

Le linee parallele in Geometria sono definite come le linee che non si incontrano nel piano 2D, cioè non si intersecano mai nel piano 2D. La distanza tra le due linee parallele è sempre costante. L'immagine aggiunta di seguito mostra due coppie di linee parallele.

Le linee a, b, x e y sono parallele tra loro.

Differenza tra linee parallele e linee perpendicolari

Linee parallele e linee perpendicolari sono discussi nella tabella seguente.

Equazione della linea perpendicolare

Lo standard equazione di una retta È ax + by + c = 0 e la linea perpendicolare alla linea data è data usando,

-bx + ay + d = 0

Dove, D è il valore costante e il suo valore si trova utilizzando l'altra condizione data.

Pendenza della linea perpendicolare

Supponiamo di avere una linea la cui equazione è della forma y = mx + c e la sua pendenza è m, allora la pendenza della linea perpendicolare alla linea data è,

Pendenza della linea perpendicolare = -1/m

Ora se la pendenza di due rette è m₁e m₂allora la relazione tra queste due pendenze è, M ₁ M ₂ = -1

Per saperne di più,

• Linee parallele
• Linee trasversali
• Proprietà delle rette parallele

Esempi di linee perpendicolari

Esempio 1: le linee 3x + 2y + 5 = 0 e 2x – 3y + 8 = 0 sono perpendicolari?

Soluzione:

La pendenza della linea ax + by + c = 0 è -a/b

• La pendenza della retta 3x + 2y + 5 = 0 è m₁= – 3/2.
• La pendenza della linea 2x – 3y + 8 = 0 è m₂= -2/(-3) = 2/3

Sappiamo che le rette sono perpendicolari se le loro pendenze presentano la condizione.

M₁×m₂= -1

Ora, dalla condizione di cui sopra,

= (- 3/2) × (2/3)

= -1

Il prodotto delle pendenze è -1 e quindi le rette sono perpendicolari.

Esempio 2: Trova la retta perpendicolare alla retta x + 2y + 5 = 0 e passa per il punto (2, 5).

Soluzione:

Sappiamo che l'equazione di una retta perpendicolare alla retta ax + by + c = 0 è – bx + ay + d = 0.

Data l'equazione della retta è x + 2y + 5 = 0

Confrontando la retta x + 2y + 5 = 0 con ax + by + c = 0 otteniamo,

• un = 1
• b = 2
• c = 5

Pertanto, l'equazione di qualsiasi linea perpendicolare a questa linea è – 2x + y + d = 0…(i)

Dato che questa retta passa per (2, 5),

Inserendo così (2, 5) in questa equazione della retta perpendicolare

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Sostituendo il valore di d in eq(i), otteniamo

-2x + y + (-1) = 0

Pertanto, l'equazione della linea perpendicolare è -2x + y – 1 = 0

Esempio 3: Trova la pendenza della linea perpendicolare alla linea 3x + 9y + 7 = 0.

Soluzione:

Dato,

L'equazione della retta è 3x + 9y + 7 = 0

Pendenza di questa linea = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Supponiamo che la pendenza della linea perpendicolare alla linea sopra sia m

Ora usiamo la formula della linea perpendicolare

m× (- 1/3) = – 1

⇒ m = 3

Pertanto, la pendenza della retta perpendicolare alla retta data è 3.

Esempio 4: Trova l'angolo di una linea perpendicolare alla linea x + y + 3 = 0.

Soluzione:

Data la linea,

x + y + 3 = 0

Pendenza della retta data = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Supponiamo che la pendenza della linea perpendicolare alla linea sopra sia m

Dalla formula della linea perpendicolare,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

L'angolo della linea perpendicolare alla linea data è quindi θ

m = marrone chiaro θ

⇒ tan θ = 1

⇒θ = abbronzatura^-1(1) = 45°

Quindi, l'angolo formato dalla linea perpendicolare con l'asse X è 45°.

Problemi pratici perpendicolari

Q1. Trova l'angolo di una linea perpendicolare alla linea 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Se una linea passa per i punti (11, –4) e (–1, 8) e un'altra linea passa per i punti (8, 3) e (–1, -3). Controlla se queste linee sono parallele o perpendicolari.

Q3. Trova l'equazione per la linea perpendicolare a 5x − 7y = 5 e passante per il punto (-1, 8).

Q4. Trova l'equazione della retta passante per (2, 3) e perpendicolare all'asse x.

Linee perpendicolari – Domande frequenti

Cosa sono le linee perpendicolari?

Se due rette che si intersecano si intersecano tra loro ad angolo retto, cioè a 90 gradi, allora queste due rette si chiamano perpendicolari.

Cosa sono le linee parallele e perpendicolari?

Le linee parallele sono le linee che non si incontrano nel piano 2D. La distanza tra due linee parallele è sempre costante. Se invece due rette si incontrano a 90 gradi allora queste rette si chiamano perpendicolari.

Le linee che si intersecano sono sempre perpendicolari?

No, non tutte le linee che si intersecano sono sempre perpendicolari, possono essere o meno perpendicolari. Le linee che si intersecano possono incontrarsi ad angoli diversi.

Qual è la condizione per la pendenza delle rette perpendicolari?

Supponiamo che la pendenza di due rette sia m₁e m₂allora la condizione delle pendenze di due rette perpendicolari è, M ₁ .M ₂ = -1

Quante linee perpendicolari si possono tracciare su una linea?

Possiamo tracciare un numero qualsiasi di linee perpendicolari a una linea, ovvero possiamo avere infinite linee perpendicolari a qualsiasi linea.

Quando due rette sono perpendicolari?

Due linee sono perpendicolari se si intersecano a 90°, cioè le linee perpendicolari si intersecano sempre ad angolo retto.

Cos'è un triangolo perpendicolare?

Un triangolo che ha un angolo pari a 90° si chiama triangolo perpendicolare. È anche chiamato il triangolo rettangolo.

Quali sono alcune forme perpendicolari?

Alcune forme chiamate forme pependicolari sono le forme che contengono almeno una perpendicolare. Vari esempi di forme perpendicolari sono: quadrato, rettangolo, triangolo rettangolo

Cosa sono gli angoli perpendicolari?

Gli angoli uguali a 90° si chiamano angoli perpendicolari. L'altro nome degli angoli perpendicolari è Angoli Retti.

Qual è il simbolo perpendicolare?

Il simbolo o segno che rappresenta la perpendicolare è, ⟂. Usiamo questo simbolo per mostrare se due linee sono perpendicolari. Ad esempio, se è scritto A⟂B, dove A e B sono due linee, allora la linea A è perpendicolare alla linea B e viceversa.

Come si identificano le linee perpendicolari?

Se l'angolo tra due linee è 90°. Allora possiamo dire che queste due rette sono perpendicolari. Se la pendenza delle due rette è data come, m₁, M₂quindi usiamo la formula della linea perpendicolare per scoprire se sono perpendicolari o meno. La formula della linea perpendicolare è, m₁.M₂= -1

Come trovare la pendenza delle rette perpendicolari?

La pendenza delle linee perpendicolari può essere facilmente calcolata utilizzando la formula della pendenza. Supponiamo che ci venga data una linea, quindi la convertiamo prima nella forma standard e quindi utilizziamo la formula della pendenza per trovare la pendenza. La formula della pendenza è m = -b/a, dove a è il coefficiente di x e b è il coefficiente di y.