Regola 2

Se le parti sinistra e destra delle espressioni vengono scambiate, la disuguaglianza si inverte. Si chiama proprietà conversa.

• Se a> b, allora b
• Se un UN
• Se a ≥ b, allora b ≤ a
• Se a ≤ b, allora b ≥ a

Regola 3

Se la stessa costante k viene aggiunta o sottratta da entrambi i lati della disuguaglianza, allora entrambi i lati della disuguaglianza sono uguali.

• Se a> b, allora a + k> b + k
• Se a> b, allora a – k> b – k

Allo stesso modo, per altre disuguaglianze.

• Se un
• Se un
• Se a ≤ b, allora a + k ≤ b + k
• Se a ≤ b, allora a – k ≤ b – k
• Se a ≥ b, allora a + k ≥ b + k
• Se a ≥ b, allora a – k ≥ b – k

La direzione della disuguaglianza non cambia dopo aver aggiunto o sottratto una costante.

Regola 4

Se k è una costante positiva moltiplicata o divisa per entrambi i lati della disuguaglianza, allora non vi è alcun cambiamento nella direzione della disuguaglianza.

• Se a> b, allora ak> bk
• Se un
• Se a ≤ b, allora ak ≤ bk
• Se a ≥ b, allora ak ≥ bk

Se k è una costante negativa moltiplicata o divisa per entrambi i lati della disuguaglianza, la direzione della disuguaglianza viene invertita.

• Se a> b, allora ak
• Se a> b, allora ak
• Se a ≥ b, allora ak ≤ bk
• Se a ≤ b, allora ak ≥ bk

Regola 5

Il quadrato di qualsiasi numero è sempre maggiore o uguale a zero.

inizializzazione primavera

• UN²≥ 0

Regola 6

Prendere le radici quadrate su entrambi i lati della disuguaglianza non cambia la direzione della disuguaglianza.

• Se a> b, allora √a> √b
• Se un
• Se a ≥ b, allora √a ≥ √b
• Se a ≤ b, allora √a ≤ √b

Grafico per le disuguaglianze

Le disuguaglianze sono con una o due variabili oppure abbiamo un sistema di disuguaglianze, tutte possono essere rappresentate graficamente sul piano cartesiano se contiene solo due variabili. Le disuguaglianze in una variabile sono tracciate su linee reali e due variabili sono tracciate sul piano cartesiano.

Notazione degli intervalli per le disuguaglianze

Punti importanti per scrivere intervalli per le disuguaglianze:

• In caso di maggiore e uguale a ( ≥ ) o minore di uguale a ( ≤ ), i valori finali vengono inclusi, pertanto vengono utilizzate parentesi chiuse o quadre [ ].
• In caso di maggiore di ( > ) o inferiore a ( < ), i valori finali sono esclusi, quindi vengono utilizzate le parentesi aperte ().
• Sia per l'infinito positivo che per quello negativo vengono utilizzate parentesi aperte ().

La tabella seguente rappresenta gli intervalli per le diverse disuguaglianze:

Grafico per disuguaglianze lineari con una variabile

Dalla tabella seguente possiamo capire come tracciare varie disuguaglianze lineari con una variabile su una linea reale.

Disuguaglianza	Intervallo	Grafico
x> 1	(1, ∞) data JavaScript	Disuguaglianze lineari con una variabile
x<1	(-∞, 1)
x≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Grafico per disuguaglianze lineari con due variabili

Prendiamo un esempio di disuguaglianze lineari con due variabili.

Consideriamo la disuguaglianza lineare 20x + 10y ≤ 60, poiché le possibili soluzioni per una data disuguaglianza sono (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1 ), (2,2), (3,0), e anche tutti i punti oltre questi punti sono anche la soluzione della disuguaglianza.

Tracciamo il grafico delle soluzioni fornite.

La regione ombreggiata nel grafico rappresenta le possibili soluzioni per la disuguaglianza data.

Leggi anche

• Soluzione grafica delle disuguaglianze lineari in due variabili

Tipi di disuguaglianze

Esistono vari tipi di disuguaglianze che possono essere classificate come segue:

• Disuguaglianze polinomiali: Le disuguaglianze polinomiali sono disuguaglianze che possono essere rappresentate sotto forma di polinomi. Esempio: 2x + 3 ≤ 10.
• Disuguaglianze di valore assoluto: Le disuguaglianze di valore assoluto sono le disuguaglianze all'interno del segno del valore assoluto. Esempio: |y + 3| ≤ 4.
• Disuguaglianze razionali: Le disuguaglianze razionali sono disuguaglianze con frazioni insieme alle variabili. Esempio- (x + 4) / (x – 5) <5.

Come risolvere le disuguaglianze

Per risolvere le disuguaglianze possiamo utilizzare i seguenti passaggi:

• Passo 1: Scrivi la disuguaglianza sotto forma di equazione.
• Passo 2: Risolvi l'equazione e ottieni le radici delle disuguaglianze.
• Passaggio 3: Rappresentare i valori ottenuti sulla linea numerica.
• Passaggio 4: Rappresentare i valori esclusi anche sulla linea numerica con i cerchi aperti.
• Passaggio 5: Trova gli intervalli dalla linea numerica.
• Passaggio 6: Prendi un valore casuale da ciascun intervallo e inserisci questi valori nella disuguaglianza e controlla se soddisfa la disuguaglianza.
• Passaggio 7: La soluzione della disuguaglianza sono gli intervalli che soddisfano la disuguaglianza.

Come risolvere le disuguaglianze polinomiali

Le disuguaglianze polinomiali includono disuguaglianze lineari, disuguaglianze quadratiche, disuguaglianze cubiche, ecc. Qui impareremo a risolvere disuguaglianze lineari e quadratiche.

Risoluzione delle disuguaglianze lineari

Le disuguaglianze lineari possono essere risolte come equazioni lineari ma secondo la regola delle disuguaglianze. Le disuguaglianze lineari possono essere risolte utilizzando semplici operazioni algebriche.

Disuguaglianze a uno o due gradini

La disuguaglianza ad un passo è quella che può essere risolta in un passo.

Esempio: Risolvi: 5x <10

Soluzione:

⇒ 5x <10 [Dividendo entrambi i lati per 5]

⇒ x <2 o (-∞, 2)

La disuguaglianza a due passaggi è una disuguaglianza che può essere risolta in due passaggi.

Esempio: Risolvi: 4x + 2 ≥ 10

Soluzione:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Sottrai 2 da entrambi i lati]

⇒ 4x ≥ 8 [Dividendo entrambi i lati per 4]

⇒ x ≥ 2 o [2, ∞)

Disuguaglianze composte

Le disuguaglianze composte sono disuguaglianze che hanno più disuguaglianze separate da e o o. Per risolvere le disuguaglianze composte, risolvere le disuguaglianze separatamente e per la soluzione finale eseguire l'intersezione delle soluzioni ottenute se le disuguaglianze sono separate da e ed eseguire l'unione delle soluzioni ottenute se le disuguaglianze sono separate da o.

Esempio: Risolvi: 4x + 6 <10 e 5x + 2 < 12

Soluzione:

Per prima cosa risolvi 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Sottrai 6 da entrambi i lati]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 oppure (-∞, 1) —–(i)

Seconda soluzione 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Sottrai 2 da entrambi i lati]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 oppure (-∞, 2) ——-(ii)

Da (i) e (ii) abbiamo due soluzioni x <1 e x < 2.

Prendiamo l'intersezione per la soluzione finale poiché le disuguaglianze sono separate da e.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

La soluzione finale per una data disuguaglianza composta è (-∞, 1).

Per saperne di più

• Disuguaglianze composte
• Problemi di parole sulle disuguaglianze lineari
• Disuguaglianza del triangolo

Risolvere le disuguaglianze quadratiche

Facciamo un esempio per risolvere le disuguaglianze di valore assoluto.

Esempio: risolvere la disuguaglianza: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Soluzione:

Di seguito sono riportati i passaggi per risolvere la disuguaglianza: x²– 7x + 6 ≥ 0

Passo 1: Scrivi la disuguaglianza sotto forma di equazione:

X²– 7x + 6 = 0

Passo 2: Risolvi l'equazione:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x–6) – 1(x–6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 e x = 1

Dal passaggio precedente otteniamo i valori x = 6 e x = 1

Passaggio 3: Dai valori sopra indicati gli intervalli sono (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Poiché la disuguaglianza è ≥ che include uguale a, utilizziamo parentesi chiuse per i valori ottenuti.

Passaggio 4: Rappresentazione della linea numerica degli intervalli sopra indicati.

Passaggio 5: Prendi numeri casuali tra ciascun intervallo e controlla se soddisfa il valore. Se soddisfa, includere l'intervallo nella soluzione.

Per l'intervallo (-∞, 1] lascia che il valore casuale sia -1.

Ponendo x = -1 nella disuguaglianza x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (Vero)

Per l'intervallo [1, 6] lascia che il valore casuale sia 2.

Mettendo x = 0 nella disuguaglianza x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (falso)

Per l'intervallo [6, ∞) lascia che il valore casuale sia 7.

Ponendo x = 7 nella disuguaglianza x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (Vero)

Passaggio 6: Quindi, la soluzione per la disuguaglianza in valore assoluto x²– 7x + 6 ≥ 0 è l'intervallo (-∞, 1] ∪ [6, ∞) poiché soddisfa la disuguaglianza che può essere tracciata sulla retta numerica come:

Come risolvere le disuguaglianze di valore assoluto

Facciamo un esempio per risolvere le disuguaglianze di valore assoluto.

Esempio: risolvere la disuguaglianza: |y + 1| ≤ 2

Soluzione:

Di seguito sono riportati i passaggi per risolvere la disuguaglianza: |y + 1| ≤ 2

Passo 1: Scrivi la disuguaglianza sotto forma di un'equazione:

|y + 1| = 2

Passo 2: Risolvi l'equazione:

Java si connette con MySQL

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 e y + 1 = – 2

y = 1 e y = -3

Dal passaggio precedente otteniamo i valori y = 1 ey = -3

Passaggio 3: Dai valori sopra indicati gli intervalli sono (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Poiché la disuguaglianza è ≤ che include uguale a, utilizziamo parentesi chiuse per i valori ottenuti.

Passaggio 4: Rappresentazione della linea numerica degli intervalli sopra indicati.

Passaggio 5: Prendi numeri casuali tra ciascun intervallo e controlla se soddisfa il valore. Se soddisfa, includere l'intervallo nella soluzione.

Per l'intervallo (-∞, -3] lascia che il valore casuale sia -4.

Ponendo y = -4 nella disuguaglianza |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Falso)

Per l'intervallo [-3, 1] lascia che il valore casuale sia 0.

Ponendo y = 0 nella disuguaglianza |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Vero)

Per l'intervallo [1, ∞) lascia che il valore casuale sia 2.

Ponendo y = 2 nella disuguaglianza |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Falso)

Passaggio 6: Quindi, la soluzione per la disuguaglianza in valore assoluto |y + 1| ≤ 2 è l'intervallo [-3, -1] poiché soddisfa la disuguaglianza che può essere tracciata sulla linea numerica come:

Come risolvere le disuguaglianze razionali

Facciamo un esempio per risolvere le disuguaglianze razionali.

Esempio: risolvere la disuguaglianza: (x + 3) / (x – 1) <2

Soluzione:

Di seguito sono riportati i passaggi per risolvere la disuguaglianza:

Passo 1: Scrivi la disuguaglianza sotto forma di equazione: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Passo 2: Risolvi l'equazione:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x+3) = 2(x–1)

x + 3 = 2x-2

ordinamento di inserimento

2x – x = 3 + 2

x = 5

Dal passaggio precedente otteniamo il valore x = 5

Passaggio 3: Dai valori sopra indicati gli intervalli sono (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Poiché la disuguaglianza è

Poiché per x = 1 la disuguaglianza non è definita, prendiamo la parentesi aperta per x = 1.

Passaggio 4: Rappresentazione della linea numerica degli intervalli sopra indicati.

Passaggio 5: Prendi numeri casuali tra ciascun intervallo e controlla se soddisfa il valore. Se soddisfa, includere l'intervallo nella soluzione.

Per l'intervallo (-∞, 1) lascia che il valore casuale sia 0.

Mettendo x = 0 nella disuguaglianza (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (Vero)

Per l'intervallo (1, 5) lascia che il valore casuale sia 2.

Mettendo x = 3 nella disuguaglianza (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6/2 <2

⇒ 3 <2 (FALSO)

Per l'intervallo (5, ∞) lascia che il valore casuale sia 2.

Mettendo y = 6 nella disuguaglianza (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (Vero)

Passaggio 6: Quindi, la soluzione per la disuguaglianza in valore assoluto (x + 3) / (x – 1) <2 è l'intervallo (-∞, 1) ∪ (5, ∞) in quanto soddisfa la disuguaglianza che può essere tracciata sulla retta numerica come:

Come Risolvere la Disuguaglianza Lineare con Due Variabili

Facciamo un esempio per risolvere la disuguaglianza lineare con due variabili.

Esempio: Risolvere: 20x + 10y ≤ 60

Soluzione:

Consideriamo x = 0 e poniamolo nella disuguaglianza data

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10 anni ≤ 60

⇒ e ≤ 6 ——(i)

Ora, quando x = 0, y può essere compreso tra 0 e 6.

Allo stesso modo, inserire valori nella disuguaglianza e verificarlo soddisfa la disuguaglianza.

Per x = 1, y può essere compreso tra 0 e 4.

Per x = 2, y può essere compreso tra 0 e 2.

Per x = 3, y può essere 0.

La possibile soluzione per una data disuguaglianza è (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Sistemi di diseguaglianze

I sistemi di diseguaglianze sono l'insieme di due o più disuguaglianze con una o più variabili. I sistemi di diseguaglianze contengono disuguaglianze multiple con una o più variabili.

Il sistema di disuguaglianze è della forma:

UN_undiciX₁+a₁₂X₂+a₁₃X₃…….. + a_1nX_{N 1}

UN_ventunoX₁+a₂₂X₂+a₂₃X₃…….. + a_2nX_{N 2}

UN_n1X₁+a_n2X₂+a_n3X₃…….. + a_nnX_{N N}

Rappresentazione grafica dei sistemi di diseguaglianze

Il sistema di disuguaglianze è un gruppo di disuguaglianze multiple. Innanzitutto, risolvi ciascuna disuguaglianza e traccia il grafico per ciascuna disuguaglianza. L'intersezione del grafico di tutte le disuguaglianze rappresenta il grafico dei sistemi di disuguaglianze.

Considera un esempio,

Esempio: grafico per sistemi di disuguaglianze

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Soluzione:

Grafico per 2x + 3y ≤ 6

La regione ombreggiata del grafico rappresenta 2x + 3y ≤ 6

Grafico per x ≤ 3

La regione ombreggiata rappresenta x ≤ 3

esercitazione su c#

Grafico per y ≤ 2

La regione ombreggiata rappresenta y ≤ 2

Grafico per un dato sistema di diseguaglianze

La regione ombreggiata rappresenta un dato sistema di disuguaglianze.

Disuguaglianze – Domande frequenti

Qual è il concetto di diseguaglianza?

Le disuguaglianze sono le espressioni matematiche in cui il lato sinistro e destro dell'espressione sono disuguali.

Quali sono i simboli delle disuguaglianze?

I simboli delle disuguaglianze sono:>, <, ≥, ≤ e ≠.

Qual è la proprietà transitiva delle disuguaglianze?

La proprietà transitiva delle disuguaglianze afferma che se a, b, c sono tre numeri allora,

• Se a> b e b> c, allora a> c
• Se un
• Se a ≥ b e b ≥ c, allora a ≥ c
• Se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c