Supponiamo che ci siano due formule, X e Y. Queste formule saranno conosciute come equivalenza se e solo se X ↔ Y è una tautologia. Se due formule X ↔ Y è una tautologia, allora possiamo anche scriverla come X ⇔ Y, e possiamo leggere questa relazione come X è equivalenza a Y.

Nota: ci sono alcuni punti che dovremmo tenere a mente durante l'equivalenza lineare della formula, che sono descritti come segue:

• ⇔ si usa per indicare solo il simbolo, ma non è connettivo.
• Il valore di verità di X e Y sarà sempre uguale se X ↔ Y è una tautologia.
• La relazione di equivalenza contiene due proprietà, cioè simmetrica e transitiva.

Metodo 1: Metodo della tabella di verità:

Con questo metodo costruiremo le tabelle di verità di qualsiasi formula composta da due affermazioni e poi controlleremo se queste affermazioni sono equivalenti.

Esempio 1: In questo esempio dobbiamo dimostrare X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Soluzione: La tavola di verità di X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) è descritta come segue:

Come possiamo vedere, X ∨ Y e ¬(¬X ∧ ¬Y) è una tautologia. Quindi X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Esempio 2: In questo esempio dobbiamo dimostrare (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Soluzione: La tavola di verità di (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) è descritta come segue:

Come possiamo vedere, X → Y e (¬X ∨ Y) sono una tautologia. Quindi (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Formula di equivalenza:

Esistono varie leggi utilizzate per dimostrare la formula di equivalenza, che è descritta come segue:

Legge idempotente: Se esiste una formula di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Diritto associativo: Se sono presenti tre formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Legge commutativa: Se sono presenti due formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Legge distributiva: Se sono presenti tre formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:

25 c a k

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Legge sull'identità: Se esiste una formula di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Legge complementare: Se esiste una formula di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Legge di assorbimento: Se sono presenti due formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Dalla legge di Morgan: Se sono presenti due formule di istruzione, manterrà le seguenti proprietà:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Metodo 2: processo di sostituzione

In questo metodo, assumeremo una formula A: X → (Y → Z). La formula Y → Z può essere conosciuta come la parte della formula. Se sostituiamo questa parte della formula, cioè Y → Z, con l'aiuto della formula di equivalenza ¬Y ∨ Z in A, otterremo un'altra formula, cioè B : X → (¬Y ∨ Z). È un processo semplice verificare se le formule A e B fornite sono equivalenti o meno. Con l'aiuto del processo di sostituzione, possiamo ottenere B da A.

Esempio 1: In questo esempio dobbiamo dimostrare che {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Soluzione: Qui prenderemo la parte del lato sinistro e proveremo a ottenere la parte del lato destro.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Ora useremo la legge associativa in questo modo:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Ora useremo la legge di De Morgan in questo modo:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Quindi dimostrato

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Esempio 2: In questo esempio dobbiamo dimostrare che {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Soluzione: Qui prenderemo la parte del lato sinistro e proveremo a ottenere la parte del lato destro.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Quindi dimostrato

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Esempio 3: In questo esempio dobbiamo dimostrare che X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Soluzione: Qui prenderemo la parte del lato sinistro e proveremo a ottenere la parte del lato destro.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Quindi dimostrato

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Esempio 4: In questo esempio dobbiamo dimostrare che (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Soluzione: Qui prenderemo la parte del lato sinistro e proveremo a ottenere la parte del lato destro.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Ora utilizzeremo le leggi associative e distributive in questo modo:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Ora useremo la legge di De Morgan in questo modo:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Ora useremo la legge distributiva in questo modo:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Quindi dimostrato

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Esempio 5: In questo esempio, dobbiamo dimostrare che ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) è una tautologia.

Soluzione: Qui prenderemo piccole parti e le risolveremo.

Innanzitutto, utilizzeremo la legge di De Morgan e otterremo quanto segue:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Perciò,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Anche

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 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Quindi

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Così

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Possiamo quindi dire che la formula data è una tautologia.

Esempio 6: In questo esempio dobbiamo dimostrare che (X ∧ Y) → (X ∨ Y) è una tautologia.

Soluzione: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Ora useremo la legge di De Morgan in questo modo:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Ora useremo la legge associativa e la legge commutativa in questo modo:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Ora useremo la legge di negazione in questo modo:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Possiamo quindi dire che la formula data è una tautologia.

Esempio 7: In questo esempio, dobbiamo scrivere la negazione di alcune affermazioni, che sono descritte come segue:

1. Marry completerà la sua istruzione o accetterà la lettera di adesione della società XYZ.
2. Harry andrà a fare un giro o a correre domani.
3. Se prendo un bel voto, mio ​​cugino sarà geloso.

Soluzione: Innanzitutto, risolveremo la prima affermazione in questo modo:

1. Supponiamo che X: Marry completerà la sua istruzione.

Y: accettare la lettera di adesione della società XYZ.

Possiamo usare la seguente forma simbolica per esprimere questa affermazione:

 X ∨ Y 

La negazione di X ∨ Y è descritta come segue:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

In conclusione, la negazione di una determinata affermazione sarà:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Supponiamo che X: Harry andrà a fare un giro

Y: Harry correrà domani

Possiamo usare la seguente forma simbolica per esprimere questa affermazione:

 X ∨ Y 

La negazione di X ∨ Y è descritta come segue:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

In conclusione, la negazione di una determinata affermazione sarà:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Supponiamo che X: Se ottengo buoni voti.

Y: Mio cugino sarà geloso.

Possiamo usare la seguente forma simbolica per esprimere questa affermazione:

 X → Y 

La negazione di X → Y è descritta come segue:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

In conclusione, la negazione di una determinata affermazione sarà:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Esempio 8: In questo esempio dobbiamo scrivere la negazione di alcune affermazioni con l'aiuto della legge di De Morgan. Queste dichiarazioni sono descritte come segue:

1. Mi serve un diamante incastonato e un anello d'oro del valore.
2. Otterrai un buon lavoro o non otterrai un buon partner.
3. Prendo tanto lavoro e non riesco a gestirlo.
4. Il mio cane va in gita o mette in disordine la casa.

Soluzione: La negazione di tutte le affermazioni con l'aiuto della legge di De Morgan è descritta una per una così:

1. Non ho bisogno di un set di diamanti o di non valere un anello d'oro.
2. Non puoi ottenere un buon lavoro e otterrai un buon partner.
3. Non prendo molto lavoro o posso gestirlo.
4. Il mio cane non va in viaggio e non sporca la casa.

Esempio 9: In questo esempio abbiamo alcune affermazioni e dobbiamo scrivere la negazione di tali affermazioni. Le dichiarazioni sono descritte come segue:

1. Se piove, il programma per andare in spiaggia viene annullato.
2. Se studio duro, otterrò buoni voti all'esame.
3. Se vado a una festa notturna, verrò punito da mio padre.
4. Se non vuoi parlare con me, devi bloccare il mio numero.

Soluzione: La negazione di tutte le affermazioni è descritta una per una in questo modo:

1. Se il programma per andare al mare viene annullato, significa che sta piovendo.
2. Se ottengo buoni voti all'esame, allora studio duro.
3. Se riceverò una punizione da mio padre, allora andrò a una festa fino a tarda notte.
4. Se devi bloccare il mio numero, significa che non vuoi parlare con me.

Esempio 10: In questo esempio dobbiamo verificare se (X → Y) → Z e X → (Y → Z) sono logicamente equivalenti oppure no. Dobbiamo giustificare la nostra risposta con l'aiuto delle tabelle di verità e con l'aiuto di regole logiche per semplificare entrambe le espressioni.

Soluzione: Innanzitutto, utilizzeremo il metodo 1 per verificare se (X → Y) → Z e X → (Y → Z) sono logicamente equivalenti, che è descritto come segue:

esercitazione sui microservizi

Metodo 1: Qui, assumeremo quanto segue:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

E

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Metodo 2: Ora utilizzeremo il secondo metodo. In questo metodo utilizzeremo la tabella della verità.

In questa tabella di verità, possiamo vedere che le colonne di (X → Y) → Z e X → (Y → Z) non contengono valori identici.