Supponiamo che ci siano due formule, X e Y. Queste formule saranno conosciute come equivalenza se e solo se X ↔ Y è una tautologia. Se due formule X ↔ Y è una tautologia, allora possiamo anche scriverla come X ⇔ Y, e possiamo leggere questa relazione come X è equivalenza a Y.
Nota: ci sono alcuni punti che dovremmo tenere a mente durante l'equivalenza lineare della formula, che sono descritti come segue:
- ⇔ si usa per indicare solo il simbolo, ma non è connettivo.
- Il valore di verità di X e Y sarà sempre uguale se X ↔ Y è una tautologia.
- La relazione di equivalenza contiene due proprietà, cioè simmetrica e transitiva.
Metodo 1: Metodo della tabella di verità:
Con questo metodo costruiremo le tabelle di verità di qualsiasi formula composta da due affermazioni e poi controlleremo se queste affermazioni sono equivalenti.
Esempio 1: In questo esempio dobbiamo dimostrare X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).
Soluzione: La tavola di verità di X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) è descritta come segue:
| X | E | X∨Y | ¬X | ¬E | ¬X ∧ ¬Y | ¬(¬X ∧ ¬Y) | X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T | T |
| T | F | T | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | F | F | T | T |
| F | F | F | T | T | T | F | T |
Come possiamo vedere, X ∨ Y e ¬(¬X ∧ ¬Y) è una tautologia. Quindi X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).
Esempio 2: In questo esempio dobbiamo dimostrare (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).
Soluzione: La tavola di verità di (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) è descritta come segue:
| X | E | X → Y | ¬X | ¬X ∨ Y | (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Come possiamo vedere, X → Y e (¬X ∨ Y) sono una tautologia. Quindi (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)
Formula di equivalenza:
Esistono varie leggi utilizzate per dimostrare la formula di equivalenza, che è descritta come segue:
Legge idempotente: Se esiste una formula di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:
X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X
Diritto associativo: Se sono presenti tre formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:
(X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z)
Legge commutativa: Se sono presenti due formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:
X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X
Legge distributiva: Se sono presenti tre formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:
25 c a k
X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z)
Legge sull'identità: Se esiste una formula di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:
(a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F
Legge complementare: Se esiste una formula di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:
(a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T
Legge di assorbimento: Se sono presenti due formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:
X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X
Dalla legge di Morgan: Se sono presenti due formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:
¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y
Metodo 2: processo di sostituzione
In questo metodo, assumeremo una formula A: X → (Y → Z). La formula Y → Z può essere conosciuta come la parte della formula. Se sostituiamo questa parte della formula, cioè Y → Z, con l'aiuto della formula di equivalenza ¬Y ∨ Z in A, otterremo un'altra formula, cioè B : X → (¬Y ∨ Z). È un processo semplice verificare se le formule A e B fornite sono equivalenti o meno. Con l'aiuto del processo di sostituzione, possiamo ottenere B da A.
Esempio 1: In questo esempio dobbiamo dimostrare che {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.
Soluzione: Qui prenderemo la parte del lato sinistro e proveremo a ottenere la parte del lato destro.
X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
Ora useremo la legge associativa in questo modo:
⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z
Ora useremo la legge di De Morgan in questo modo:
⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
Quindi dimostrato
{X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z Esempio 2: In questo esempio dobbiamo dimostrare che {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) → Y.
Soluzione: Qui prenderemo la parte del lato sinistro e proveremo a ottenere la parte del lato destro.
(X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y
Quindi dimostrato
{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) → Y
Esempio 3: In questo esempio dobbiamo dimostrare che X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).
Soluzione: Qui prenderemo la parte del lato sinistro e proveremo a ottenere la parte del lato destro.
X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T
Quindi dimostrato
X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y)
Esempio 4: In questo esempio dobbiamo dimostrare che (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.
Soluzione: Qui prenderemo la parte del lato sinistro e proveremo a ottenere la parte del lato destro.
(¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z)
Ora utilizzeremo le leggi associative e distributive in questo modo:
⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z)
Ora useremo la legge di De Morgan in questo modo:
⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z)
Ora useremo la legge distributiva in questo modo:
⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R
Quindi dimostrato
(¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R
Esempio 5: In questo esempio, dobbiamo dimostrare che ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) è una tautologia.
Soluzione: Qui prenderemo piccole parti e le risolveremo.
Innanzitutto, utilizzeremo la legge di De Morgan e otterremo quanto segue:
¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z)
Perciò,
(¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z))
Anche
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¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)
Quindi
((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)
Così
((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T
Possiamo quindi dire che la formula data è una tautologia.
Esempio 6: In questo esempio dobbiamo dimostrare che (X ∧ Y) → (X ∨ Y) è una tautologia.
Soluzione: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)
⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
Ora useremo la legge di De Morgan in questo modo:
⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y)
Ora useremo la legge associativa e la legge commutativa in questo modo:
⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y)
Ora useremo la legge di negazione in questo modo:
⇔ (T ∨ T) ⇔ T
Possiamo quindi dire che la formula data è una tautologia.
Esempio 7: In questo esempio, dobbiamo scrivere la negazione di alcune affermazioni, che sono descritte come segue:
- Marry completerà la sua istruzione o accetterà la lettera di adesione della società XYZ.
- Harry andrà a fare un giro o a correre domani.
- Se prendo un bel voto, mio cugino sarà geloso.
Soluzione: Innanzitutto, risolveremo la prima affermazione in questo modo:
1. Supponiamo che X: Marry completerà la sua istruzione.
Y: accettare la lettera di adesione della società XYZ.
Possiamo usare la seguente forma simbolica per esprimere questa affermazione:
X ∨ Y
La negazione di X ∨ Y è descritta come segue:
¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y
In conclusione, la negazione di una determinata affermazione sarà:
¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company.
2. Supponiamo che X: Harry andrà a fare un giro
Y: Harry correrà domani
Possiamo usare la seguente forma simbolica per esprimere questa affermazione:
X ∨ Y
La negazione di X ∨ Y è descritta come segue:
¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y
In conclusione, la negazione di una determinata affermazione sarà:
¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow
3. Supponiamo che X: Se ottengo buoni voti.
Y: Mio cugino sarà geloso.
Possiamo usare la seguente forma simbolica per esprimere questa affermazione:
X → Y
La negazione di X → Y è descritta come segue:
¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y.
In conclusione, la negazione di una determinata affermazione sarà:
X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous.
Esempio 8: In questo esempio dobbiamo scrivere la negazione di alcune affermazioni con l'aiuto della legge di De Morgan. Queste dichiarazioni sono descritte come segue:
- Mi serve un diamante incastonato e un anello d'oro del valore.
- Otterrai un buon lavoro o non otterrai un buon partner.
- Prendo tanto lavoro e non riesco a gestirlo.
- Il mio cane va in gita o mette in disordine la casa.
Soluzione: La negazione di tutte le affermazioni con l'aiuto della legge di De Morgan è descritta una per una così:
- Non ho bisogno di un set di diamanti o di non valere un anello d'oro.
- Non puoi ottenere un buon lavoro e otterrai un buon partner.
- Non prendo molto lavoro o posso gestirlo.
- Il mio cane non va in viaggio e non sporca la casa.
Esempio 9: In questo esempio abbiamo alcune affermazioni e dobbiamo scrivere la negazione di tali affermazioni. Le dichiarazioni sono descritte come segue:
- Se piove, il programma per andare in spiaggia viene annullato.
- Se studio duro, otterrò buoni voti all'esame.
- Se vado a una festa notturna, verrò punito da mio padre.
- Se non vuoi parlare con me, devi bloccare il mio numero.
Soluzione: La negazione di tutte le affermazioni è descritta una per una in questo modo:
- Se il programma per andare al mare viene annullato, significa che sta piovendo.
- Se ottengo buoni voti all'esame, allora studio duro.
- Se riceverò una punizione da mio padre, allora andrò a una festa fino a tarda notte.
- Se devi bloccare il mio numero, significa che non vuoi parlare con me.
Esempio 10: In questo esempio dobbiamo verificare se (X → Y) → Z e X → (Y → Z) sono logicamente equivalenti oppure no. Dobbiamo giustificare la nostra risposta con l'aiuto delle tabelle di verità e con l'aiuto di regole logiche per semplificare entrambe le espressioni.
Soluzione: Innanzitutto, utilizzeremo il metodo 1 per verificare se (X → Y) → Z e X → (Y → Z) sono logicamente equivalenti, che è descritto come segue:
esercitazione sui microservizi
Metodo 1: Qui, assumeremo quanto segue:
(X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z)
E
X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z)
Metodo 2: Ora utilizzeremo il secondo metodo. In questo metodo utilizzeremo la tabella della verità.
| X | E | CON | X → Y | (X → Y) → Z | Y→Z | X → (Y → Z) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | F | F | T | F | T | T |
In questa tabella di verità, possiamo vedere che le colonne di (X → Y) → Z e X → (Y → Z) non contengono valori identici.