Zeri di un polinomio sono quei valori reali, immaginari o complessi che quando vengono inseriti nel polinomio invece che in una variabile, il risultato diventa zero (come suggerisce anche il nome zero). I polinomi vengono utilizzati per modellare alcuni fenomeni fisici che accadono nella vita reale, sono molto utili per descrivere matematicamente le situazioni.

Gli zeri di un polinomio sono tutti i valori x che rendono il polinomio uguale a zero. Gli zeri di un polinomio ci parlano delle intercetta x del grafico del polinomio. In questo articolo parleremo di zeri di un polinomio, come trovarli, il teorema dei fattori, ecc.

Tabella dei contenuti

• Cosa sono gli zeri dei polinomi?
• Zeri della formula polinomiale
• Come trovare lo zero di un polinomio?
• Per polinomio lineare
• Per polinomio quadratico
• Per polinomio cubico
• Teorema dei fattori
• Relazione tra zeri e coefficiente
• Relazione tra zeri e coefficiente per l'equazione quadratica
• Relazione tra zeri e coefficiente per l'equazione cubica
• Formare un'equazione con gli zeri del polinomio
• Zeri nel grafico dei polinomi
• Teorema Fondamentale dell'Algebra Lineare
• Molteplicità di una radice
• Articoli relativi a Zeri di polinomio
• Esempi di problemi sugli zeri di polinomi
• Esercitazioni sugli zeri di polinomi

Cosa sono gli zeri dei polinomi?

Per un polinomio P(x), diciamo che x = a è lo zero del polinomio se P(a) = 0, e tutti questi zeri di un polinomio sono comunemente chiamati zeri di un polinomio. Ad esempio, consideriamo f(x) = 3x – 12. Ora poniamo x = 4 nel polinomio, ovvero f(4) = 3×4 – 12 = 0. Pertanto, x = 4 è uno zero del polinomio f( x) = 3x – 12.

Esempio: Per f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, x = 1 è zero?

Soluzione:

Per verificare se se x = 1 è zero di f(x) = x³– 6x²+ 11x – 6 oppure no, metti x = 1 in (x)

f(1) = (1)³– 6×(1)²+ 11×(1) – 6

⇒ f(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 12 -12 = 0

Quindi x = 1 è uno zero di f(x).

Zeri della formula polinomiale

Per un polinomio lineare della forma ax + b, il suo zero è dato da x = -b/a.

Per un polinomio quadratico di forma ax²+ bx + c, il suo zero è dato da x = {- b ± √D}/2a dove D è Discriminante dato da b²– 4ac.

Come trovare lo zero di un polinomio?

Possiamo trovare gli zeri del polinomio per vari tipi di polinomi utilizzando vari metodi discussi di seguito.

• Per polinomio lineare
• Per polinomio quadratico
• Per polinomio cubico

Per polinomio lineare

Per i polinomi lineari, trovare lo zero è il più semplice di tutti. poiché c'è solo uno zero e può anche essere calcolato semplicemente riorganizzando il polinomio dopo il polinomio uguale a 0.

Ad esempio, trova zero per il polinomio lineare f(x) = 2x – 7.

Soluzione:

Per trovare lo zero di f(x), uguagliamo f(x) a 0.

⇒ 2x – 7 = 0

⇒ 2x = 7

⇒ x = 7/2

Per polinomio quadratico

Esistono vari metodi per trovare radici o zeri di un polinomio quadratico come dividere il termine medio, una formula quadratica nota anche come formula Shree Dharacharya, e completare il quadrato che è in qualche modo simile alla formula quadratica, poiché la formula quadratica viene dal completamento del quadrato per l'equazione quadratica generale.

Impara di più riguardo Risoluzione di equazioni quadratiche o polinomi e come risolverli. Gli esempi seguenti mostrano in dettaglio il metodo per trovare gli zeri dei polinomi quadratici.

Esempio 1: Trova gli zeri per P(x) = x ² +2x-15.

ordinamento dell'elenco di array Java

Risposta:

X²+ 2x – 15 = 0

⇒x²+ 5x – 3x – 15 = 0

⇒ x(x + 5) – 3(x + 5) = 0

⇒ (x – 3) (x + 5) = 0

⇒ x = 3, -5

Esempio 2: Trova gli zeri per P(x) = x ² –16x+64.

Risposta:

X²– 16x + 64 = 0

Confrontando con l'ascia²+ bx + c = 0,

otteniamo a = 1, b = -16 e c = 64.

Così,

⇒ x = 8, 8

Per polinomio cubico

Per trovare gli zeri cubici ci sono molti modi, come il teorema della radice razionale e la divisione lunga insieme. Un metodo per trovare le radici di un polinomio cubico o di qualsiasi grado superiore è il seguente:

Passo 1: Utilizza il teorema della radice razionale per trovare le possibili radici. cioè, se un polinomio ha una radice razionale deve essere la divisione di p/q, dove p è la costante intera e q è il coefficiente principale.

Passo 2: Dopo aver trovato una radice, dividi il polinomio per il fattore formato da quella radice utilizzando una divisione lunga e scrivi il polinomio come prodotto di quoziente e dividendo.

Passaggio 3: Se il quoziente è un'espressione quadratica, risolvilo con i metodi sopra menzionati per i polinomi quadratici. Se non è un polinomio di grado 2, ripetere i passaggi 1 e 2 finché il quoziente non diventa un polinomio di grado 2.

Passaggio 4: Il risultato del passaggio 3 sono i fattori richiesti e, uguagliando il fattore a 0, possiamo trovare gli zeri del polinomio.

Esempio: Trova gli zeri del polinomio cubico p(x) = x ³ + 2x ² – 5x – 6.

Soluzione:

p(x) = x³+ 2x²– 5x – 6

Poiché p/q = -6

Per il teorema della radice razionale, tutte le possibili radici razionali del polunomio sono divisori di p/q.

Pertanto, divisori = ±1, ±2, ±3, ±6

x = -1, in p(x), otteniamo

p(-1) = (-1)³+2(-1)²– 5(-1) – 6

⇒ p(-1) = -1 + 2 + 5 – 6 = 0

Quindi, per il teorema dei fattori, x + 1 è il fattore di p(x).

Quindi, x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x²+x-6)

⇒x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x-2)(x+3)

Per gli zeri, p(x) = 0,

Gli zeri di p(x) sono x = -1, x = 2 e x = -3.

Teorema dei fattori

Per il polinomio P(x), il teorema dei fattori afferma che se x =a è zero di P(X) sse x – a è un fattore di P(x). cioè, entrambe le seguenti condizioni dovrebbero essere vere.

• Se a è uno zero di P(x) allora x−a sarà un fattore di P(x)
• Se x−a è un fattore di P(x) allora a sarà uno zero di P(x)

Ciò può essere verificato osservando gli esempi precedenti. Il teorema dei fattori può portare ad alcuni risultati interessanti, che sono i seguenti:

Risultato 1: Se P(x) è un polinomio di grado n e r è uno zero di P(x), allora P(x) può essere scritto nella seguente forma,

P(x) = (x – r) Q(x)

Dove Q(x) è un polinomio di grado n-1 e si ottiene dividendo P(x) con (x – r).

Risultato 2: Se P(x) = (x-r)Q(x) e x = t è uno zero di Q(x) allora anche x = t sarà uno zero di P(x).

Per verificare il fatto di cui sopra,

Diciamo che t è zero Q(x), il che significa Q(t) = 0.

Sappiamo che r è uno zero del polinomio P(x), dove P(x) = (x – r) Q(x),

Dobbiamo quindi verificare se x = t è anche uno zero di P(x), poniamo x = t in P(x)

⇒ P(t) = (t – r) Q(t) = 0

Quindi anche x = t è zero P(x).

Dimostrato, quindi.

Relazione tra zeri e coefficiente

La relazione tra gli zeri e il coefficiente dell'equazione quadratica e cubica è discussa di seguito.

Relazione tra zeri e coefficiente per l'equazione quadratica

Per un'equazione quadratica della forma ax²+ bx + c = 0, se i due zeri dell'equazione quadratica sono α e β, allora

• Somma della radice = α + β = -b/a
• Prodotto delle radici = α × β = c/a

Relazione tra zeri e coefficiente per l'equazione cubica

Se α, β e γ sono la radice dell'asse del polinomio cubico³+bx²+ cx + d = 0, allora la relazione tra i suoi zeri e i suoi coefficienti è data come segue:

• a + b + c = -b/a
• α × β × γ= -d/a
• αβ + αγ + βγ = c/a

Formare un'equazione con gli zeri del polinomio

• Per un polinomio quadratico con zeri α e β, il polinomio quadratico è dato da

X ² – (a+b)x+ab .

• Per un polinomio cubico con tre zeri α, β e γ, il polinomio cubico è dato da

X ³ – (a+b+c)x ² + (ab + ag + bg)x – abg

Zeri nel grafico dei polinomi

Nel grafico di qualsiasi polinomio y = f(x), gli zeri reali sono il punto per il quale il grafico interseca o tocca l'asse x. (poiché un grafico con uno zero immaginario non taglia mai l'asse x). In altre parole, se ci sono 3 soluzioni reali di un polinomio cubico allora il grafico di quel polinomio cubico interseca l'asse x tre volte, ma se c'è solo una soluzione reale per qualche polinomio cubico allora il grafico taglia solo l'asse x una volta.

Teorema Fondamentale dell'Algebra Lineare

Se P(x) è un polinomio di grado n allora P(x) avrà esattamente n zeri, alcuni dei quali potrebbero ripetersi.

stringa comparabile

Ciò significa che se elenchiamo tutti gli zeri ed elenchiamo ciascuno k volte in cui k è la sua molteplicità. Avremo esattamente n numeri nella lista. Questo può essere utile in quanto può darci un'idea di quanti zeri dovrebbero esserci in un polinomio. Quindi possiamo smettere di cercare gli zeri una volta raggiunto il numero di zeri richiesto.

Molteplicità di una radice

Supponiamo di avere un polinomio P(x) = 0 che fattorizza in,

P(x) = (x – r) ^K (x-a) ^M

Se r è uno zero di un polinomio e l'esponente sul suo termine che ha prodotto la radice è k allora diciamo che r ha molteplicità k . Vengono spesso chiamati zeri con molteplicità pari a 1 semplice gli zeri e gli zeri con molteplicità pari a 2 sono chiamati radici doppie del polinomio.

Esempio: P(x) è un polinomio di grado 5, che è stato fattorizzato per te. Elenca le radici e la loro molteplicità.

P(x) = 5x ⁵ −20x ⁴ +5x ³ +50x ² −20x−40=5(x+1) ² (x−2) ³

Soluzione:

Dato, P(x) = 5(x+1)²(x−2)³

⇒ P(x) = 5(x+1)(x+1)(x+1)(x−2)(x−2)

Per trovare gli zeri, P(x) = 0

⇒ x = -1, -1, 2, 2, 2

Nota che -1 ricorre due volte come zero, quindi la sua molteplicità è 2 mentre la molteplicità dello zero 2 è 3.

Articoli relativi a Zeri di polinomio

• Polinomio
• Radici dell'equazione quadratica
• Espressione algebrica

Esempi di problemi sugli zeri di polinomi

Problema 1: Dato che x = 2 è uno zero di P(x) = x ³ +2x ² −5x−6. Trova gli altri due zeri.

Soluzione:

Dal teorema fondamentale che abbiamo studiato in precedenza, possiamo dire che P(x) avrà 3 zeri perché è un polinomio di tre gradi. Uno di questi è x = 2.

Quindi possiamo riscrivere P(x),

P(x) = (x – 2) Q(x)

Per trovare gli altri due zeri, dobbiamo trovare Q(x).

Q(x) può essere trovato dividendo P(x) per (x-2).

Dopo la divisione, Q(x) risulta essere,

Q(x) = x²+4x+3

Da questo si possono ricavare i restanti due zeri,

Q(x) = x²+3x+x+3

⇒ x(x+3) + 1(x+3)

⇒ (x+1) (x+3)

Q(x) = 0,

x = -1, -3

Pertanto, gli altri due zeri sono x = -1 e x = -3.

Problema 2: Dato che x = r è uno zero di un polinomio, trova gli altri zeri del polinomio.

P(x) = x ³ -6x ² −16x; r = −2

Soluzione:

Sappiamo che x = -2 è zero,

Quindi, P(x) può essere riscritto come P(x) = (x + 2) Q(x) {Utilizzando l'algoritmo di divisione}

Ora per trovare Q(x), facciamo la stessa cosa che abbiamo fatto nella domanda precedente, dividiamo P(x) per (x + 2).

Noi abbiamo,

Q(x) = x²– 8x

Ora per trovare gli altri due zeri, fattorizziamo Q(x)

Q(x) = x (x – 8) = 0

Quindi gli zeri sono x = 0,8.

Quindi, abbiamo tre zeri, x = -2, 0, 8.

Problema 3: Trova gli zeri del polinomio 4x ³ -3x ² -25x-6 = 0

Soluzione:

Trucco per risolvere equazioni polinomiali di grado 3,

Trova il più piccolo intero che può rendere il polinomio valore 0, inizia con 1,-1,2 e così via...

troviamo che per x = -2 otteniamo che il valore di espressione è zero.

Quindi una delle radici è -2.

Secondo il teorema dei fattori se a è uno degli zeri del polinomio, quindi (x-a) è il fattore di un dato polinomio.

Quindi seguendo questo {x – (-2)} = (x+2) c'è un fattore pof sopra il polinomio.

Otteniamo un'equazione quadratica e sono già presenti degli zeri.

(4x²-11x-3)(x+2) = 0

Fattorizzare l'equazione quadratica,

(4x²-12x+x-3)(x+2) = 0

[4x(x-3)+1(x-3)](x+2) = 0

(4x+1)(x-3)(x+2) = 0

x = -2, x = 3, x = -1/4

Problema 4: Trova gli zeri del polinomio 4x ⁶ – 16x ⁴ = 0

Soluzione:

Il polinomio ha fino al grado 6, quindi esistono 6 zeri del polinomio.

4x⁴(X²-4) = 0

4x⁴(X²-2²) = 0

4x⁴[(x+2)(x-2)] = 0

Pertanto x= 0, 0, 0, 0, 2, -2

Problema 5: Trova gli zeri della funzione polinomiale f(x) = x ³ – 2x ² – 5x + 6

Soluzione:

Per trovare gli zeri di questo polinomio, poniamo f(x) = 0 e risolviamo rispetto a x:

f(x) = x³– 2x²– 5x + 6 = 0

Poiché d/a = 6

Per il teorema della radice razionale, tutte le possibili radici razionali del polunomio sono:

Divisori di d/a = ±1, ±2, ±3, ±6

x = 1, in p(x), otteniamo

f(1) = (1)³– 2(1)²– 5(1) – 6

f(-1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

Pertanto, per il teorema dei fattori, x – 1 è il fattore di p(x).

Quindi, x³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1)(x²-x – 6)

X³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1)(x+2)(x-3)

Per gli zeri, p(x) = 0,

Gli zeri di p(x) sono x = 1, x = -2 e x = 3.

Esercitazioni sugli zeri di polinomi

1. Trova tutti gli zeri del polinomio f(x) = x ³ – 6x ² +11x-6

2. Determina tutti gli zeri del polinomio g(x) = 2x ⁴ – 7x ³ + 3x ² +4x-4

3. Trova gli zeri del polinomio h(x) = x ⁵ – 3x ⁴ + 2x ³ – 6x ² +x+2

4. Determina tutti gli zeri del polinomio p(x) = 3x ⁴ – 16x ³ +18x ² +16x – 12.

Domande frequenti sugli zeri del polinomio

Cosa sono gli zeri di un polinomio?

Questi valori reali, poiché il valore del polinomio diventa 0, ovvero se p(x) è un polinomio e p(a) = 0, allora x = a è lo zero di p(x).

Come trovare gli zeri di un polinomio?

Esistono vari metodi per diversi polinomi diversi per trovare gli zeri, ad esempio per la distribuzione quadratica del termine medio e della formula quadratica. Per la riorganizzazione lineare e semplice delle variabili e per quella cubica utilizziamo una combinazione di teorema della radice razionale, divisione lunga, teorema dei fattori e teorema del resto.

Un polinomio può avere più di uno zero?

Sì, un polinomio può avere più di uno zero, infatti il ​​polinomio di n gradi può avere al più n zeri reali.

Qual è la molteplicità dello zero di un polinomio?

Nel processo di fattorizzazione, si ottiene un fattore o uno zero di un polinomio e poi un numero di volte si ottiene un fattore o uno zero, ovvero la molteplicità di quella radice.

Qual è il teorema fondamentale dell'algebra?

Il Teorema fondamentale dell'algebra afferma che se P(x) è un polinomio di grado n allora P(x) avrà esattamente n zeri, alcuni dei quali possono ripetersi.

Un polinomio di grado n ha sempre n radici reali?

No, un polinomio di grado n non ha sempre n radici reali, poiché alcune radici possono essere numeri immaginari o complessi.

Qual è il grado del polinomio zero?

Il grado del polinomio zero è zero.

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