Siano A, B e C insiemi e sia R una relazione da A a B e S una relazione da B a C. Cioè, R è un sottoinsieme di A × B e S è un sottoinsieme di B × C. Allora R e S danno origine ad una relazione da A a C indicata da R◦S e definita da:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

La relazione R◦S è nota la composizione di R e S; a volte è indicato semplicemente con RS.

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Sia R una relazione su un insieme A, ovvero R sia una relazione tra un insieme A e se stesso. Allora è sempre rappresentato R◦R, la composizione di R con se stesso. Inoltre, R◦R è talvolta indicato con R². Allo stesso modo, R³=R²◦R = R◦R◦R e così via. Così R^Nè definito per tutti i positivi n.

Esempio 1: Sia X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} e Z = {l, m, n}. Consideriamo la relazione R₁da X a Y e R₂dalla Y alla Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Trova la composizione della relazione (io) R₁il r₂ (ii) R₁il r₁^-1

Soluzione:

(i) La relazione di composizione R₁il r₂come mostrato in figura:

R₁il r₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) La relazione di composizione R₁il r₁^-1come mostrato in figura:

R₁il r₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Composizione di relazioni e matrici

C'è un altro modo per trovare R◦S. Lasciamo che M_Re M_Sdenotiamo rispettivamente le rappresentazioni matriciali delle relazioni R e S. Allora

Esempio

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Soluzione: Le matrici della relazione R e S sono mostrate in fig:

(i) Per ottenere la composizione della relazione R e S. Per prima cosa moltiplica M_Rcon m_Sper ottenere la matrice M_RxM_Scome mostrato in figura:

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Gli elementi diversi da zero nella matrice M_RxM_Sracconta gli elementi correlati in RoS. COSÌ,

Quindi la composizione R o S della relazione R e S è

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Innanzitutto moltiplicare la matrice M_Rda solo, come mostrato in fig

Quindi la composizione R o R della relazione R e S è

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Moltiplicare la matrice M_Scon m_Rper ottenere la matrice M_SxM_Rcome mostrato in figura:

Gli elementi diversi da zero nella matrice M_SxM_Rracconta gli elementi correlati in S o R.

Quindi la composizione S o R della relazione S e R è

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.