Possiamo anche chiamare la teoria dell'handshaking come teorema della somma dei gradi o lemma dell'handshaking. La teoria dell'handshaking afferma che la somma dei gradi di tutti i vertici di un grafico sarà il doppio del numero di archi contenuti in quel grafico. La rappresentazione simbolica della teoria dell'handshaking è descritta come segue:

Qui,

'd' viene utilizzato per indicare il grado del vertice.

'v' viene utilizzato per indicare il vertice.

'e' viene utilizzato per indicare i bordi.

Teorema dell'handshake:

Ci sono alcune conclusioni da trarre dal teorema dell'handshaking, descritte come segue:

In qualsiasi grafico:

• Devono esserci numeri pari per la somma dei gradi di tutti i vertici.
• Se ci sono gradi dispari per tutti i vertici, la somma dei gradi di questi vertici deve sempre rimanere pari.
• Se ci sono alcuni vertici che hanno un grado dispari, allora il numero di questi vertici sarà pari.

Esempi di teoria dell'Handshaking

Esistono vari esempi di teoria dell'handshaking e alcuni degli esempi sono descritti come segue:

Esempio 1: Qui abbiamo un grafico che ha il grado di ciascun vertice come 4 e 24 spigoli. Ora scopriremo il numero di vertici in questo grafico.

Soluzione: Con l'aiuto del grafico sopra, abbiamo ottenuto i seguenti dettagli:

Grado di ciascun vertice = 24

Numero di bordi = 24

Ora assumeremo il numero di vertici = n

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Con l'aiuto del teorema dell'handshaking, abbiamo le seguenti cose:

Somma di un grado di tutti i vertici = 2 * Numero di bordi

Ora inseriremo i valori indicati nella formula di handshake sopra:

n*4 = 2*24

n = 2*6

n = 12

Pertanto, nel grafo G, il numero di vertici = 12.

Esempio 2: Qui abbiamo un grafico che ha 21 spigoli, 3 vertici di grado 4 e tutti gli altri vertici di grado 2. Ora scopriremo il numero totale di vertici in questo grafico.

Soluzione: Con l'aiuto del grafico sopra, abbiamo ottenuto i seguenti dettagli:

Numero di vertici di grado 4 = 3

Numero di bordi = 21

Tutti gli altri vertici hanno grado 2

Ora assumeremo il numero di vertici = n

stringa intera

Con l'aiuto del teorema dell'handshaking, abbiamo le seguenti cose:

Somma dei gradi di tutti i vertici = 2 * Numero di bordi

Ora inseriremo i valori indicati nella formula di handshake sopra:

3*4 + (n-3) * 2 = 2*21

12+2n-6 = 42

2n = 42 - 6

2n=36

n = 18

Pertanto, nel grafo G, il numero totale di vertici = 18.

Esempio 3: Qui abbiamo un grafico che ha 35 spigoli, 4 vertici di grado 5, 5 vertici di grado 4 e 4 vertici di grado 3. Ora scopriremo il numero di vertici di grado 2 in questo grafico.

Soluzione: Con l'aiuto del grafico sopra, abbiamo ottenuto i seguenti dettagli:

Numero di bordi = 35

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Numero di vertici di grado 5 = 4

Numero di vertici di grado 4 = 5

Numero di vertici di grado 3 = 4

Ora assumeremo il numero di vertici di grado 2 = n

Con l'aiuto del teorema dell'handshaking, abbiamo le seguenti cose:

Somma dei gradi di tutti i vertici = 2 * Numero di bordi

Ora inseriremo i valori indicati nella formula di handshake sopra:

4*5 + 5*4 + 4*3 + n*2 = 2*35

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20+20+12+2n = 70

52+2n = 70

2n = 70-52

2n = 18

n = 9

Pertanto, nel grafo G, numero di vertici di grado 2 = 9.

Esempio 4: Qui abbiamo un grafico che ha 24 archi e il grado di ciascun vertice è k. Ora scopriremo il possibile numero di vertici dalle opzioni fornite.

1. quindici
2. venti
3. 8
4. 10

Soluzione: Con l'aiuto del grafico sopra, abbiamo ottenuto i seguenti dettagli:

Numero di bordi = 24

Grado di ciascun vertice = k

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Ora assumeremo il numero di vertici = n

Con l'aiuto del teorema dell'handshaking, abbiamo le seguenti cose:

Somma dei gradi di tutti i vertici = 2 * Numero di bordi

Ora inseriremo i valori indicati nella formula di handshake sopra:

N*k = 2*24

K = 48/ca

È obbligatorio che un numero intero sia contenuto nel grado di qualsiasi vertice.

Quindi possiamo usare solo quei tipi di valori di n nell'equazione precedente che ci forniscono un valore intero di k.

Ora controlleremo le opzioni sopra indicate inserendole al posto di n una per una in questo modo:

• Per n = 15 otterremo k = 3,2, che non è un numero intero.
• Per n = 20 otterremo k = 2,4, che non è un numero intero.
• Per n = 8 otterremo k = 6, che è un numero intero ed è consentito.
• Per n = 10 otterremo k = 4,8, che non è un numero intero.

Pertanto, l’opzione corretta è l’opzione C.