UN Iperbole è una curva morbida in un piano con due rami che si specchiano l'uno nell'altro, assomigliando a due archi infiniti. È una sezione conica formata dall'intersezione di un cono circolare retto con un piano ad angolo tale che entrambe le metà del cono siano intersecate.

Impariamo a conoscere l'iperbole in dettaglio, comprese le sue equazioni, formule, proprietà, grafici e derivazione.

Iperbole

Tabella dei contenuti

• Cos'è l'iperbole?
• Definizione di iperbole
• Equazione dell'iperbole
• Parti dell'iperbole
• Eccentricità dell'iperbole
• Equazione standard dell'iperbole
• Lato destro dell'iperbole
• Derivazione dell'equazione dell'iperbole
• Formula dell'iperbole
• Grafico dell'iperbole
• Iperbole coniugata
• Proprietà dell'iperbole
• Cerchi ausiliari dell'iperbole
• Iperbole rettangolare
• Rappresentazione parametrica dell'iperbole
• Classe Iperbole 11
• Esempi risolti sull'iperbole
• Problemi pratici sull'iperbole

Cos'è l'iperbole?

Un'iperbole è il luogo dei punti la cui differenza nelle distanze da due fuochi è un valore fisso. Questa differenza si ottiene sottraendo la distanza del fuoco più vicino dalla distanza del fuoco più lontano.

Se P (x, y) è un punto sull’iperbole e F, F’ sono due fuochi, allora il luogo dell’iperbole è

PF – PF' = 2a

Nota: Fare riferimento al diagramma aggiunto in derivazione per l'immagine.

Definizione di iperbole

Nella geometria analitica, un'iperbole è un tipo di sezione conica creata quando un piano taglia entrambe le metà di un doppio cono circolare retto con un angolo . Questa intersezione risulta in due curve separate e illimitate che sono immagini speculari l'una dell'altra, formando un'iperbole.

Equazione dell'iperbole

L'equazione di un'iperbole nella sua forma standard dipende dal suo orientamento e dal fatto che sia centrata nell'origine o in un altro punto. Ecco le due forme principali delle iperboli centrate nell'origine, una che si apre orizzontalmente e l'altra che si apre verticalmente:

X ² /UN ² - E ² /B ² = 1

Questa equazione rappresenta un'iperbole che si apre a sinistra e a destra. I punti (±a,0) sono i vertici dell'iperbole, situati sull'asse x.

Parti dell'iperbole

Un'iperbole è una sezione conica che si sviluppa quando un piano taglia un doppio cono circolare retto con un angolo tale che entrambe le metà del cono siano unite. Può essere descritto utilizzando concetti come fuochi, direttrice, latus rectum ed eccentricità.

Eccentricità dell'iperbole

L'eccentricità di un'iperbole è il rapporto tra la distanza di un punto dal fuoco e la sua distanza perpendicolare dalla direttrice. È indicato con la lettera ' È '.

• L'eccentricità di un'iperbole è sempre maggiore di 1, cioè e>1.
• Possiamo facilmente trovare l'eccentricità dell'iperbole con la formula:

e = √[1 + (b ² /UN ² )]

Dove,

• UN è la lunghezza del semiasse maggiore
• B è la lunghezza del semiasse minore

Per saperne di più: Eccentricità

Equazione standard dell'iperbole

Le equazioni standard di un'iperbole sono:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

O

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Un'iperbole ha due equazioni standard. Queste equazioni di un'iperbole si basano sul suo asse trasversale e sull'asse coniugato.

istruzione if-else java

• L'equazione standard dell'iperbole è [(x²/UN²) - (E²/B²)] = 1, dove l'asse X è l'asse trasversale e l'asse Y è l'asse coniugato.
• Inoltre, un'altra equazione standard dell'iperbole è [(y²/UN²)- (X²/B²)] = 1, dove l'asse Y è l'asse trasversale e l'asse X è l'asse coniugato.
• Equazione standard dell'iperbole con centro (h, k) e l'asse X come asse trasversale e l'asse Y come asse coniugato è,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Inoltre, un'altra equazione standard dell'iperbole con centro (h, k) e l'asse Y come asse trasversale e l'asse X come asse coniugato è

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Lato destro dell'iperbole

Il latus rectum di un'iperbole è una linea passante per uno qualsiasi dei fuochi di un'iperbole e perpendicolare all'asse trasversale dell'iperbole. Gli estremi del latus rectum giacciono sull'iperbole e la sua lunghezza è 2b²/UN.

Derivazione dell'equazione dell'iperbole

Consideriamo un punto P sull'iperbole le cui coordinate sono (x, y). Dalla definizione di iperbole sappiamo che la differenza tra la distanza del punto P dai due fuochi F e F’ è 2a, cioè PF’-PF = 2a.

Siano le coordinate dei fuochi F (c, o) e F ‘(-c, 0).

Ora, utilizzando la formula della distanza delle coordinate, possiamo trovare la distanza del punto P (x, y) dai fuochi F (c, 0) e F ‘(-c, 0).

√[(x + c)²+ (e – 0)²] – √[(x – c)²+ (e – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ e²] = 2a + √[(x – c)²+ e²]

Ora, elevando al quadrato entrambi i lati, otteniamo:

(x+c)²+ e²= 4a²+ (x-c)²+ e²+ 4a√[(x – c)²+ e²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ e²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ e²]

Ora, elevando al quadrato entrambi i lati e semplificando, otteniamo

[(X²/UN²) - (E²/(C²- UN²))] = 1

Abbiamo, c²= un²+ b², quindi sostituendo questo nell'equazione precedente, otteniamo

X²/UN²- E²/B²= 1

Quindi, si deriva l'equazione standard dell'iperbole.

Allo stesso modo, possiamo derivare le equazioni standard dell'altra iperbole, cioè [y²/UN²- X²/B²] = 1

Formula dell'iperbole

Le seguenti formule dell'iperbole sono ampiamente utilizzate per trovare i vari parametri dell'iperbole che includono l'equazione dell'iperbole, l'asse maggiore e minore, l'eccentricità, gli asintoti, il vertice, i fuochi e il semi-lato retto.

Dove,

• ( X₀​, e₀​) è il punto centrale
• UN è il semiasse maggiore
• B è il semiasse minore.

Grafico dell'iperbole

L'iperbole è una curva che ha due curve illimitate che sono l'immagine speculare l'una dell'altra. Il grafico dell'iperbole mostra quella curva nel piano 2D. Possiamo osservare le diverse parti di un'iperbole nei grafici dell'iperbole per le equazioni standard fornite di seguito:

Equazione dell'iperbole	Grafico dell'iperbole	Parametri dell'iperbole
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Coordinate del centro: (0, 0) Coordinate del vertice: (a, 0) e (-a, 0) Coordinate dei fuochi: (c, 0) e (-c, 0) La lunghezza dell'asse trasversale = 2a La lunghezza dell'asse coniugato = 2b La lunghezza del latus retto = 2b2/UN Equazioni degli asintoti: y = (b/a) x e y = -(b/a) x Eccentricità (e) = √[1 + (b2/UN2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Coordinate del centro: (0, 0) Coordinate del vertice: (0, a) e (0, -a) Coordinate dei fuochi: (0, c) e (0, -c) La lunghezza dell'asse trasversale = 2b La lunghezza dell'asse coniugato = 2a La lunghezza del latus retto = 2b2/UN Equazioni degli asintoti: y = (a/b) x e y = -(a/b) x Eccentricità (e) = √[1 + (b2/UN2)]

Iperbole coniugata

L'iperbole coniugata è costituita da 2 iperboli tali che gli assi trasversale e coniugato di un'iperbole siano rispettivamente l'asse coniugato e trasversale dell'altra iperbole.

Iperbole coniugata di (x²/ UN²) - (E²/B²) = 1 è,

(X ² / UN ² ) - (E ² / B ² ) = 1

Dove,

• UN è il semiasse maggiore
• B è l'asse semiminore
• È è l'eccentricità della parabola
• UN ² = b ² (È ² − 1)

Proprietà dell'iperbole

• Se le eccentricità dell'iperbole e della sua coniugata sono e₁, ed e₂Poi,

(1 e ₁ ² ) + (1/e ₂ ² ) = 1

• I fuochi di un'iperbole e del suo coniugato sono conciclici e formano i vertici di un quadrato.
• Le iperboli sono uguali se hanno lo stesso latus rectum.

Cerchi ausiliari dell'iperbole

Il cerchio ausiliario è un cerchio tracciato con centro C e diametro come asse trasversale dell'iperbole. Il cerchio ausiliario dell'equazione dell'iperbole è,

X ² + e ² = un ²

Iperbole rettangolare

Un'iperbole con un asse trasversale di 2a unità e un asse coniugato di 2b unità di uguale lunghezza è chiamata Iperbole Rettangolare. cioè nell'iperbole rettangolare,

2a = 2b

⇒ a = b

L'equazione di un'iperbole rettangolare è data come segue:

X ² - E ² = un ²

Nota: L'eccentricità dell'iperbole rettangolare è √2.

Rappresentazione parametrica dell'iperbole

La rappresentazione parametrica dei cerchi ausiliari dell'iperbole è:

x = a sec θ, y = b tan θ

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• Sezione conica
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Classe Iperbole 11

Nella classe 11 di matematica, lo studio delle iperboli fa parte delle sezioni coniche della geometria analitica. Comprendere le iperboli a questo livello implica esplorarne la definizione, le equazioni standard, le proprietà e i vari elementi ad esse associati.

Il curriculum della Classe 11 include tipicamente la derivazione di queste equazioni e proprietà, il disegno di iperboli basate su equazioni date e la risoluzione di problemi relativi agli elementi e alle posizioni dell'iperbole. La padronanza di questi concetti fornisce una solida base analitica geometria , preparando gli studenti per ulteriori studi in matematica e campi correlati.

Sommario – Iperbole

Un'iperbole è un tipo di sezione conica che si forma quando un piano interseca un cono con un angolo tale da produrre due curve separate. Caratterizzata dalla sua simmetria speculare, un'iperbole è costituita da due rami sconnessi, ciascuno curvato in direzione opposta all'altro. Può essere definito matematicamente in un piano di coordinate utilizzando un'equazione standard, che varia in base al suo orientamento, orizzontale o verticale, e se il suo centro si trova nell'origine o in un altro punto.

I moduli standard sono X ² /UN ² - E ² /B ² = 1 per un'iperbole che si apre orizzontalmente e E ² /UN ² - X ² /B ² = 1 per un'apertura verticale, con variazioni per accogliere un centro spostato in (h,k). Le caratteristiche principali delle iperboli includono i vertici, i punti più vicini al centro di ciascun ramo; fuochi, punti da cui le distanze verso qualsiasi punto dell'iperbole hanno una differenza costante; e asintoti, linee a cui i rami si avvicinano ma non si toccano mai.

Le proprietà delle iperboli le rendono significative in vari campi, tra cui l'astronomia, la fisica e l'ingegneria, per modellare e analizzare traiettorie e comportamenti iperbolici.

Esempi risolti sull'iperbole

Domanda 1: Determina l'eccentricità dell'iperbole x ² /64 – e ² /36 = 1.

Soluzione:

L'equazione dell'iperbole è x²/64 – e²/36 = 0

Confrontando l'equazione data con l'equazione standard dell'iperbole x²/UN²- E²/B²= 1, otteniamo

UN²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Abbiamo,

Eccentricità di un'iperbole (e) = √(1 + b²/UN²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Quindi, l'eccentricità dell'iperbole data è 1,25.

Domanda 2: Se l'equazione dell'iperbole è [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, trova le lunghezze dell'asse maggiore, dell'asse minore e del latus rectum.

Soluzione:

L'equazione dell'iperbole è [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Confrontando l'equazione data con l'equazione standard dell'iperbole, (x – h)²/UN²– (e – k)²/B²= 1

Qui x = 4 è l'asse maggiore e y = 3 è l'asse minore.

UN²= 25 a = 5

B²= 9 b = 3

Lunghezza dell'asse maggiore = 2a = 2 × (5) = 10 unità

Lunghezza dell'asse minore = 2b = 2 × (3) = 6 unità

Lunghezza del retto latus = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 unità

Domanda 3: Trova il vertice, l'asintoto, l'asse maggiore, l'asse minore e la direttrice se l'equazione dell'iperbole è [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Soluzione:

L'equazione dell'iperbole è [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Confrontando l'equazione data con l'equazione standard dell'iperbole, (x – h)²/UN²– (e – k)²/B²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Vertice di un'Iperbole: (h + a, k) e (h – a, k) = (13, 2) e (-1, 2)

L'asse maggiore dell'iperbole è x = h x = 6

L'asse minore dell'iperbole è y = k y = 2

Le equazioni degli asintoti dell'iperbole sono

y = k − (b / a)x + (b / a)h e y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 e y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

ordinamento di un arraylist java

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 e y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x e y = -1,43 + 0,57x

L'equazione della direttrice di un'iperbole è x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+4²)

⇒x=±49/√65

⇒ x = ± 6,077

Domanda 4: Trova l'eccentricità dell'iperbole il cui latus rectum è la metà del suo asse coniugato.

Soluzione:

La lunghezza del latus rectum è la metà del suo asse coniugato

Sia l'equazione dell'iperbole [(x²/ UN²) - (E²/ B²)] = 1

Asse coniugato = 2b

Lunghezza del retto del Latus = (2b²/ UN)

Dai dati forniti, (2b²/a) = (1/2) × 2b

2b = a

Abbiamo,

Eccentricità dell'iperbole (e) = √[1 + (b²/UN²)]

Ora sostituiamo a = 2b nella formula dell'eccentricità

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Quindi, l'eccentricità richiesta è √5/2.

Problemi pratici sull'iperbole

P1. Trova l'equazione in forma standard dell'iperbole con vertici in (-3, 2) e (1, 2) e una lunghezza focale pari a 5.

P2. Determina il centro, i vertici e i fuochi dell'iperbole con l'equazione 9x ² – 4 anni ² = 36.

P3. Data l’iperbole con l’equazione (x – 2) ² /16 – (e + 1) ² /9 = 1, trova le coordinate del suo centro, dei vertici e dei fuochi.

P4. Scrivi l'equazione dell'iperbole con asse maggiore orizzontale, centro in (0, 0), vertice in (5, 0) e fuoco in (3, 0).

Iperbole – Domande frequenti

Cos'è l'iperbole in matematica?

Il luogo di un punto su un piano tale che il rapporto tra la sua distanza da un punto fisso e quella da una linea fissa è una costante maggiore di 1 si chiama iperbole.

Cos'è l'equazione standard dell'iperbole?

L'equazione standard dell'iperbole è

(X ² /UN ² ) - (E ² /B ² ) = 1

Cos'è l'eccentricità dell'iperbole?

L'eccentricità di un'iperbole è il rapporto tra la distanza di un punto dal fuoco e la sua distanza perpendicolare dalla direttrice. Per l'iperbole l'eccentricità è sempre maggiore di 1.

Qual è la formula dell'eccentricità dell'iperbole?

La formula per l'eccentricità dell'iperbole è e = √(1 + (b ² /UN ² ))

Cosa sono Foci dell'iperbole?

Un'iperbole ha due fuochi. Per l'iperbole (x²/UN²) - (E²/B²) = 1, i fuochi sono dati da (ae, 0) e (-ae, 0)

Cos'è l'asse trasversale dell'iperbole?

Per l'iperbole (x²/UN²) - (E²/B²) = 1, l'asse trasversale è lungo l'asse x. La sua lunghezza è data da 2a. La retta passante per il centro e i fuochi dell'iperbole si chiama asse trasversale dell'iperbole.

Cosa sono gli asintoti dell'iperbole?

Le rette parallele all'iperbole che incontrano l'iperbole all'infinito sono chiamate asintoti dell'iperbole.

Quanti asintoti ha l'iperbole?

Un'iperbole ha 2 asintoti. L'asintoto è una retta tangente all'iperbole che incontra l'iperbole all'infinito.

A cosa serve l'iperbole?

Le iperboli trovano applicazioni in vari campi come l'astronomia, la fisica, l'ingegneria e l'economia. Sono utilizzati nelle traiettorie satellitari, negli schemi di trasmissione radio, nel puntamento dell'artiglieria, nella modellazione finanziaria e nella meccanica celeste, tra le altre aree.

Qual è la differenza tra parabola e iperbole in forma standard?

Nella forma standard, l'equazione di una parabola coinvolge termini elevati alle potenze di 1 e 2, mentre l'equazione di un'iperbole coinvolge termini elevati alle potenze di 2 e -2. Inoltre, la parabola è caratterizzata da un unico punto focale, mentre l'iperbole ne ha due.

Qual è l'equazione di base del grafico dell'iperbole?

L'equazione di base di un grafico ad iperbole è:

(x-h)²/ UN²– (e – k)²/ B²= 1

O

(e – k)²/ B²– (x-h)²/ UN²= 1

Quali sono i tipi di iperbole?

Le iperboli possono essere classificate in tre tipi in base al loro orientamento: iperboli orizzontali, verticali e oblique.

Come si identifica un'equazione di iperbole?

Un'equazione dell'iperbole coinvolge tipicamente termini con entrambi X E E variabili, con una differenza tra i quadrati di X E E coefficienti, e i coefficienti di questi termini sono rispettivamente positivi e negativi.

Qual è la formula di B nell'iperbole?

Nella forma standard di un'equazione dell'iperbole, B rappresenta la lunghezza dell'asse coniugato e la sua formula è B = 2 B , Dove B è la distanza dal centro ai vertici lungo l'asse coniugato.

Come si disegna un'iperbole?

Per disegnare un'iperbole, in genere si inizia tracciando il punto centrale, quindi si contrassegnano i vertici, i fuochi, gli asintoti e altri punti chiave in base all'equazione o alle proprietà specificate. Infine, disegna le curve dell'iperbole utilizzando questi punti come guide.