La progressione aritmetica, nota anche come A.P., è una sequenza in matematica in cui la differenza tra due termini consecutivi è una costante. La costante è nota come differenza comune. La progressione aritmetica è una sequenza di numeri in ordine, in cui la differenza tra due numeri consecutivi qualsiasi è un valore costante.

In questo articolo impareremo la definizione della progressione aritmetica, le formule di progressione aritmetica, gli esempi correlati e altro in dettaglio.

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Tabella dei contenuti

• Cos'è la progressione aritmetica?
• Notazioni nella progressione aritmetica
• Differenza comune della progressione aritmetica
• Primo termine della progressione aritmetica
• Nesimo termine della progressione aritmetica
• Somma della progressione aritmetica
• Formula di progressione aritmetica (formule AP)

Cos'è la progressione aritmetica?

Progressione aritmetica (AP) è una sequenza di numeri in cui la differenza tra due numeri consecutivi è un valore costante. In altre parole, la progressione aritmetica può essere definita come Una sequenza matematica in cui la differenza tra due termini successivi è sempre costante.

Ad esempio, le serie di numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… sono nella progressione aritmetica, che ha una differenza comune (d) tra due termini successivi (diciamo 1 e 2) uguale a 1 (2 – 1). Si può vedere una differenza comune tra due termini successivi, anche per i numeri dispari e per i numeri pari a cui 2 è uguale. In AP, tre termini principali sono Differenza comune (d), ennesimo termine (a_N), e Somma dei primi n termini (S_N); tutti e tre i termini rappresentano le proprietà di AP. Diamo un’occhiata a quale sia la differenza comune nel dettaglio,

In AP incontriamo parole diverse come sequenza, serie e progressione; ora vediamo cosa definisce ciascuna parola,

• Sequenza è un elenco finito o infinito di numeri che segue un determinato schema. Ad esempio, 0, 1, 2, 3, 4, 5… è la sequenza, che è una sequenza infinita di numeri interi.

• Serie è la somma degli elementi a cui corrisponde la sequenza. Ad esempio 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. è la serie dei numeri naturali. Ogni numero in una sequenza o in una serie è chiamato termine. Qui 1 è un termine, 2 è un termine, 3 è un termine, ecc.

• Progressione è una sequenza in cui il termine generale può essere espresso mediante una formula matematica oppure la Sequenza, che utilizza una formula matematica che può essere definita progressione.

Nota: Esistono principalmente tre tipi di progressione:

1. Progressione aritmetica (AP)
2. Progressione geometrica (GP)
3. Progressione armonica (HP)

Notazioni nella progressione aritmetica

Incontreremo le seguenti notazioni in progressione aritmetica:

• Primo termine ⇢ UN
• Differenza comune ⇢ D
• Ennesimo termine ⇢ UN _N
• Somma dei primi n termini ⇢ S _N

La forma generale della progressione aritmetica è a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Ecco alcuni esempi di AP:

• 6, 13, 20, 27, 34,41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Differenza comune della progressione aritmetica

Differenza comune è indicato con d nella progressione aritmetica. È la differenza tra il termine successivo e quello precedente. Per la progressione aritmetica, è sempre costante o uguale. In una parola, se la differenza comune è costante in una certa sequenza, possiamo dire che questa è A.P. Se la sequenza è una_1,UN₂, UN₃, UN₄, e così via.

In altre parole, la differenza comune nella progressione aritmetica è indicata con d. La differenza tra il termine successivo e il termine precedente. È sempre costante o uguale per la progressione aritmetica. In altre parole, possiamo dire che, in una data sequenza, se la differenza comune è costante o uguale, allora possiamo dire che la data sequenza è in Progressione aritmetica (AP).

La formula per trovare la differenza comune è:

d = (a _n+1 - UN _N ) = (a _N - UN _n-1 )

• Se la differenza comune è positiva, allora Gli AP aumentano . Ad esempio 4, 8, 12, 16… in queste serie i AP aumentano

• Se la differenza comune è negativa allora L'AP diminuisce . Ad esempio -4, -6, -8…, qui gli AP diminuiscono.

• Se la differenza comune è zero allora L'AP sarà costante . Ad esempio 1, 2, 3, 4, 5…, qui AP è costante.

La sequenza della progressione aritmetica sarà come a ₁ , UN ₂ , UN ₃ , UN ₄ ,…

Differenza comune (d) = UN ₂ - UN ₁ = d

UN ₃ - UN ₂ = d

UN ₄ - UN ₃ = d e così via.

Primo termine della progressione aritmetica

La progressione aritmetica può essere scritta in termini di differenza comune (d) come:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

Dove,

• a è il primo termine di AP
• d è la differenza comune di AP

Nesimo termine della progressione aritmetica

L'ennesimo termine può essere trovato utilizzando la formula menzionata di seguito,

T _N = a + (n − 1)d

Dove,

• a è il primo termine di AP
• d è la differenza comune
• n è il numero di termini
• T_Nè l'ennesimo termine

Nesimo termine della progressione aritmetica

Nota: Il comportamento della sequenza aritmetica si basa sul valore di una differenza comune.

• Se d è positivo, i termini aumenteranno all'infinito positivo.
• Se d è negativo, i termini dei membri aumentano fino all'infinito negativo

Somma della progressione aritmetica

Formula di somma della progressione aritmetica è spiegato di seguito; consideriamo un AP composto da n termini.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Somma della progressione aritmetica quando sono dati il ​​primo e l'ultimo termine,

S = n/2 (primo termine di AP + ultimo termine di AP)

layout della griglia

S = N/2[a+a _N ]

Formula di progressione aritmetica (formule AP)

Per un AP con primo termine 'a' e differenza comune 'd', le sue varie formule sono:

• Differenza comune di AP: d = a ₂ - UN ₁ = un ₃ - UN ₂ = un ₄ - UN ₃ =... = a _N - UN _n-1

• ennesimo termine dell'AP: UN _N = a + (n – 1)d

• Somma di n Termini di AP: S _N = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , dove l è l'ultimo termine della progressione aritmetica.

Riepilogo della progressione aritmetica

• La progressione aritmetica (AP) è una sequenza di numeri in cui la differenza tra due numeri consecutivi qualsiasi è un valore costante. Ad esempio, la serie di numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

• La forma generale della progressione aritmetica è a, a + d, a + 2d, a + 3d...

• La formula per l'ennesimo termine della progressione aritmetica è UN _N = a + (n – 1)d

• La somma dei primi n termini o la formula della somma aritmetica è S _N = n/2[2a + (n – 1) d] , S _N = n/2[a + a _N ]

Articolo relativo alla progressione aritmetica:

• Formula di somma
• Somma dei numeri naturali
• Progressione aritmetica e progressione geometrica

Esempi di progressione aritmetica

Esempio 1: Trova l'AP se il primo termine è 15 e la differenza comune è 4.

Soluzione:

Come sappiamo,

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, …

Qui a = 15 e d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, ...e così via.

Quindi l'AP lo è 15, 19, 23, 27, 31…

Esempio 2: Trova il 20° termine per il dato AP: 3, 5, 7, 9, …

Soluzione:

Dato, 3, 5, 7, 9, 11……

che dimensioni ha lo schermo del mio monitor?

Qui,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

UN_N= a + (n − 1)d

UN_venti= 3 + (20− 1)2

UN_venti= 3 + 38

UN_venti= 41

Qui il 20° termine è a_venti= 41

Esempio 3: Trova la somma dei primi 20 multipli di 5.

Soluzione:

I primi 20 multipli di 5 sono 5, 10, 15, … 100.

Qui è chiaro che la sequenza formata è una sequenza aritmetica dove,

a = 5, d = 5, a_N= 100, n = 20.

S_N= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_N= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

S_N= 10[10+95]

S_N= 1050

Domande pratiche sulla progressione aritmetica

Q1. La somma dei primi nn termini di una progressione aritmetica è data da S _N = 3 n ² + 2n. Trova la differenza comune e il primo termine.

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Q2. Il primo termine di una progressione aritmetica è 7 e l'undicesimo termine è 31. Trova la somma dei primi 11 termini.

Q3. In una progressione aritmetica, la somma dei primi 10 termini è 150 e la somma dei successivi 10 termini è 550. Trova il primo termine e la differenza comune.

Q4. Se il 4° termine di una progressione aritmetica è 10 e il 9° termine è 25, trova il 15° termine.

Q5. Una progressione aritmetica ha una differenza comune di 5. Se il sesto termine è 22, trova il primo termine e la somma dei primi 12 termini.

Domande frequenti sulla progressione aritmetica

Cos'è la progressione aritmetica con un esempio?

La progressione aritmetica è una sequenza di numeri in cui i due termini consecutivi hanno una differenza in comune. Ad esempio: 3, 6, 9, 12, 15,…

Come si trova la somma della progressione aritmetica?

Per trovare la somma della progressione aritmetica si possono utilizzare le seguenti formule in base alle informazioni fornite:

S = n/2 (primo termine di AP + ultimo termine di AP) = n/2[a+ a _N ]

Qual è la differenza tra progressione aritmetica e serie aritmetica?

La progressione aritmetica è il numero di sequenze all'interno di qualsiasi intervallo che fornisce una differenza comune. La serie/sequenza aritmetica è invece la somma di tutti i termini presenti nella progressione aritmetica.

Qual è la formula per AP e GP?

Le formule per AP e GP sono:

• AP: UN _N = a + (n – 1).d
• GP: UN _N = a.r

Qual è l'uso della progressione aritmetica?

La progressione aritmetica è la serie che dà una differenza comune tra due termini consecutivi. Viene utilizzato nella vita quotidiana per generalizzare una serie di modelli. Ad esempio, aspettando un autobus, supponiamo che gli autobus si muovano a velocità costante, con l'aiuto di AP puoi sapere quando arriverà l'autobus. L'AP può essere utilizzato anche per realizzare strutture piramidali, ecc.