La radice quadrata di qualsiasi valore numerico è un valore che per automoltiplicazione dà come risultato il numero originale. ’√’ è il simbolo radicale utilizzato per rappresentare la radice di qualsiasi numero. Per radice quadrata intendiamo una potenza pari a 1/2 di quel numero. Ad esempio, supponiamo che x sia la radice quadrata di un intero y, ciò implica che x=√y. Moltiplicando l'eq otteniamo anche x²= sì.

La radice quadrata del quadrato di un numero positivo dà il numero originale.

Per capire il concetto, sappiamo che il quadrato di 4 è 16, e la radice quadrata di 16, √16 = 4. Ora, come possiamo vedere, 16 è una figura quadrata perfetta. Ciò semplifica il calcolo della radice quadrata di tali numeri. Tuttavia, per calcolare la radice quadrata di un quadrato imperfetto come 3, 5, 7, ecc., calcolare la radice è un processo difficile.

Una funzione radice quadrata è una funzione uno a uno che utilizza come input un numero positivo e restituisce la radice quadrata del numero di input specificato.

f(x) = √x

Proprietà delle radici quadrate

Alcune delle proprietà importanti della radice quadrata sono le seguenti:

• Per un numero quadrato perfetto esiste una radice quadrata perfetta.
• Per un numero che termina con un numero pari di zeri esiste una radice quadrata.
• La radice quadrata di qualsiasi numero negativo non è definita.
• Per un numero che termina con le cifre 2, 3, 7 o 8, la radice quadrata perfetta non esiste.
• Per un numero che termina con le cifre 1, 4, 5, 6 o 9, il numero avrà una radice quadrata.

Come calcolare una radice quadrata?

I numeri quadrati perfetti sono numeri interi di natura positiva e possono essere facilmente espressi sotto forma di moltiplicazione di un numero per se stesso. I numeri quadrati perfetti sono rappresentati come il valore della potenza 2 di qualsiasi numero intero. Il calcolo della radice quadrata dei numeri quadrati perfetti è relativamente più semplice. Esistono principalmente quattro metodi utilizzati per trovare la radice quadrata dei numeri:

• Metodo di sottrazione ripetuta della radice quadrata
• Radice quadrata mediante il metodo della fattorizzazione prima
• Radice quadrata mediante metodo di stima
• Radice quadrata con il metodo della divisione lunga

I tre metodi precedenti possono essere utilizzati nel calcolo della radice quadrata di numeri quadrati perfetti. L’ultimo metodo, però, può essere utilizzato per entrambe le tipologie di numeri.

Metodo di sottrazione ripetuta di radici quadrate

Il metodo si basa sulla seguente sequenza di passaggi:

Passo 1: Sottrai i numeri dispari consecutivi dal numero di cui stiamo trovando la radice quadrata.

Passo 2: Ripetere il passaggio 1 fino a raggiungere il valore 0.

Passaggio 3: Il numero di volte in cui viene ripetuto il passaggio 1 corrisponde alla radice quadrata richiesta del numero specificato.

Nota: Questo metodo può essere utilizzato solo per quadrati perfetti.

Ad esempio, per il numero 16, il metodo funziona come segue:

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Il processo viene ripetuto 4 volte. Pertanto, √16 = 4.

Radice quadrata mediante il metodo della scomposizione in fattori primi

La fattorizzazione prima di qualsiasi numero è la rappresentazione di quel numero sotto forma di prodotto di numeri primi. Il metodo si basa sulla seguente sequenza di passaggi:

Passo 1: Dividi il numero specificato nei suoi fattori primi.

Passo 2: Una coppia di fattori simili è formata in modo tale che entrambi i fattori in ciascuna delle coppie formate siano uguali.

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Passaggio 3: Prendi un fattore da ciascuna delle coppie.

Passaggio 4: Il prodotto dei fattori si ottiene prendendo un fattore da ciascuna coppia.

Passaggio 5: Questo prodotto ottenuto è la radice quadrata del numero dato.

Nota: Questo metodo può essere utilizzato solo per quadrati perfetti.

Ad esempio, per il numero 64, il metodo funziona come segue:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2×2×2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Radice quadrata mediante metodo di stima

Il metodo di stima viene utilizzato per approssimare la radice quadrata di un dato numero. Si avvicina alla radice quadrata di un numero con un'ipotesi ragionevole del valore effettivo. I calcoli sono più semplici con questo metodo. Tuttavia, è un processo davvero lungo e richiede tempo.

Passo 1: Trova il quadrato perfetto più vicino che si verifica sia prima che dopo il numero indicato.

Passo 2: Trova i successivi numeri interi più vicini e arrotondali ogni volta per avvicinarti alla risposta più vicina.

Ad esempio, per il numero 15, il metodo funziona come segue:

9 e 16 sono i numeri quadrati perfetti prima e dopo più vicini a 15. Ora, sappiamo,

√16 = 4 e √9 = 3. Ciò implica che la radice quadrata del numero 15 si trova tra 3 e 4. Ora, il processo prevede la valutazione se la radice quadrata del numero 15 è più vicina a 3 o 4.

Il primo caso prende 3,5 e 4. Quadrato di 3,5 = 12,25 e radice quadrata di 4 = 16. Pertanto, la radice quadrata dell'intero 15 si trova tra 3,5 e 4 ed è più vicina a 4.

Inoltre troviamo i quadrati 3,8 e 3,9, che equivalgono a 3,8²= 14,44 e 3,9²= 15,21 rispettivamente. Ciò implica che √15 si trova tra 3,8 e 3,9. Dopo un'ulteriore valutazione, otteniamo che √15 = 3.872.

Radice quadrata con il metodo della divisione lunga

Il metodo della Divisione Lunga per il calcolo della radice quadrata dei numeri prevede la divisione di grandi numeri in passi o parti, suddividendo così il problema in una sequenza di passi più semplici.

circuito sommatore completo

Ad esempio, per il numero 180, il metodo funziona come segue:

Passo 1: Una barra viene posizionata su ogni coppia di cifre del numero che inizia con la posizione dell'unità.

Passo 2: Il numero più a sinistra viene quindi diviso per il numero più grande in modo tale che il quadrato sia inferiore o uguale al numero nella coppia più a sinistra.

Passaggio 3: Ora il numero sotto la barra successiva a destra del resto viene abbassato. L'ultima cifra del quoziente ottenuto viene aggiunta al divisore. Ora, il passo successivo è trovare un numero a destra della somma ottenuta, in modo tale che, insieme al risultato della somma, formi un nuovo divisore per il nuovo dividendo.

Passaggio 4: Il numero ottenuto nel quoziente è equivalente al numero selezionato nel divisore.

Passaggio 5: Lo stesso processo viene ripetuto utilizzando un punto decimale e aggiungendo zeri a coppie al resto.

Passaggio 6: Il quoziente forma la radice quadrata del numero.

Domande di esempio

Domanda 1. Calcola la radice quadrata di 144 con il metodo della fattorizzazione prima?

Soluzione:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

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144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2×2×3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Domanda 2. Qual è il modo per semplificare la radice quadrata?

Soluzione:

È possibile calcolare la scomposizione in fattori primi del numero dato. Nel caso in cui il fattore non possa essere raggruppato, viene utilizzato il simbolo della radice quadrata per raggrupparli. Per semplificare si usa la seguente regola:

√xy = √(x × y), dove xey sono numeri interi positivi.

Ad esempio, √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

Nel caso delle frazioni si applica la seguente regola:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Per esempio:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Domanda 3. Risolvi: √(x + 2) = 4

Soluzione:

Sappiamo,

√(x + 2) = 4

Quadrando entrambi i lati otteniamo;

x + 2 = √4

x+2 = ±4

x = ±4 – 2

Pertanto, abbiamo,

x = 2 o x = -6

Domanda 4. La radice quadrata di un numero negativo può essere un numero intero? Spiegare.

Soluzione:

Sappiamo che i numeri negativi non possono avere radice quadrata. La ragione di ciò è che se si moltiplicano due numeri negativi insieme, il risultato ottenuto sarà sempre un numero positivo. Pertanto, la radice quadrata di un numero negativo sarà sotto forma di numero complesso.

Domanda 5. Calcola la radice quadrata di 25 con il metodo della sottrazione ripetuta?

Soluzione:

Seguendo i passaggi sopra indicati, abbiamo,

25 – 1 = 24

android.process.acore continua a fermarsi

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Poiché il processo viene ripetuto 5 volte, quindi, abbiamo,√25 = 5.

Domanda 6. Calcola la radice quadrata di 484 con il metodo della divisione lunga?

Soluzione:

Con il metodo della divisione lunga, abbiamo,

Ora,

Il resto è 0, quindi 484 è un numero quadrato perfetto, tale che,

√484 = 22