I triangoli sono poligoni chiusi a tre lati formati dall'intersezione di tre linee. Si incontra molto nella vita di tutti i giorni. È una delle forme base della geometria. Ha tre lati, tre angoli e tre vertici. Un triangolo rettangolo è quello in cui uno degli angoli è sempre uguale a 90°. Teorema di Pitagora è derivato per i triangoli rettangoli, il che afferma che il quadrato dell'ipotenusa (il lato più lungo) è uguale alla somma dei quadrati della base e della perpendicolare.

Data la lunghezza di almeno due lati di un triangolo rettangolo, possiamo trovare il valore di qualsiasi angolo del triangolo rettangolo. Per questo utilizziamo varie funzioni trigonometriche come seno, coseno, tangente, cotangente, sec e cosec. Questi ci aiutano a mettere in relazione gli angoli di un triangolo rettangolo con i suoi lati.

Proprietà

• C'è un vertice ad angolo retto tra i tre vertici
• Il lato opposto al vertice rettangolo si chiama ipotenusa .
• La lunghezza dei lati segue il teorema di Pitagora, che afferma

ipotenusa ² = base ² +altitudine ²

• L'ipotenusa è il lato più lungo di un triangolo rettangolo.
• Gli angoli diversi dall'angolo retto sono acuti poiché il valore è inferiore a 90^O

Funzioni trigonometriche

ABC è un triangolo rettangolo con ∠B come angolo retto

mappe java

• cosθ: Questo dà il rapporto tra la base e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

cosθ = base/ipotenusa

• sinθ: Questo dà il rapporto tra l'altitudine e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

sinθ = altitudine/ipotenusa

• tanθ: È il rapporto tra l'altezza e la base di un triangolo rettangolo.

tanθ = altitudine/base

• lettinoθ: È l'inverso di tanθ
• secondoθ: È l'inverso di cosθ
• cosecθ: È l'inverso di sinθ

Per trovare gli angoli di un triangolo rettangolo, possiamo prendere l'inverso trigonometrico del rapporto tra i lati dati del triangolo.

Esempio:

Se sinθ = x, allora possiamo scrivere

θ = peccato ^-1 X.

Ciò restituisce l'angolo per il quale il valore del seno dell'angolo è x.

Allo stesso modo, esiste cos^-1θ, quindi^-1io, lettino^-1θ, sez^-1θ e cosec^-1io

Problemi di esempio

Domanda 1. Dato un triangolo rettangolo, con base uguale a 10 cm e ipotenusa uguale a 20 cm. Trova il valore dell'angolo della base.

Soluzione:

Dato, Base = 10 cm

Ipotenusa = 20 cm

Sia θ il valore dell'angolo alla base. Possiamo scrivere

cosθ = base/ipotenusa = 10/20 = 1/2

θ = cos^-1(1/2) = 60^O

Pertanto, il valore dell'angolo base è 60 ^O .

Domanda 2. Trova il valore degli angoli di un triangolo rettangolo, dato che uno degli angoli acuti è il doppio dell'altro.

Soluzione:

Poiché sappiamo che la somma di tutti e tre gli angoli in un triangolo è 180^O.

Poiché uno degli angoli è 90^Oe uno degli angoli acuti è il doppio dell'altro, possiamo considerarli θ e 2θ.

Quindi possiamo scrivere

90^O+θ + 2θ = 180^O

3θ = 180^O– 90^O

3θ = 90^O

θ = 90^O/3 = 30 ^O

2θ = 2×30^O= 60 ^O

Quindi gli angoli sono 30 ^O , 60 ^O , e 90 ^O .

Domanda 3. Trova il valore dell'angolo di elevazione di una scala lunga 5 m, dato che la base della scala si trova a una distanza di 3 m dal muro.

Soluzione:

Poiché la scala funge da ipotenusa di un triangolo rettangolo e la distanza delle basi è pari a 3 m, possiamo scrivere

Ipotenusa = 5 m

Base = 3 m

Sia θ l'angolo di elevazione. Quindi possiamo scrivere

cosθ = Base / Ipotenusa = 3/5

θ = cos^-1(3/5)

θ = 53^O

Pertanto, il valore dell'angolo di elevazione è 53^O.

Domanda 4. Trova il valore dell'ipotenusa, dato che la lunghezza dell'altitudine è 8 m e l'angolo alla base è pari a 30 ^O .

Soluzione:

Dato, l'angolo alla base è uguale a 30^Oe l'altitudine è pari a 8 m, possiamo applicare la funzione seno per trovare la lunghezza dell'ipotenusa.

peccato30 ^O = altezza/ipotenusa

ipotenusa = altezza/sen30^O

Poiché il valore del peccato30^Oè uguale a 1/2, possiamo scrivere

ipotenusa = altitudine / (1/2) = 2 × altitudine

Quindi, ipotenusa = 2 × 8 = 16m

Pertanto la lunghezza dell'ipotenusa è pari a 16 m.