Acuti, ottusi, isosceli, equilateri... Quando si tratta di triangoli, ci sono molte varietà diverse, ma solo poche sono 'speciali'. Questi triangoli speciali hanno lati e angoli coerenti e prevedibili e possono essere utilizzati per abbreviare i problemi di geometria o trigonometria. E un triangolo 30-60-90 - pronunciato 'trenta sessanta novanta' - sembra essere davvero un tipo di triangolo molto speciale.
In questa guida ti spiegheremo cos'è un triangolo 30-60-90, perché funziona e quando (e come) utilizzare le tue conoscenze a riguardo. Allora veniamo al dunque!
Cos'è un triangolo 30-60-90?
Un triangolo 30-60-90 è un triangolo rettangolo speciale (un triangolo rettangolo è qualsiasi triangolo che contenga un angolo di 90 gradi) che ha sempre angoli di 30 gradi, 60 gradi e 90 gradi. Poiché è un triangolo speciale, ha anche valori di lunghezza dei lati che sono sempre in relazione costante tra loro.
Il rapporto triangolare di base 30-60-90 è:
Lato opposto all'angolo di 30°: $x$
Lato opposto all'angolo di 60°: $x * √3$
Lato opposto all'angolo di 90°: x$
Ad esempio, un triangolo di 30-60-90 gradi potrebbe avere lati di:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
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(Perché il segmento più lungo è 3? In questo triangolo, il segmento più corto ($x$) è $√3$, quindi per il segmento più lungo, $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. E l'ipotenusa è 2 volte il cateto più corto, ovvero √3$)
E così via.
Il lato opposto all'angolo di 30° è sempre il più piccolo , perché 30 gradi è l'angolo più piccolo. Il lato opposto all'angolo di 60° sarà la lunghezza media , perché 60 gradi è l'angolo medio in questo triangolo. E, infine, il lato opposto all'angolo di 90° sarà sempre il lato maggiore (l'ipotenusa) perché 90 gradi è l'angolo più grande.
Anche se può sembrare simile ad altri tipi di triangoli rettangoli, il motivo per cui un triangolo 30-60-90 è così speciale è che sono necessarie solo tre informazioni per trovare ogni altra misura. Finché conosci il valore delle misure di due angoli e della lunghezza di un lato (non importa quale lato), sai tutto ciò che devi sapere sul tuo triangolo.
Ad esempio, possiamo utilizzare la formula del triangolo 30-60-90 per riempire tutti gli spazi vuoti di informazioni rimanenti dei triangoli sottostanti.
Esempio 1
Possiamo vedere che questo è un triangolo rettangolo in cui l'ipotenusa è lunga il doppio di uno dei cateti. Ciò significa che deve essere un triangolo 30-60-90 e il lato più piccolo indicato è opposto a 30°.
La gamba più lunga deve quindi essere opposta all'angolo di 60° e misurare * √3$, ovvero √3$.
Esempio 2
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Possiamo vedere che questo deve essere un triangolo 30-60-90 perché possiamo vedere che questo è un triangolo rettangolo con una misura data, 30°. L'angolo non contrassegnato deve quindi essere di 60°.
Poiché 18 è la misura opposta all'angolo di 60°, deve essere uguale a $x√3$. La gamba più corta deve quindi misurare /√3$.
(Nota che la lunghezza della gamba sarà effettivamente /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ perché un denominatore non può contenere un radicale/radice quadrata).
E l'ipotenusa sarà (18/√3)$
(Nota che, ancora una volta, non è possibile avere un radicale al denominatore, quindi la risposta finale sarà in realtà 2 volte la lunghezza della gamba di √3$ => √3$).
Esempio 3
Ancora una volta, ci vengono fornite due misurazioni dell'angolo (90° e 60°), quindi la terza misura sarà 30°. Poiché questo è un triangolo 30-60-90 e l'ipotenusa è 30, il cateto più corto sarà uguale a 15 e il cateto più lungo sarà uguale a 15√3.
Non c'è bisogno di consultare la palla magica otto: queste regole funzionano sempre.
Perché funziona: dimostrazione del teorema del triangolo 30-60-90
Ma perché questo triangolo speciale funziona in questo modo? Come facciamo a sapere che queste regole sono legittime? Esaminiamo esattamente come funziona il teorema del triangolo 30-60-90 e dimostriamo perché queste lunghezze dei lati saranno sempre coerenti.
Per prima cosa, dimentichiamoci per un secondo dei triangoli rettangoli e guardiamo an triangolo equilatero.
Un triangolo equilatero è un triangolo che ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180° e 0/3 = 60$, un triangolo equilatero avrà sempre tre angoli di 60°.
Ora scendiamo di un'altezza dall'angolo più alto alla base del triangolo.
Lo abbiamo fatto adesso creò due angoli retti e due triangoli congruenti (uguali).
Come facciamo a sapere che sono triangoli uguali? Perché siamo caduti da un'altezza equilatero triangolo, abbiamo diviso la base esattamente a metà. I nuovi triangoli condividono anche la lunghezza di un lato (l'altezza) e hanno ciascuno la stessa lunghezza dell'ipotenusa. Poiché condividono tre lunghezze laterali in comune (SSS), ciò significa i triangoli sono congruenti.
Nota: non solo i due triangoli sono congruenti in base ai principi delle lunghezze lato-lato-lato, o SSS, ma anche in base alle misure lato-angolo-lato (SAS), angolo-angolo-lato (AAS) e angolo-lato angolo laterale (ASA). Fondamentalmente? Sono decisamente congruenti.
Ora che abbiamo dimostrato la congruenza dei due nuovi triangoli, possiamo vedere che gli angoli al vertice devono essere ciascuno uguale a 30 gradi (perché ogni triangolo ha già angoli di 90° e 60° e la somma deve dare 180°). Questo significa abbiamo realizzato due triangoli 30-60-90.
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E poiché sappiamo che tagliamo a metà la base del triangolo equilatero, possiamo vedere che il lato opposto all'angolo di 30° (il lato più corto) di ciascuno dei nostri triangoli 30-60-90 è esattamente la metà della lunghezza dell'ipotenusa .
Chiamiamo quindi la lunghezza del lato originale $x$ e la lunghezza bisecata $x/2$.
Ora tutto ciò che ci resta da fare è trovare la lunghezza del lato medio condiviso dai due triangoli. Per fare questo possiamo semplicemente usare il teorema di Pitagora.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Quindi ci rimane: $x/2, {x√3}/2, x$
Adesso moltiplichiamo ogni misura per 2, tanto per semplificarci la vita ed evitare tutte le frazioni. In questo modo, ci rimane:
$x$, $x√3$, x$
Possiamo vedere, quindi, che lo farà un triangolo 30-60-90 Sempre hanno lunghezze laterali coerenti di $x$, $x√3$ e x$ (o $x/2$, ${√3x}/2$ e $x$).
Fortunatamente per noi, possiamo dimostrare che le regole del triangolo 30-60-90 sono vere senza tutto... questo.
Quando utilizzare le regole del triangolo 30-60-90
Conoscere le regole del triangolo 30-60-90 ti permetterà di risparmiare tempo ed energia su una moltitudine di diversi problemi di matematica, vale a dire un'ampia varietà di problemi di geometria e trigonometria.
Geometria
Una corretta comprensione dei triangoli 30-60-90 ti consentirà di risolvere problemi di geometria che sarebbero impossibili da risolvere senza conoscere queste regole di rapporto o, per lo meno, richiederebbero molto tempo e sforzi per risolvere la 'lunga strada'.
Con gli speciali rapporti dei triangoli, puoi calcolare le altezze mancanti dei triangoli o le lunghezze delle gambe (senza dover utilizzare il teorema di Pitagora), trovare l'area di un triangolo utilizzando le informazioni sull'altezza mancante o sulla lunghezza della base e calcolare rapidamente i perimetri.
Ogni volta che hai bisogno di velocità per rispondere a una domanda, ricordare scorciatoie come le regole 30-60-90 ti tornerà utile.
Trigonometria
Memorizzare e comprendere il rapporto triangolare 30-60-90 ti consentirà anche di risolvere molti problemi di trigonometria senza la necessità di una calcolatrice o di approssimare le tue risposte in forma decimale.
Un triangolo 30-60-90 ha seni, coseni e tangenti abbastanza semplici per ciascun angolo (e queste misurazioni saranno sempre coerenti).
Il seno di 30° sarà sempre /2$.
Il coseno di 60° sarà sempre /2$.
Sebbene gli altri seni, coseni e tangenti siano abbastanza semplici, questi sono i due più facili da memorizzare e con maggiore probabilità verranno visualizzati nei test. Quindi conoscere queste regole ti permetterà di trovare queste misurazioni trigonometriche il più rapidamente possibile.
Suggerimenti per ricordare le regole 30-60-90
Sai che queste regole del rapporto 30-60-90 sono utili, ma come mantieni le informazioni nella tua testa? Ricordare le regole del triangolo 30-60-90 è questione di ricordare il rapporto 1: √3 : 2, e sapere che il lato più corto è sempre opposto all'angolo più corto (30°) e il lato più lungo è sempre opposto all'angolo più corto (30°) angolo più grande (90°).
Alcune persone memorizzano il rapporto pensando: ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' perché la successione '1, 2, 3' è in genere facile da ricordare. L'unica precauzione nell'usare questa tecnica è ricordare che il lato più lungo è in realtà x$, non $x$ volte $√3$.
Un altro modo per ricordare i tuoi rapporti è utilizzare un gioco di parole mnemonico sul rapporto 1: radice 3: 2 nel loro ordine corretto. Ad esempio, 'Jackie Mitchell ha eliminato Lou Gehrig e' ha vinto anche Ruthy ': uno, radice tre, due'. (Ed è un vero fatto storico del baseball, per giunta!)
Gioca con i tuoi strumenti mnemonici se non ti piacciono: canta la proporzione di una canzone, trova le tue frasi 'uno, radice tre, due' o crea una poesia sulla proporzione. Puoi anche semplicemente ricordare che un triangolo 30-60-90 è metà equilatero e ricavare le misure da lì se non ti piace memorizzarle.
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Tuttavia è logico che tu ricordi queste regole 30-60-90, mantieni questi rapporti in testa per le tue future domande di geometria e trigonometria.
La memorizzazione è tua amica, comunque puoi realizzarla.
Esempio 30-60-90 Domande
Ora che abbiamo esaminato i come e i perché dei triangoli 30-60-90, risolviamo alcuni problemi pratici.
Geometria
Un operaio edile appoggia una scala lunga 40 piedi contro il lato di un edificio con un angolo di 30 gradi da terra. Il terreno è pianeggiante e il lato dell'edificio è perpendicolare al suolo. Quanto in alto arriva la scala nell'edificio, al piede più vicino?
Senza conoscere le nostre regole speciali del triangolo 30-60-90, dovremmo usare la trigonometria e una calcolatrice per trovare la soluzione a questo problema, poiché abbiamo solo la misura di un lato di un triangolo. Ma poiché sappiamo che questo è a speciale triangolo, possiamo trovare la risposta in pochi secondi.
Se l'edificio e il terreno sono perpendicolari tra loro, ciò significa che l'edificio e il terreno formano un angolo retto (90°). È anche un dato di fatto che la scala incontri il terreno con un angolo di 30°. Possiamo quindi vedere che l'angolo rimanente deve essere 60°, il che rende questo triangolo 30-60-90.
Ora sappiamo che l'ipotenusa (lato più lungo) di questo 30-60-90 è 40 piedi, il che significa che il lato più corto sarà la metà di quella lunghezza. (Ricorda che il lato più lungo è sempre il doppio—x$—della lunghezza del lato più corto.) Poiché il lato più corto è opposto all'angolo di 30°, e quell'angolo è la misura in gradi della scala da terra, ciò significa che la parte superiore della scala colpisce l'edificio a 20 piedi da terra.
La nostra risposta finale è 20 piedi.
Trigonometria
Se, in un triangolo rettangolo, sin Θ = /2$ e la lunghezza del cateto più corto è 8. Qual è la lunghezza del lato mancante che NON è l'ipotenusa?
Poiché conosci le regole 30-60-90, puoi risolvere questo problema senza bisogno né del teorema di Pitagora né di una calcolatrice.
Ci è stato detto che questo è un triangolo rettangolo e sappiamo dalle nostre regole speciali per il triangolo rettangolo che seno 30° = /2$. L'angolo mancante deve quindi essere di 60 gradi, il che rende questo triangolo 30-60-90.
E poiché questo è un triangolo 30-60-90, e ci è stato detto che il lato più corto è 8, l'ipotenusa deve essere 16 e il lato mancante deve essere * √3$, o √3$.
La nostra risposta finale è 8√3.
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I take-away
Ricordando il le regole per i triangoli 30-60-90 ti aiuteranno a trovare una scorciatoia attraverso una serie di problemi di matematica . Ma tieni presente che, anche se conoscere queste regole è uno strumento utile da tenere a portata di mano, puoi comunque risolvere la maggior parte dei problemi senza di esse.
Tieni traccia delle regole di $x$, $x√3$, x$ e 30-60-90 in qualunque modo abbia senso per te e cerca di mantenerle diritte se puoi, ma non farti prendere dal panico se la tua mente si spegne quando è il momento cruciale. In ogni caso, hai questo.
E, se hai bisogno di più pratica, vai avanti e dai un'occhiata a questo Quiz sul triangolo 30-60-90 . Buon test!