Formule del sin cos in trigonometria: La trigonometria, come suggerisce il nome, è lo studio dei triangoli. È un importante ramo della matematica che studia la relazione tra le lunghezze dei lati e gli angoli del triangolo rettangolo e aiuta anche a determinare le lunghezze dei lati o gli angoli mancanti di un triangolo. Esistono sei rapporti o funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, cosecante, secante e cotangente, dove cosecante, secante e cotangente sono le funzioni reciproche delle altre tre funzioni, ovvero seno, coseno e tangente, rispettivamente.

Un rapporto trigonometrico è definito come il rapporto tra le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo. La trigonometria viene impiegata in vari campi della nostra vita quotidiana. Aiuta a determinare l'altezza di colline o edifici. Viene utilizzato anche in campi come criminologia, edilizia, fisica, archeologia, ingegneria dei motori marini, ecc.

In questo articolo esploreremo tutto formule di trigonometria, principalmente formule di seno e coseno con i relativi esempi e un elenco di tutte le formule di trigonometria.

Tabella dei contenuti

• Formule in trigonometria
• Formula del seno
• Formula del coseno
• Alcune formule base del Sin Cos
• Tabella delle formule del peccato e del coseno
• Elenco delle formule Sin Cos
• Esempi di formule Sin Cos
• Problemi pratici sulle formule del seno cos in trigonometria con esempi

Formule in trigonometria

Consideriamo un triangolo rettangolo XYZ, dove ∠Y = 90°. Sia θ l'angolo al vertice Z. Il lato adiacente a θ si chiama lato adiacente, mentre il lato opposto a θ si chiama lato opposto. L'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto o il lato più lungo di un angolo retto.

• sin θ = lato opposto/ipotenusa
• cos θ = Lato adiacente/Ipotenusa
• tan θ = Lato opposto/Lato adiacente
• cosec θ = 1/sen θ = Ipotenusa/Lato opposto
• sec θ = 1/ cos θ = Ipotenusa/Lato adiacente
• lettino θ = 1/ marrone chiaro θ = Lato adiacente/Lato opposto

Formula del seno

Il seno di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza dell'ipotenusa rispetto all'angolo dato. Una funzione seno è rappresentata come peccato.

sin θ = lato opposto/ipotenusa

Formula del coseno

Il coseno di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa rispetto all'angolo dato. Una funzione coseno è rappresentata come cos.

città negli Stati Uniti

cos θ = Lato adiacente/Ipotenusa

Alcune formule base del Sin Cos

Funzioni seno e coseno nei quadranti

• La funzione seno è positiva nel primo e secondo quadrante e negativa nel terzo e quarto quadrante.
• La funzione coseno è positiva nel primo e quarto quadrante e negativa nel secondo e terzo quadrante.

Gradi	Quadrante	Segno della funzione seno	Segno della funzione coseno
Da 0° a 90°	1° quadrante	+ (positivo)	+ (positivo)
da 90° a 180°	2° quadrante	+ (positivo)	– (negativo)
da 180° a 270°	3° quadrante	– (negativo)	– (negativo)
Da 270° a 360°	4° quadrante	– (negativo)	+ (positivo)

L'identità dell'angolo negativo delle funzioni seno e coseno

• Il seno di un angolo negativo è sempre uguale al seno negativo dell'angolo.

peccato (– θ) = – peccato θ

• Il coseno di un angolo negativo è sempre uguale al coseno dell'angolo.

cos(–θ) = cosθ

Relazione tra funzione seno e coseno

sin θ = cos (90° – θ)

Funzioni reciproche delle funzioni seno e coseno

• Una funzione cosecante è la funzione reciproca della funzione seno.

cosec θ = 1/sen θ

• Una funzione secante è la funzione reciproca della funzione coseno.

secθ = 1/cosθ

Identità pitagorica

senza ² θ + cos ² θ = 1

Identità periodiche delle funzioni seno e coseno

peccato (θ + 2nπ) = peccato θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Formule del doppio angolo per le funzioni seno e coseno

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos2θ = cos ² θ – peccato ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 peccato ² io

Identità dei semiangoli per le funzioni seno e coseno

peccato (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Identità di tripli angoli per le funzioni seno e coseno

peccato 3θ = 3 peccato θ – 4 peccato ³ io

cos3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Formule di somma e differenza

• Funzione seno

peccato (A + B) = peccato A cos B + cos A peccato B

peccato (A – B) = peccato A cos B – cos A peccato B

• Funzione coseno

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Legge dei seni o regola dei seni

La legge dei seni della regola del seno è una legge trigonometrica che fornisce una relazione tra le lunghezze dei lati e gli angoli di un triangolo.

a/sen A = b/sen B = c/sen C

Dove a, b e c sono le lunghezze dei tre lati del triangolo ABC e A, B e C sono gli angoli.

Legge dei coseni

La legge del coseno viene utilizzata per determinare gli angoli mancanti o sconosciuti o le lunghezze dei lati di un triangolo.

UN ² = b ² +c ² – 2bc cos A

B ² =c ² +a ² – 2ca cos B

C ² = un ² + b ² – 2ab cos C

Dove a, b e c sono le lunghezze dei tre lati del triangolo ABC e A, B e C sono gli angoli.

Tabella delle formule del peccato e del coseno

Ecco la tabella/elenco delle formule Sin e Cos per vari angoli in gradi e in radianti:

Elenco delle formule Sin Cos

Esempi di formule Sin Cos

Problema 1: Se cos α = 24/25, trova il valore di sin α.

Soluzione:

Dato,

cosα = 24/25

Dalle identità pitagoriche che abbiamo;

cos²θ + peccato²θ = 1

(24/25)²+ senza²α = 1

senza²α = 1 – (24/25)²

senza²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

senza²α = (625 – 576)/625 = 49/626

peccato α = √49/625 = ±7/25

Quindi sin α = ±7/25.

Problema 2: Dimostrare le formule sin 2A e cos 2A, se ∠A= 30°.

Soluzione:

Dato, ∠A= 30°

Lo sappiamo,

1) sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2(30°) = 2 sin 30° cos 30°

sin 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Poiché, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 e sin 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S = R.H.S

2) cos2A = 2cos²A-1

cos2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Poiché, cos 60° = 1/2 e cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S = R.H.S

Quindi dimostrato.

Problema 3: Trova il valore di cos x, se tan x = 3/4.

Soluzione:

Dato, tan x = 3/4

Lo sappiamo,

tan x = lato opposto/lato adiacente = 3/4

Per trovare l'ipotenusa usiamo il teorema di Pitagora:

ipotenusa²= opposto²+ adiacente²

H²= 3²+4²

H²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Ora, cos x = lato adiacente/ipotenusa

cos x = 4/5

Pertanto, il valore di cos x è 4/5.

Problema 4: Trova ∠C (in gradi) e ∠A (in gradi), se ∠B = 45°, BC = 15 pollici e AC = 12 pollici.

Soluzione:

Dati: ∠B = 45°, BC = a = 15 pollici e AC = b = 12 pollici.

Dalla legge dei seni, abbiamo

a/sen A = b/sen B = c/sen C

⇒ a/sen A = b/sen B

⇒ 15/sen A = 12/sen 45°

⇒ 15/sen LA = 12/(1/√2)

⇒ 15/sen LA = 12√2 = 16,97

⇒ senza A = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = peccato^-1(0,8839) = 62,11°

Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

Quindi, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

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⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Quindi, ∠A = 62,11° e ∠C = 72,89°.

Problema 5: Dimostrare le identità dei semiangoli della funzione coseno.

Soluzione:

L'identità del semiangolo della funzione coseno è:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Dalle identità a doppio angolo, abbiamo,

cos 2A = 2 cos²A-1

Ora sostituisci A con θ/2 su entrambi i lati

⇒ cos2(θ/2) = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ cosθ = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ 2cos²(θ/2) = cosθ + 1

⇒ cos²(θ/2) = (cosθ + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Quindi dimostrato.

Problemi pratici sulle formule del seno cos in trigonometria con esempi

1. Dato sin⁡ θ = 3/5. Trova cos θ.

2. Dimostrare l'identità sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A per A=45∘.

3. Se cos⁡ α = 5/13. Trova il peccato(2a).

4. Risolvi per θ se sin θ = cos(90∘−θ).

5. Se tan ⁡β = 2. Trova sin ⁡β e cos⁡ β utilizzando l'identità pitagorica.

Domande frequenti sulle formule Sin Cos in trigonometria con esempi

Quali sono le formule base del seno e del coseno in trigonometria?

Le formule di base del seno e del coseno sono sin ⁡θ = Opposto/Ipotenusa e cos ⁡θ = Adiacente/Ipotenusa, dove θ è un angolo in un triangolo rettangolo.

Come trovi il seno e il coseno di angoli speciali?

Angoli speciali come 0∘, 30∘, 45∘, 60∘ e 90∘ hanno valori seno e coseno specifici che possono essere ricordati utilizzando tabelle trigonometriche o concetti di cerchio unitario.

Qual è la relazione tra le funzioni seno e coseno?

Le funzioni seno e coseno sono legate dall'identità peccato ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) e l'identità pitagorica senza⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Come si usano le formule del doppio angolo per seno e coseno?

Le formule del doppio angolo sono sin⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ E cos⁡(2θ)=cos⁡ ² θ – peccato⁡ ² io. Questi sono usati per esprimere le funzioni trigonometriche di angoli doppi in termini di angoli singoli.

Come trovi i valori di seno e coseno per gli angoli nei diversi quadranti?

I segni delle funzioni seno e coseno dipendono dal quadrante in cui si trova l'angolo:

• Primo quadrante: sin⁡ θ> 0 e cos θ> 0
• Secondo quadrante: sin ⁡θ> 0 e cos θ <0
• Terzo quadrante: sin⁡θ <0 e cosθ < 0
• Quarto quadrante: sin⁡θ 0