Prerequisiti: MORSO Dati 'n' segmenti di linea, ciascuno di essi è orizzontale o verticale, trovare il numero massimo di triangoli (compresi i triangoli con area zero) che possono essere formati unendo i punti di intersezione dei segmenti di linea. Non possono sovrapporsi due segmenti di linea orizzontali né due segmenti di linea verticali. Una linea è rappresentata utilizzando due punti (quattro numeri interi, i primi due sono rispettivamente le coordinate xey per il primo punto e gli altri due sono le coordinate xey per il secondo punto) Esempi:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
L'idea è basata su Algoritmo della linea di scansione . Creazione di una soluzione in passaggi:
array di byte Java in stringa
- Memorizza entrambi i punti di tutti i segmenti di linea con l'evento corrispondente (descritto di seguito) in un vettore e ordina tutti i punti in ordine non decrescente rispetto alle loro coordinate x.
- Immaginiamo ora una linea verticale che passi attraverso tutti questi punti e descriviamo 3 eventi in base al punto in cui ci troviamo attualmente:
- UN linea verticale
- Chiamiamo la regione 'attivo' o le linee orizzontali 'attivo' che hanno avuto il primo evento ma non il secondo. Avremo un BIT (albero indicizzato binario) per memorizzare le coordinate "y" di tutte le linee attive.
- Una volta che una linea diventa inattiva, rimuoviamo la sua "y" dal BIT.
- Quando si verifica un evento del terzo tipo, cioè quando ci troviamo su una linea verticale, interroghiamo l'albero nell'intervallo delle sue coordinate "y" e aggiungiamo il risultato al numero di punti di intersezione finora.
- Infine diremo il numero di punti di intersezione M quindi il numero di triangoli (inclusa l'area zero) sarà MC3 .
In - punto più a sinistra di un segmento di linea orizzontalefuori - punto più a destra di un segmento di linea orizzontaleNota: Dobbiamo ordinare attentamente i punti e guardare il cmp() funzione nell'implementazione per chiarimenti.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Produzione:
astrazione in Java
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Spazio ausiliario: O(maxy) dove max = 1000005