La conoscenza delle matrici è necessaria per vari rami della matematica. Le matrici sono uno degli strumenti più potenti della matematica. Dalle matrici derivano i Determinanti, ora vediamo una delle proprietà del Determinante in questo articolo.

In questo articolo vediamo come trovare il file Aggiunto di una matrice. Per conoscere il Aggiunto di una matrice dobbiamo sapere del Cofattore di una matrice.

Tabella dei contenuti

• Aggiunto di una definizione di matrice
• Minore di una matrice
• Cofattore di una matrice
• Trasposizione di Matrix
• Come trovare l'aggiunto di una matrice?
• Proprietà dell'aggiunto di una matrice
• Trovare l'inverso usando l'aggiunto di una matrice

Aggiunto di una definizione di matrice

L'aggiunto di una matrice è la matrice trasposta del cofattore della matrice data. Per qualsiasi matrice quadrata A per calcolare il suo adj. matrice dobbiamo prima calcolare la matrice dei cofattori della matrice data e poi trovarne il determinante. Per calcolare l'Ajoint di una matrice seguire i seguenti passi:

Passo 1 : Calcola il Minore di tutti gli elementi della matrice A data.

Passo 2: Trova la matrice dei cofattori C utilizzando gli elementi minori.

Passaggio 3: Trova la matrice aggiunta di A prendendo la trasposta della matrice dei cofattori C.

Per ogni matrice 2×2 A l'immagine del suo Aggiunto è mostrata sotto,

Ora impariamo a conoscere Minore, Cofattore e Trasposizione della matrice.

Minore di una matrice

Il minore della matrice è la matrice o l'elemento che viene calcolato nascondendo la riga e la colonna della matrice dell'elemento per il quale viene calcolato il minore. Per la matrice 2×2, il Minore è l'elemento che viene mostrato nascondendo la riga e la colonna dell'elemento per il quale viene calcolato il Minore.

Impara di più riguardo, Minori e Cofattori

Cofattore di una matrice

Il Cofattore è il numero che otteniamo quando rimuoviamo la colonna e la riga di un elemento designato in una matrice. Significa prendere un elemento da una matrice ed eliminare l'intera riga e colonna di quell'elemento dalla matrice, quindi quali elementi sono presenti in quella matrice, ovvero cofattore.

Come trovare il cofattore di una matrice

Per trovare il cofattore di un elemento di una matrice, possiamo utilizzare i seguenti passaggi:

Passo 1: Elimina l'intera riga e colonna che contiene l'elemento in esame.

Passo 2: Prendi gli elementi rimanenti così come sono nella matrice dopo il passaggio 1.

Passaggio 3: Trova il determinante della matrice formata nel passaggio 2 che si chiama the minore dell'elemento.

Passaggio 4: Ora usa la formula per il cofattore dell'elemento a_iji.e., (-1)^io+jM_ijdove Mij è il minore dell'elemento nella i^thriga e j^thcolonna già calcolata nel passaggio 3.

Passaggio 5: Il risultato del passaggio 4 è il cofattore dell'elemento in esame e, analogamente, possiamo calcolare il cofattore di ciascun elemento della matrice per trovare la matrice dei cofattori della matrice data.

Esempio: Trova la matrice dei cofattori di old{A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Soluzione:

La matrice data èA =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}

Troviamo il cofattore dell'elemento nella terza colonna della prima riga, ovvero 3.

Passo 1: Elimina l'intera riga e colonna che contiene l'elemento in esame.

i.e., egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix}

Passo 2: Prendi gli elementi rimanenti così come sono nella matrice dopo il passaggio 1.

i.e.,egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix}

Passaggio 3: Trova il determinante della matrice formata nel passaggio 2 che è chiamato minore dell'elemento.

Minore di 3 polliciA = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32

Passaggio 4: Ora usa la formula per il cofattore dell'elemento a_iji.e., (-1)^io+jM_ij

Cofattore dell'elemento 3 = (-1)¹⁺³(32) = 32

Passaggio 5: Continuare la procedura per tutti gli elementi per trovare la matrice dei cofattori di A,

cioè, Matrice dei Cofattori di A =egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}

Trasposizione di Matrix

La trasposizione di una matrice è la matrice che si forma scambiando tra loro le righe e le colonne della matrice. La trasposta della matrice A è indicata come A^To A^'. Se l'ordine della matrice A è m×n, allora l'ordine della matrice trasposta è n×m.

Impara di più riguardo, Trasposizione di una matrice

Come trovare l'aggiunto di una matrice?

Per trovare l'aggiunto di una matrice, dobbiamo prima trovare il cofattore di ciascun elemento, quindi trovare altri 2 passaggi. vedi sotto i passaggi,

Passo 1: Trova il Cofattore di ciascun elemento presente nella matrice.

Passo 2: Crea un'altra matrice con i cofattori come elementi.

Passaggio 3: Ora trova la trasposizione della matrice che proviene dal passaggio 2.

Come trovare l'aggiunto di una matrice 2×2

Consideriamo un esempio per comprendere il metodo per trovare l'aggiunto della Matrice 2×2.

Esempio: Trova l'aggiunto di old{ ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}} .

Soluzione:

La matrice data è ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}

Passo 1: Trova il cofattore di ciascun elemento.

Cofattore dell'elemento in A[1,1]: 5

Cofattore dell'elemento in A[1,2]: -4

Cofattore dell'elemento in A[2,1]: -3

Cofattore dell'elemento in A[2,2]: 2

Passo 2: Crea matrice da cofattori

i.e.,old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}}

Passaggio 3: Trasposizione della matrice dei cofattori,

old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}

Come trovare l'aggiunto di una matrice 3×3

Facciamo un esempio di matrice 3×3 per capire come calcolare l'aggiunto di quella matrice.

Esempio: Trova l'aggiunto di old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Soluzione:

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Passo 1: Trova il cofattore di ciascun elemento.

C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3

Passo 2: Crea matrice da cofattori

numeri bloccati

C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix}

Passaggio 3: Trasposizione della matrice C nell'aggiunto della matrice data.

operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix}

Che è aggiunto alla matrice A data.

Proprietà dell'aggiunto di una matrice

Gli elementi aggiunti di una matrice hanno varie proprietà, alcune di queste proprietà sono le seguenti:

• A(Adj A) = (Adj A)A = |A| IO_N
• Ag(BA) = (Adj B) (Adj A)
• |Agg A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1(Adj A)

Trovare l'inverso usando l'aggiunto di una matrice

Trovare l'inverso è una delle applicazioni importanti dell'aggiunto della matrice. Per trovare l'inverso di una matrice utilizzando gli aggiunti possiamo utilizzare i seguenti passaggi:

Passo 1: Trovare il determinante della matrice .

Passo 2: Se il determinante è zero, la matrice non è invertibile e non esiste l'inverso.

Passaggio 3: Se il determinante è diverso da zero, trova l'aggiunto della matrice.

Passaggio 4: Dividi l'aggiunto della matrice per il determinante di una matrice.

Passaggio 5: Il risultato del passaggio 4 è l'inverso della matrice data.

Esempio: Trova l'inverso di old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Soluzione:

Data matriceA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

|A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)

⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)

⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0

Quindi l’inverso di A non esiste.

Impara di più riguardo, Inverso di una matrice

Esempi risolti di aggiunto di una matrice

Esempio 1: Trova l'Aggiunto della matrice data A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} .

Soluzione:

Passaggio 1: trovare il cofattore di ciascun elemento

Per trovare il cofattore di ciascun elemento, dobbiamo eliminare la riga e la colonna di ciascun elemento una per una e prendere gli elementi presenti dopo l'eliminazione.

Cofattore degli elementi in A[0,0] = 1 : +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4

Cofattore degli elementi in A[0,1] = 2 : -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33

Cofattore degli elementi in A[0,2] = 3 : +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32

Cofattore degli elementi in A[2,0] = 7 : -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6

Cofattore degli elementi in A[2,1] = 4 : +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9

Cofattore degli elementi in A[2,2] = 5 : -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4

Cofattore degli elementi in A[3,0] = 6 : +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2

Cofattore degli elementi in A[3,1] = 8 : -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16

Cofattore degli elementi in A[3,2] = 9 : +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10

La matrice appare così con i cofattori:

A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix}

La matrice dei cofattori finale:

A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix}

Passaggio 2: Trova la trasposta della matrice ottenuta nel passaggio 1

adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix}

Questo è il Aggiunto della matrice.

Esempio 2: Trova l'Aggiunto della matrice data A =egin{bmatrix} -1 & -2 & -2 2 & 1 & -2 2 & -2 & 1 end{bmatrix} .

Soluzione:

Passaggio 1: trovare il cofattore di ciascun elemento

Per trovare il cofattore di ciascun elemento, dobbiamo eliminare la riga e la colonna di ciascun elemento una per una e prendere gli elementi presenti dopo l'eliminazione.

Cofattore dell'elemento in A[0,0] = -1:+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3

Cofattore degli elementi in A[0,1] = -2:-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6

Cofattore degli elementi in A[0,2] = -2:+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6

Cofattore degli elementi in A[2,0] = 2:-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6

Cofattore degli elementi in A[2,1] = 1: +egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3

Cofattore degli elementi in A[2,2] = -2:-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Cofattore degli elementi in A[3,0] = 2:+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6

Cofattore degli elementi in A[3,1] = -2:-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Cofattore degli elementi in A[3,2] = 1:+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3

La matrice dei cofattori finale:

A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Passaggio 2: Trova la trasposta della matrice ottenuta nel passaggio 1

adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Questo è il Aggiunto della matrice.

Domande frequenti sugli aggiunti di una matrice

Cos'è l'aggiunto di una matrice?

L'aggiunto di una matrice quadrata è la trasposta della matrice dei cofattori della matrice originale. È anche conosciuta come matrice adigata.

Come si calcola l'aggiunto di una matrice?

Per calcolare l'aggiunto di una matrice, è necessario trovare la matrice dei cofattori della matrice data e quindi trasporla.

Qual è l'uso dell'aggiunto di una matrice?

L'applicazione o l'uso chiave dell'aggiunto di una matrice è trovare l'inverso delle matrici invertibili.

Qual è la relazione tra l'inverso di una matrice e il suo aggiunto?

L'inversa di una matrice si ottiene dividendo il suo aggiunto per il suo determinante. Cioè, se A è una matrice quadrata e det(A) è diverso da zero, allora

UN ^-1 = adj(A)/det(A)

Cos'è la matrice adiugata?

La matrice aggiunta è anche chiamata matrice adjugata. È la trasposizione del cofattore della matrice data.

Qual è la differenza tra aggiunto e trasposto di una matrice?

L'aggiunto di una matrice è la trasposta della matrice dei cofattori, mentre la trasposta di una matrice si ottiene scambiando le sue righe e colonne.

Una matrice quadrata è sempre invertibile?

No, le matrici quadrate non sono sempre invertibili. Una matrice quadrata è invertibile solo se ha determinante diverso da zero.

È possibile calcolare l'aggiunto di una matrice non quadrata?

No, l'aggiunto di una matrice può essere calcolato solo per una matrice quadrata a causa della sua definizione.