Settore di un cerchio è uno dei componenti di un cerchio come un segmento che gli studenti imparano nei loro anni accademici poiché è una delle forme geometriche importanti. Il settore circolare è una sezione di cerchio formata dall'arco e dai suoi due raggi e si ottiene quando una sezione della circonferenza del cerchio e due raggi si incontrano alle due estremità dell'arco. Da una fetta di pizza all'area compresa tra due pale di un ventilatore, possiamo vedere ovunque settori del cerchio nella nostra vita quotidiana.
In questo articolo esploreremo il forma geometrica del settore che si ricava dal cerchio in dettaglio comprese le sue aree, perimetro e tutte le formule relative al settore circolare.
Tabella dei contenuti
- Cos'è il settore circolare?
- Esempi di settore circolare
- Settore di un'area circolare
- Formula per l'area di un settore
- Derivazione della formula per l'area di un settore
- Area del Settore Minore
- Area del settore principale
- Lunghezza dell'arco del settore circolare
- Formula per la lunghezza dell'arco di un settore
- Derivazione della formula per la lunghezza dell'arco di un settore
- Settore del perimetro del cerchio
- Perimetro di una formula di settore
- Settore dei problemi campione di un cerchio
- Riepilogo delle formule importanti del settore circolare
Cos'è il settore circolare?
Un settore è un segmento di un cerchio che include un arco e i due raggi che collegano i punti finali dell'arco al centro del cerchio. Rappresenta una frazione del cerchio, definita dall'arco (parte del perimetro del cerchio) e dai raggi alle estremità dell'arco. Visivamente, un settore ricorda un pezzo di pizza o di torta, evidenziandone la natura di porzione dell'intero cerchio.
Definizione di settore circolare
Un settore circolare è una porzione di cerchio racchiusa tra due raggi e l'arco che essi formano.
In altre parole, un settore di cerchio è una sezione a forma di torta di un cerchio formata dall'arco e dai suoi due raggi e viene prodotto quando una sezione della circonferenza del cerchio (nota anche come arco) e due raggi si incontrano in entrambi i punti. estremità dell'arco. Il semicerchio, che rappresenta la metà di un cerchio, è il settore più frequente di un cerchio.
Settore di un cerchio
Possiamo vedere nel diagramma sopra illustrato che ci sono sempre due settori formati nel cerchio.
- Settore principale: Il settore con la lunghezza dell'arco maggiore è chiamato settore maggiore.
- Settore Minore: Il settore con la lunghezza dell'arco minore è chiamato settore minore.
Angolo del settore
L'angolo sotteso dall'arco al centro del cerchio è detto angolo settoriale o angolo al centro del settore. Nel diagramma sopra, possiamo vedere che, il l'angolo sotteso dal settore minore è θ , quindi θ è l'angolo del settore per il settore minore. Come sappiamo l'angolo totale sotteso in ogni punto è 360°, quindi il l'angolo sotteso dal settore maggiore è 360° – θ .
Esempi di settore circolare
Alcuni esempi di settori circolari sono fette di pizza o torta, il quadrante di un orologio, la pala di un ventilatore, ecc. Alcuni esempi di settori circolari sono mostrati nella seguente illustrazione:
Settore di un'area circolare
L'area di un settore circolare è la quantità di spazio occupato all'interno di un settore del bordo di un cerchio. Un settore inizia sempre al centro del cerchio. Anche il semicerchio è un settore di cerchio; in questo caso un cerchio ha due settori di uguali dimensioni.
Formula per l'area di un settore
La formula per l'area di un settore è data come segue:
A = (θ/360°) × pr 2
Dove,
- io è l'angolo del settore sotteso dagli archi al centro (in gradi),
- R è il raggio del cerchio.
Un'altra formula
Se l'angolo sotteso θ è espresso in radianti, l'area è data da,
A = 1/2 × r 2 × i
Per saperne di più,
- Cerchio
- Raggio del cerchio
- Area del cerchio
Derivazione della formula per l'area di un settore
Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r, supponiamo che OAPB sia il suo settore e θ (in gradi) sia l'angolo sotteso dagli archi al centro.
Sappiamo che l'area dell'intera regione circolare è data da πr2.
Se l'angolo sotteso è 360°, l'area del settore è uguale a quella dell'intero cerchio, cioè πr2.
Applica il metodo unitario per trovare l'area del settore per qualsiasi angolo θ.
Se l'angolo sotteso è 1°, l'area del settore è data da πr2/360°.
Quindi, quando l'angolo è θ, l'area del settore, OAPB = (θ/360°) × pr 2
Da ciò deriva la formula per l'area di un settore circolare.
Area del Settore Minore
La formula derivata nella sezione precedente viene generalmente utilizzata come area del settore minore. Poiché θ è per lo più la rappresentazione generale dell'angolo del settore minore. Così
Area del settore principale
Poiché l'angolo del settore principale è generalmente rappresentato da 360° – θ. Pertanto, l'area del settore maggiore è data da
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Lunghezza dell'arco del settore circolare
La lunghezza dell'arco di un settore è la lunghezza dell'arco racchiuso dal settore. In altre parole, un arco è la sottolunghezza della circonferenza del cerchio. È opinione generale che la lunghezza dell'arco sia il perimetro del settore ma è solo la parte circolare del settore e non il perimetro completo. Discuteremo il perimetro nell'articolo successivo.
Formula per la lunghezza dell'arco di un settore
La formula per la lunghezza dell'arco di un settore con angolo di settore θ è data come segue:
Lunghezza dell'arco di un settore = θ°/360° × 2πr
Dove,
- io è l'angolo del settore sotteso dagli archi al centro (in gradi),
- R è il raggio del cerchio.
Derivazione della formula per la lunghezza dell'arco di un settore
Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r. Sia OAPB un settore della circonferenza, e θ° l'angolo sotteso dall'arco di centro O.
Sappiamo che la circonferenza dell'intero cerchio è data da 2πr. Se l'angolo sotteso è 360°, la lunghezza dell'arco del settore è uguale alla circonferenza dell'intero cerchio, che è 2πr.
Per trovare la lunghezza dell'arco per qualsiasi angolo θ, possiamo impostare una proporzione utilizzando il metodo unitario:
Se l'angolo sotteso è 360°, la lunghezza dell'arco del settore è 2πr.
Se l'angolo sotteso è θ°, la lunghezza dell'arco del settore è x.
Usando le proporzioni otteniamo
θ°/360° = x/2pr
⇒ x = θ°/360° × 2πr
x = θ°/360° × πd
Dove d = 2r è il diametro del cerchio.
Ciò deriva la formula per la lunghezza dell'arco di un settore circolare.
Per saperne di più,
- Circonferenza del cerchio
- Settore del Circolo
- Tangente del cerchio
Settore del perimetro del cerchio
Il perimetro di qualsiasi forma geometrica è il suo confine. Pertanto, per il settore di un cerchio il perimetro è anche il confine del cerchio che comprende la lunghezza dell'arco nonché il raggio del cerchio che racchiude il settore.
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Perimetro di una formula di settore
La formula per il perimetro di un cerchio è data da:
Perimetro del settore = Lunghezza dell'arco + 2 × r
Perimetro del settore = (θ/360) × 2πr + 2 × r
Dove,
- io è la misura dell'angolo al centro in gradi,
- Pi è una costante matematica (π≈3.14), e
- R è il raggio del cerchio.
Sommario – Settore di un cerchio
- Il settore è la regione racchiusa tra due raggi e la lunghezza dell'arco nel cerchio.
- L'angolo sotteso dall'arco al centro è detto angolo al centro.
- L'area di un settore del cerchio è
- La lunghezza dell'arco del settore circolare è
- Il perimetro del settore circolare è
Alcuni punti chiave sul settore del cerchio sono:
- La somma degli angoli di qualsiasi settore circolare è sempre 360 gradi.
- L'area di un settore è sempre inferiore all'area dell'intero cerchio.
- Anche la lunghezza dell'arco del settore è sempre inferiore alla circonferenza del cerchio.
- Il perimetro di un settore può essere maggiore della circonferenza dell'intero cerchio.
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- Circonferenza del cerchio
Settore dei problemi campione di un cerchio
Problema 1: Trova l'area del settore di un dato cerchio di raggio 5 cm se l'angolo del suo settore è 30°.
Soluzione:
Abbiamo r = 5 e θ = 30°.
Utilizza la formula A = (θ/360°) × πr2per trovare la zona
A = (30/360) × (22/7) × 52
⇒A = 550/840
⇒ A = 0,65 cmq
Problema 2: Trova l'area del settore di un dato cerchio di raggio 9 cm se l'angolo del suo settore è 45°.
Soluzione:
Abbiamo r = 9 e θ = 45°.
Utilizza la formula A = (θ/360°) × πr2per trovare la zona
A = (45/360) × (22/7) × 92
⇒ A = 1782/56
⇒ A = 31,82 cmq
Problema 3: Trova l'area del settore per un dato cerchio di raggio 15 cm se l'angolo del suo settore è π/2 radianti.
Soluzione:
Abbiamo r = 15 e θ = π/2.
Usa la formula A = 1/2 × r2× θ per trovare l'area.
A = 1/2×152× p/2
⇒ A = 1/2 × 225 × 11/7
⇒ LA = 2475/14
⇒ A = 176,78 cmq
Problema 4: Trova l'angolo sotteso al centro del cerchio se l'area del suo settore è 770 cmq e il suo raggio è 7 cm.
Soluzione:
Abbiamo r = 7 e A = 770.
Utilizza la formula A = (θ/360°) × πr2per trovare il valore di θ.
=> 770 = (θ/360) × (22/7) × 72
=> 770 = (θ/360) × 154
=>θ/360 = 5
=> θ = 1800°
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Problema 5: Trova l'area di un cerchio se l'area del suo settore è 132 cmq e l'angolo sotteso al centro del cerchio è 60°.
Soluzione:
Abbiamo θ = 60° e A = 132.
Utilizza la formula A = (θ/360°) × πr2per trovare il valore di θ.
=> 132 = (60/360) × (22/7) × r2
=> 132 = (1/6) × (22/7) × r2
=> r2= 252
=> r = 15,87 cm
Ora, Area del cerchio = πr2
= (22/7) × 15,87 × 15,87
= 5540,85/7
= 791,55 cmq
Problema 6: Calcola la lunghezza dell'arco quando r = 9 cm e θ = 45°.
Soluzione:
Dato,
- R = 9cm
- io = 45°
L = (45/360) × 2π × 9
L = (1/8) × (2 × 22/7) × 9
L = (1/8) × (44/7) × 9
L = (1/8) × 44 × 9
L = 44/8 × 9
L = 99/2 cm (arrotondato alla seconda cifra decimale)
Pertanto la lunghezza dell'arco del settore è 49,5 cm.
Link importanti relativi alla matematica:
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Riepilogo delle formule importanti del settore circolare
- Formula per l'area di un settore: A = (θ/360°) × pr2
- Formula per la lunghezza dell'arco di un settore: Lunghezza arco = θ°/360° × 2pr
- Formula per il perimetro del settore circolare: P = (θ/360) × 2πr + 2 × r
Settori di un cerchio – Domande frequenti
Cosa sono i settori di un cerchio?
I settori di un cerchio sono parti o porzioni del cerchio delimitate da due raggi e dal corrispondente arco compreso tra loro.
Cos'è un angolo al centro in un settore circolare?
Un angolo al centro è un angolo con il vertice al centro di un cerchio e i lati che si estendono fino agli estremi di un arco. Determina la dimensione del settore e si misura in gradi o radianti.
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Come si calcola l'area di un settore circolare?
L'area di un settore può essere calcolata utilizzando la formula seguente:
Area del settore = (θ/360) × πr 2
Dove,
- io è la misura dell'angolo al centro in gradi,
- Pi è una costante matematica (π≈3.14), e
- R è il raggio del cerchio.
Qual è la lunghezza dell'arco di un settore?
La lunghezza dell'arco di un settore è la distanza lungo la circonferenza del cerchio che forma l'arco.
Qual è la formula per la lunghezza dell'arco di un settore?
La lunghezza dell'arco di un settore è data dalla seguente formula:
Lunghezza dell'arco del settore = (θ/360) × 2πr
Dove,
- io è la misura dell'angolo al centro in gradi,
- Pi è una costante matematica (π≈3.14), e
- R è il raggio del cerchio.
Come viene calcolato il perimetro del settore circolare?
Il perimetro di un settore circolare è la somma della lunghezza dell'arco e delle lunghezze dei due raggi che formano il settore. La formula per il perimetro di un cerchio è data da:
- Perimetro del settore = Lunghezza dell'arco + 2 × r
- Perimetro del settore = (θ/360) × 2πr + 2 × r
Dove,
- io è la misura dell'angolo al centro in gradi,
- Pi è una costante matematica (π≈3.14), e
- R è il raggio del cerchio.
L'area del settore può essere maggiore dell'area dell'intero cerchio?
No, l'area di qualsiasi settore non può essere maggiore dell'area dell'intero cerchio poiché è la parte del cerchio e può essere al massimo uguale all'area di un cerchio poiché il settore più grande possibile è un cerchio completo.