Proiezione vettoriale è l'ombra di un vettore su un altro vettore. Il vettore di proiezione si ottiene moltiplicando il vettore per il Cos dell'angolo compreso tra i due vettori. Un vettore ha sia modulo che direzione. Due vettori si dicono uguali se hanno la stessa grandezza e la stessa direzione. La proiezione vettoriale è essenziale per risolvere problemi numerici in fisica e matematica.

In questo articolo impareremo cos'è la proiezione vettoriale, l'esempio della formula di proiezione vettoriale, la formula di proiezione vettoriale, la derivazione della formula di proiezione vettoriale, l'algebra lineare della formula di proiezione vettoriale, la formula di proiezione vettoriale 3d e alcuni altri concetti correlati in dettaglio.

Tabella dei contenuti

• Cos'è la proiezione vettoriale?
• Formula di proiezione vettoriale
• Derivazione della formula di proiezione vettoriale
• Esempi di formule di proiezione vettoriale
• Applicazioni pratiche e significato della proiezione vettoriale
• Esempi di risoluzione di problemi nel mondo reale di proiezione vettoriale

Cos'è la proiezione vettoriale?

La proiezione vettoriale è un metodo per ruotare un vettore e posizionarlo su un secondo vettore. Quindi, un vettore si ottiene quando un vettore viene risolto in due componenti, parallela e perpendicolare. Il vettore parallelo è chiamato vettore di proiezione. Pertanto, la proiezione vettoriale è la lunghezza dell'ombra di un vettore su un altro vettore.

La proiezione vettoriale di un vettore si ottiene moltiplicando il vettore per il Cos dell'angolo compreso tra i due vettori. Diciamo di avere due vettori 'a' e 'b' e dobbiamo trovare la proiezione del vettore a sul vettore b, quindi moltiplicheremo il vettore 'a' per cosθ dove θ è l'angolo tra il vettore a e il vettore b.

Formula di proiezione vettoriale

Sevec Aè rappresentato come A evec Bè rappresentato come B, la proiezione vettoriale di A su B è data come il prodotto di A con Cos θ dove θ è l'angolo tra A e B. L'altra formula per la proiezione vettoriale di A su B è data come il prodotto di A e B diviso per la grandezza di B. Il vettore di proiezione così ottenuto è un multiplo scalare di A e ha una direzione nella direzione di B.

Derivazione della formula di proiezione vettoriale

La derivazione della formula di proiezione vettoriale è discussa di seguito:

Supponiamo che OP =vec Ae OQ =vec Be l'angolo tra OP e OQ è θ. PN disegnato perpendicolarmente a OQ.

Nel triangolo rettangolo OPN, Cos θ = ON/OP

⇒ ACCESO = ACCESO Cos θ

⇒ ACCESO = |vec A| Cosθ

ON è il vettore di proiezione divec ASUvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

esempi di macchina Moore

⇒ ACCESO =frac{vec A.vec B}

Quindi, ON =|vec A|.hat B

Quindi la proiezione vettoriale divec ASUvec Bè dato comefrac{vec A.vec B}

mappa vs set

la proiezione vettoriale divec BSUvec Aè dato comefrac{vec A.vec B}

Controlla anche: Tipi di vettori

Termini importanti sulla proiezione vettoriale

Per trovare la proiezione vettoriale dobbiamo imparare a trovare l'angolo tra due vettori e anche a calcolare il prodotto scalare tra due vettori.

Angolo tra due vettori

L'angolo tra i due vettori è dato come l'inverso del coseno del prodotto scalare di due vettori diviso per il prodotto della grandezza di due vettori.

Diciamo che abbiamo due vettorivec AEvec Bl'angolo tra loro è θ

⇒ cosθ =frac{vec A.vec B}.

⇒θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Prodotto scalare di due vettori

Diciamo che abbiamo due vettorivec AEvec Bdefinito comevec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kEvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k quindi il prodotto scalare tra di loro viene dato come

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= un₁B₁+a₂B₂+a₃B₃

Articolo correlato:

• Aggiunta di vettori
• Vettore unitario
• Algebra vettoriale
• Algebra lineare

Esempi di formule di proiezione vettoriale

Esempio 1. Trova la proiezione del vettore 4hat i + 2hat j + hat k SU 5hat i -3hat j + 3hat k .

Soluzione:

Qui,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Sappiamo che la proiezione del vettore a sul vettore b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Esempio 2. Trova la proiezione del vettore 5hat i + 4hat j + hat k SU 3hat i + 5hat j – 2hat k

Soluzione:

Qui,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Sappiamo che la proiezione del vettore a sul vettore b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Esempio 3. Trova la proiezione del vettore 5hat i – 4hat j + hat k SU 3hat i – 2hat j + 4hat k

Soluzione:

Qui,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Sappiamo che proiezione del vettore a sul vettore b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Esempio 4. Trova la proiezione del vettore 2hat i – 6hat j + hat k SU 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Soluzione:

Qui,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Sappiamo che proiezione del vettore a sul vettore b =frac{vec{a}.vec{b}}b

strutture di controllo Python

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Esempio 5. Trova la proiezione del vettore 2hat i – hat j + 5hat k SU 4hat i – hat j + hat k .

Soluzione:

Qui,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Sappiamo che proiezione del vettore a sul vettore b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Controllo: Operazioni vettoriali

Applicazioni pratiche e significato della proiezione vettoriale

Fisica

• Decomposizione della forza : In fisica, la formula della proiezione vettoriale è cruciale per scomporre le forze in componenti parallele e perpendicolari alle superfici. Ad esempio, per comprendere la forza esercitata da una corda in un gioco di tiro alla fune è necessario proiettare il vettore forza nella direzione della corda.

• Calcolo del lavoro : Il lavoro compiuto da una forza durante lo spostamento viene calcolato utilizzando la proiezione vettoriale. Il lavoro è il prodotto scalare del vettore forza e del vettore spostamento, essenzialmente proiettando un vettore su un altro per trovare la componente della forza nella direzione dello spostamento.

Ingegneria

• Analisi strutturale : Gli ingegneri utilizzano la proiezione vettoriale per analizzare le sollecitazioni sui componenti. Proiettando i vettori di forza sugli assi strutturali, possono determinare le componenti di sollecitazione in diverse direzioni, aiutando nella progettazione di strutture più sicure ed efficienti.

• Dinamica dei fluidi : Nella dinamica dei fluidi, la proiezione vettoriale aiuta ad analizzare il flusso dei fluidi attorno agli oggetti. Proiettando i vettori di velocità del fluido sulle superfici, gli ingegneri possono studiare modelli e forze di flusso, cruciali per la progettazione aerodinamica e l'ingegneria idraulica.

Grafica computerizzata

• Tecniche di rendering : La proiezione vettoriale è fondamentale nella computer grafica per la resa di ombre e riflessi. Proiettando i vettori della luce sulle superfici, il software grafico calcola gli angoli e l'intensità delle ombre e dei riflessi, migliorando il realismo nei modelli 3D.

• Animazione e sviluppo di giochi : Nell'animazione, la proiezione vettoriale viene utilizzata per simulare movimenti e interazioni. Ad esempio, determinare come un personaggio si muove su un terreno irregolare implica proiettare vettori di movimento sulla superficie del terreno, consentendo animazioni realistiche.

Controllo: Vettori base in algebra lineare

Esempi di risoluzione di problemi nel mondo reale di proiezione vettoriale

Esempio 1: navigazione GPS

• Contesto : Nei sistemi di navigazione GPS, la proiezione vettoriale viene utilizzata per calcolare il percorso più breve tra due punti sulla superficie terrestre.
• Applicazione : Proiettando il vettore di spostamento tra due posizioni geografiche sul vettore della superficie terrestre, gli algoritmi GPS possono calcolare con precisione distanze e direzioni, ottimizzando i percorsi di viaggio.

Esempio 2: analisi sportiva

• Contesto : Nell'analisi sportiva, in particolare nel calcio o nel basket, la proiezione vettoriale aiuta ad analizzare i movimenti dei giocatori e le traiettorie della palla.
• Applicazione : Proiettando i vettori di movimento dei giocatori sul campo di gioco, gli analisti possono studiare modelli, velocità ed efficienza dei movimenti, contribuendo alla pianificazione strategica e al miglioramento delle prestazioni.

Esempio 3: Ingegneria delle energie rinnovabili

• Contesto : Nella progettazione delle turbine eoliche, comprendere le componenti della forza del vento è essenziale per ottimizzare la produzione di energia.
• Applicazione : Gli ingegneri proiettano i vettori della velocità del vento sul piano delle pale della turbina. Questa analisi aiuta a determinare l'angolo e l'orientamento ottimali delle pale per massimizzare la cattura dell'energia eolica.

Esempio 4: Realtà Aumentata (AR)

• Contesto : Nelle applicazioni di realtà aumentata, la proiezione vettoriale viene utilizzata per posizionare con precisione oggetti virtuali negli spazi del mondo reale.
• Applicazione : Proiettando vettori da oggetti virtuali su piani del mondo reale catturati da dispositivi AR, gli sviluppatori possono garantire che gli oggetti virtuali interagiscano realisticamente con l'ambiente, migliorando l'esperienza dell'utente.

Controllo: Componenti del vettore

Domande frequenti sulla proiezione vettoriale

Definire il vettore di proiezione.

Projection Vector è l'ombra di un vettore su un altro vettore.

Qual è la formula della proiezione vettoriale?

La formula per la proiezione del vettore è data comefrac{vec A.vec B}

Come trovare il vettore di proiezione?

Il vettore di proiezione si trova calcolando il prodotto scalare dei due vettori diviso per il su cui viene proiettata l'ombra.

Quali sono i concetti necessari per calcolare il vettore di proiezione?

Dobbiamo conoscere l'angolo tra due vettori e il prodotto scalare di due vettori per calcolare la proiezione vettoriale.

Dove viene utilizzato Projection Vector?

Projection Vector viene utilizzato per risolvere vari numeri fisici che richiedono la suddivisione della quantità del vettore nei suoi componenti.

Qual è il significato della proiezione vettoriale in fisica?

In fisica, la proiezione vettoriale è fondamentale per decomporre le forze, calcolare il lavoro svolto da una forza in una direzione specifica e analizzare il movimento. Aiuta a comprendere come i diversi componenti di un vettore contribuiscono agli effetti in varie direzioni.

La proiezione vettoriale può essere negativa?

Sì, la componente scalare di una proiezione vettoriale può essere negativa se l'angolo tra i due vettori è maggiore di 90 gradi, indicando che la proiezione va nella direzione opposta del vettore base.

Come viene utilizzata la proiezione vettoriale in ingegneria?

Gli ingegneri utilizzano la proiezione vettoriale per analizzare le sollecitazioni strutturali, ottimizzare i progetti scomponendo le forze in componenti gestibili e nella dinamica dei fluidi per studiare i modelli di flusso rispetto alle superfici.

Qual è la differenza tra proiezione scalare e vettoriale?

La proiezione scalare fornisce la grandezza di un vettore lungo la direzione di un altro e può essere positiva o negativa. La proiezione vettoriale, invece, non considera solo la grandezza ma fornisce anche la direzione della proiezione come vettore.

Quali sono le applicazioni nel mondo reale della proiezione vettoriale?

La proiezione vettoriale ha applicazioni nella navigazione GPS, nell'analisi sportiva, nella computer grafica per il rendering di ombre e riflessi e nella realtà aumentata per posizionare oggetti virtuali negli spazi del mondo reale.

matrice di stringhe di codici c