In geometria gli angoli complementari possono essere definiti come quegli angoli la cui somma è 90 gradi. Ad esempio, 39° e 51° sono angoli complementari, poiché la somma di 39° e 51° è 90°. Se la somma di due angoli è un angolo retto, allora possiamo dire che sono angoli complementari. Ma cos'è un angolo? In geometria l'angolo è lo spazio formato tra due raggi quando sono uniti da un punto comune chiamato vertice. Se θ è un angolo, allora (90° – θ) è l'angolo complementare di θ.
Affinché due angoli siano complementari, la loro somma deve essere 90 gradi, cioè i due angoli devono essere acuti. Se θ è un angolo, allora (90° – θ) è l'angolo complementare di θ.
Tipi di angoli complementari
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è 90°. In geometria esistono due tipi di angoli complementari, cioè angoli complementari adiacenti e angoli complementari non adiacenti.
Angoli complementari adiacenti: Due angoli complementari che hanno un vertice e un braccio in comune si dicono angoli complementari adiacenti.
Dalla figura data, possiamo dire che ∠QEF e ∠DEQ sono angoli adiacenti, poiché entrambi gli angoli condividono il vertice comune E e il braccio comune EQ. Poiché ∠QEF + ∠DEQ = 17° + 73° = 90°, anche ∠QEF e ∠DEQ sono angoli complementari. Pertanto i due angoli dati sono angoli complementari adiacenti.
Angoli complementari non adiacenti: Due angoli si dicono non adiacenti se non hanno un vertice e un braccio in comune. Gli angoli complementari non adiacenti sono angoli complementari che non sono adiacenti tra loro.
Dalla figura data, possiamo dire che ∠XYZ e ∠ABC sono angoli non adiacenti, poiché entrambi gli angoli non condividono un vertice comune e un braccio comune. Anche ∠XYZ e ∠ABC sono angoli complementari poiché la loro somma è 90°, cioè ∠XYZ + ∠ABC = 57° + 33° = 90°. Pertanto i due dati sono angoli complementari non adiacenti.
Teorema degli angoli complementari
Lo afferma il teorema degli angoli complementari Se due angoli sono complementari a un terzo angolo qualsiasi, allora i primi due angoli sono tra loro congruenti.
Prova:
Supponiamo che ∠COB sia complementare a ∠BOA e ∠DOC.
Dalla definizione degli angoli complementari otteniamo,
∠COB + ∠BOA = 90° ————— (1)
∠COB + ∠DOC = 90° ————— (2)
Dalle equazioni (1) e (2) possiamo dire che,
∠COB + ∠BOA = ∠COB + ∠DOC
⇒ ∠COB + ∠BOA – ∠COB – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA = ∠DOC
Quindi il teorema è dimostrato.
Proprietà degli angoli complementari
Discutiamo alcune proprietà degli angoli complementari.
- Una coppia di angoli si dice complementari se la loro somma dà 90°.
- I due angoli complementari possono essere adiacenti o non adiacenti.
- Un angolo si dice complementare di un altro angolo se la somma dei due angoli è 90°.
- Anche se la somma di tre o più angoli è 90°, non possono essere complementari.
- I due angoli complementari sono acuti.
Trovare il complemento di un angolo
Per trovare il complemento di un angolo dobbiamo sottrarre l'angolo dato da 90°, poiché sappiamo che la somma di due angoli complementari è 90°. Se θ è l'angolo dato, allora (90° – θ) è il complemento di θ.
Ad esempio, calcola il complemento di 17°.
Sappiamo che la somma di due angoli complementari è 90°.
Di conseguenza, il complemento di 17° è (90° – 17°) = 73°.
Quindi il complemento di 17° è 73°.
Differenza tra angoli complementari e supplementari
| Angoli complementari | Angoli supplementari |
|---|---|
| Se la somma di due angoli è 90° si dice che sono complementari. | Se la somma di due angoli è 180° si dicono supplementari. |
| (90° – θ) è il complemento di un angolo θ. | (180° – θ) è il supplemento di un angolo θ. |
| Se una coppia di elementi complementari è unita, forma un angolo retto. | Se si uniscono due elementi supplementari, essi formano una linea retta. |
| Affinché due angoli siano complementari, la loro somma deve essere 90 gradi, cioè i due angoli devono essere acuti. | In due angoli supplementari, un angolo è acuto e l'altro è ottuso, oppure entrambi possono essere retti. |
Problemi risolti
Problema 1: Calcola i valori dei due angoli complementari, A e B, se A = (2x – 18)° e B = (5x – 52)°.
Soluzione:
Dati i dati,
∠A = (2x – 18)° e ∠B = (5x – 52)°
Lo sappiamo,
Somma di due angoli complementari = 90°
∠A + ∠B = 90°
⇒ (2x – 18)° + (5x – 52)° = 90°
⇒ 7x – 70° = 90°
⇒ 7x = 90° + 70° = 160°
⇒ x = 160°/7 = 22,85°
Ora,
∠A = (2 × (22,857) – 18) = 27,714°
∠B = (5 × (22,857) – 52) = 62,286°
Quindi, ∠A = 27,714° e ∠B = 62,286°.
Problema 2: Determina il valore di x se (5x/3) e (x/6) sono angoli complementari.
Soluzione:
Dati i dati,
(5x/3) e (x/6) sono angoli complementari.
Lo sappiamo,
Somma di due angoli complementari = 90°
⇒ (5x/3) + (x/6) = 90°
⇒ (10x + x)/6 = 90°
⇒ 11x = 90° × 6 = 540°
⇒ x = 540°/11 = 49,09°
Quindi, il valore di x = 49,09°.
Problema 3: Trova il valore di x nella figura mostrata sotto.
Soluzione:
Dalla figura data possiamo osservare che x e 54° sono angoli complementari, cioè la somma di x e 54° è 90°.
⇒ x + 54° = 90°
⇒ x = 90° – 54° = 36°
Quindi, il valore di x è 36°.
Problema 4: Trova il valore di y e la misura degli angoli nella figura data.
Soluzione:
Dalla figura riportata possiamo osservare che (2y – 15)° e (3y – 25)° sono angoli complementari, ovvero la somma di (2y – 15)° e (3y – 25)° è 90°.
⇒ (2a – 15)° + (3a – 25)° = 90°
⇒ (5y – 40)° = 90°
⇒ 5y = 90° + 40° = 130°
⇒ y = 130°/5 = 26°
Ora, (2y – 15)° = ( 2 × 26 – 15) = 37°
(3y – 25)° = (3 × 26 – 15) = 53°
byte Python in stringaQuindi il valore di y è 26° e gli angoli complementari sono 37° e 53°.
Problema 5: Determina il valore di x e la misura degli angoli complementari nella figura mostrata sotto.
Soluzione:
Dato che (x – 3)° e (2x – 7)° sono angoli complementari, cioè la somma di (x – 3)° e (2x – 7)° è 90°.
⇒ (x – 3)° + (2x – 7)° = 90°
⇒ (3x – 10)° = 90°
⇒ 3x = 90° + 10° = 100°
⇒ x = 100°/3 = 33,34°
Ora, (x – 3)° = (33,333- 3)° = 30,333° = 30,33°
(2x – 7)° = (2 x (33,333) – 7)° = 59,666° = 59,67°
Quindi il valore di x è 33,333° e i tre angoli complementari sono 30,33° e 59,67°.