L'algebra booleana è un tipo di algebra creata utilizzando il sistema binario. Nell'anno 1854, George Boole, un matematico inglese, propose questa algebra. Questa è una variante della logica proposizionale di Aristotele che utilizza i simboli 0 e 1, o Vero e Falso. L'algebra booleana si occupa di variabili binarie e operazioni logiche.
L'algebra booleana è fondamentale nello sviluppo dei sistemi elettronici digitali poiché tutti utilizzano il concetto di Algebra booleana per eseguire comandi. Oltre all'elettronica digitale, questa algebra trova applicazione anche nella teoria degli insiemi, nella statistica e in altri rami della matematica.
In questo articolo impareremo in dettaglio le operazioni booleane di base, le espressioni booleane, le tabelle di verità, le leggi booleane e altro ancora.
Tabella dei contenuti
- Operazioni di algebra booleana
- Tabella dell'Algbera booleana
- Espressione booleana e variabili
- Terminologie dell'algebra booleana
- Tabelle di verità nell'algebra booleana
- Regole dell'algebra booleana
- Leggi dell'algebra booleana
- Teoremi dell'algebra booleana
- Esempi risolti di algebra booleana
Operazioni di algebra booleana
Esistono varie operazioni utilizzate nell'algebra booleana, ma le operazioni di base che costituiscono la base dell'algebra booleana lo sono.
- Negazione o NON Operazione
- Congiunzione o operazione AND
- Disgiunzione o Operazione OR
Espressione dell'algebra booleana
Controllo: Nozioni di base di algebra booleana in elettronica digitale
Queste operazioni hanno i propri simboli e la propria precedenza e la tabella aggiunta di seguito mostra il simbolo e la precedenza di questi operatori.
Operatore | Simbolo | Precedenza Java esce dal ciclo |
|---|---|---|
NON | ‘ (o) ⇁ | Primo |
E | . (o) ∧ | Secondo |
O | + (o) ∨ | Terzo |
Possiamo facilmente definire queste operazioni utilizzando due variabili booleane.
Prendiamo due variabili booleane A e B che possono avere uno qualsiasi dei due valori 0 o 1, ovvero possono essere OFF o ON. Quindi queste operazioni sono spiegate come,
Operazione di negazione o NOT
Usando il NON l'operazione inverte il valore della variabile booleana da 0 a 1 o viceversa. Questo può essere inteso come:
- Se A = 1, utilizzando l'operazione NOT abbiamo (A)’ = 0
- Se A = 0, utilizzando l'operazione NOT abbiamo (A)’ = 1
- Rappresentiamo anche l'operazione di negazione come ~A, ovvero se A = 1, ~A = 0
Controllo: Proprietà dell'algebra booleana
Congiunzione o operazione AND
Usando il E L'operazione soddisfa la condizione se entrambi i valori delle singole variabili sono veri e se uno qualsiasi dei valori è falso, allora questa operazione dà il risultato negativo. Questo può essere inteso come,
- Se A = Vero, B = Vero, allora A . B = Vero
- Se A = Vero, B = Falso, Oppure A = falso, B = Vero, allora A . B = Falso
- Se A = Falso, B = Falso, allora A . B = Falso
Controllo: Teoremi algebrici booleani
Operazione di disgiunzione (OR).
Usando il O L'operazione soddisfa la condizione se qualsiasi valore delle singole variabili è vero, dà risultato negativo solo se entrambi i valori sono falsi. Questo può essere inteso come,
- Se A = Vero, B = Vero, allora A + B = Vero
- Se A = Vero, B = Falso, Oppure A = falso, B = Vero, allora A + B = Vero
- Se A = Falso, B = Falso, allora A + B = Falso
Tabella dell'algebra booleana
Di seguito è riportata l'espressione per l'algebra booleana
| Operazione | Simbolo | Definizione |
|---|---|---|
| Operazione AND | ⋅ o ∧ | Restituisce vero solo se entrambi gli input sono veri. |
| Operazione OR | + o ∨ | Restituisce vero se almeno un input è vero. |
| NON Operazione | ¬ o ∼ | Inverte l'input. |
| Operazione XOR | ⊕ | Restituisce vero se esattamente un input è vero. |
| Operazione NAND | ↓ | Restituisce falso solo se entrambi gli input sono veri. |
| Operazione NOR | ↑ | Restituisce falso se almeno un input è vero. |
| Operazione XNOR | ↔ | Restituisce vero se entrambi gli input sono uguali. |
Espressione booleana e variabili
L'espressione booleana è un'espressione che produce un valore booleano quando valutata, ovvero produce un valore vero o un valore falso. Mentre le variabili booleane sono variabili che memorizzano numeri booleani.
P + Q = R è una frase booleana in cui P, Q e R sono variabili booleane che possono memorizzare solo due valori: 0 e 1. 0 e 1 sono sinonimi di falso e vero e sono usati nell'algebra booleana, a volte usiamo anche Sì al posto di Vero e No al posto di Falso.
Pertanto, possiamo dire che le istruzioni che utilizzano variabili booleane e operano su operazioni booleane sono espressioni booleane. Alcuni esempi di espressioni booleane sono,
- A + B = Vero
- AB = Vero
- (A)’ = Falso
Controllo: Assiomi dell'algebra booleana
Terminologie dell'algebra booleana
Esistono varie terminologie relative all'algebra booleana, che vengono utilizzate per spiegare vari parametri dell'algebra booleana Algebra booleana . Quello include,
leggi di equivalenza
- Algebra booleana
- Variabili booleane
- Funzione booleana
- Letterale
- Complemento
- Tavola della verità
Ora discuteremo le importanti terminologie dell'algebra booleana nell'articolo seguente,
Algebra booleana
Il ramo dell'algebra che si occupa delle operazioni binarie o operazioni logiche è chiamato algebra booleana. È stato introdotto da George Boole a metà del XIX secolo. Viene utilizzato per analizzare e manipolare funzioni logiche in variabili binarie. È ampiamente utilizzato in vari campi come la progettazione logica digitale, l'informatica e le telecomunicazioni.
Variabili booleane
Le variabili utilizzate nell'algebra booleana che memorizzano il valore logico di 0 e 1 sono chiamate variabili booleane. Vengono utilizzati per memorizzare valori veri o falsi. Le variabili booleane sono fondamentali nel rappresentare stati logici o proposizioni in espressioni e funzioni booleane.
Funzione booleana
Una funzione dell'algebra booleana che è formata dall'uso di variabili booleane e operatori booleani è chiamata funzione booleana. È formato combinando variabili booleane ed espressioni logiche come AND, OR e NOT. Viene utilizzato per modellare relazioni, condizioni o operazioni logiche.
Letterale
Una variabile o il complemento della variabile nell'algebra booleana è chiamata Letterale. I letterali sono gli elementi costitutivi di base delle espressioni e delle funzioni booleane. Rappresentano gli operandi nelle operazioni logiche.
Complemento
L'inverso della variabile booleana è chiamato complemento della variabile. Il complemento di 0 è 1 e il complemento di 1 è 0. È rappresentato da ‘ o (¬) sopra la variabile. I complementi vengono utilizzati per rappresentare negazioni logiche nelle espressioni e funzioni booleane.
Tavola della verità
La tabella contenente tutti i possibili valori delle variabili logiche e la combinazione della variabile con l'operazione data è chiamata tabella della verità. Il numero di righe nella tabella della verità dipende dal totale delle variabili booleane utilizzate in quella funzione. È dato utilizzando la formula,
Numero di righe nella tabella della verità = 2 N
dove n è il numero di variabili booleane utilizzate.
Controllo:
- Insiemistica
- Statistiche
Tabelle di verità nell'algebra booleana
Una tabella della verità rappresenta tutte le combinazioni di valori di input e output in modo tabellare. In essa vengono mostrate tutte le possibilità dell'input e dell'output e da qui il nome tabella di verità. Nei problemi di logica, le tabelle di verità vengono comunemente utilizzate per rappresentare vari casi. T o 1 denota 'Vero' e F o 0 denota 'Falso' nella tabella della verità.
Esempio: traccia la tabella della verità delle condizioni A + B e A.B dove A e b sono variabili booleane.
Soluzione:
La tabella della verità richiesta è:
| UN | B | X = A+B | Y = AB |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
| F | F | F | F |
Regole dell'algebra booleana
Nell'algebra booleana esistono diverse regole fondamentali per l'espressione logica.
- Rappresentazione binaria: Nell'algebra booleana le variabili possono avere solo due valori, 0 o 1, dove 0 rappresenta basso e 1 rappresenta alto. Queste variabili rappresentano gli stati logici del sistema.
- Rappresentazione del complemento: Il complemento delle variabili è rappresentato da (¬) o (') sopra la variabile. Ciò indica la negazione logica o l’inversione del valore della variabile. Quindi il complemento della variabile A può essere rappresentato da
overline{A} ,se il valore di A=0 allora il suo complemento è 1. - Operazione OR: L'operazione OR è rappresentata da (+) tra le variabili. L'operazione OR restituisce vero se almeno uno degli operandi è vero. Per esempi prendiamo tre variabili A,B,C l'operazione OR può essere rappresentata come A+B+C.
- Operazione AND: L'operazione AND è indicata da (.) tra le variabili. L'operazione AND restituisce vero solo se tutti gli operandi sono veri. Ad esempio, prendiamo tre variabili A, B, C, l'operazione AND può essere rappresentata A.B.C o ABC.
Leggi dell'algebra booleana
Le leggi fondamentali dell'algebra booleana sono aggiunte nella tabella aggiunta di seguito,
| Legge | Modulo O | E modulo |
|---|---|---|
| Legge sull'identità | P+0 = P | P.1 = P |
| Legge idempotente | P + P = P | P.P = P |
| Diritto commutativo | P + Q = Q + P | P.Q = Q.P |
| Diritto associativo | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q).R |
| Diritto distributivo | P + QR = (P + Q).(P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
| Legge di inversione | (A’)’ = A | (A’)’ = A |
| Dalla legge di Morgan | (P + Q)’ = (P)’.(Q)’ | (P.Q)’ = (P)’ + (Q)’ |
Impariamo a conoscere queste leggi in dettaglio.
Legge sull'identità
Nell'algebra booleana, abbiamo elementi identità sia per le operazioni AND(.) che OR(+). La legge di identità afferma che nell'algebra booleana abbiamo variabili tali che operando con le operazioni AND e OR otteniamo lo stesso risultato, cioè
- A + 0 = A
- A.1 = A
Diritto commutativo
Le variabili binarie nell'algebra booleana seguono la legge commutativa. Questa legge afferma che l'operazione delle variabili booleane A e B è simile all'operazione delle variabili booleane B e A. Cioè,
- A.B = B.A
- A + B = B + A
Diritto associativo
La legge associativa afferma che l'ordine di esecuzione degli operatori booleani è illogico poiché il loro risultato è sempre lo stesso. Questo può essere inteso come,
- (A.B). C = UN. ( AVANTI CRISTO )
- ( UN + B ) + C = UN + ( B + C)
Diritto distributivo
Anche le variabili booleane seguono la legge distributiva e l'espressione per la legge distributiva è data come:
- UN . ( B + C) = (A. B) + (A. C)
Legge di inversione
La legge dell'inversione è l'unica legge dell'algebra booleana, questa legge afferma che il complemento del complemento di qualsiasi numero è il numero stesso.
- (A’)’ = A
Oltre a queste altre leggi sono menzionate di seguito:
E Legge
La legge AND dell'algebra booleana utilizza l'operatore AND e la legge AND è,
- UN . 0 = 0
- UN . 1 =A
- UN . A = A
O Legge
La legge OR dell'algebra booleana utilizza l'operatore OR e la legge OR è:
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
Vengono chiamate anche le Leggi di De Morgan Dal teorema di Morgan . Sono le leggi più importanti in Algebra booleana e questi vengono aggiunti di seguito sotto il titolo Teorema dell'Algebra Booleana
Teoremi dell'algebra booleana
Ci sono due teoremi fondamentali di grande importanza nell'algebra booleana, che sono le prime leggi di De Morgan e le seconde leggi di De Morgan. Questi sono anche chiamati Teoremi di De Morgan. Ora impariamo a conoscerli entrambi in dettaglio.
Le prime leggi di De Morgan
La tabella di verità per lo stesso è riportata di seguito:
| P | Q | (P)' | (Q)' | (P.Q)’ | (P)’ + (Q)’ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Possiamo vedere chiaramente che i valori di verità per (P.Q)’ sono uguali ai valori di verità per (P)’ + (Q)’, corrispondenti allo stesso input. Pertanto, la Prima Legge di De Morgan è vera.
Dalle seconde leggi di Morgan
Dichiarazione: Il complemento della somma (OR) di due variabili booleane (o espressioni) è uguale al prodotto (AND) del complemento di ciascuna variabile booleana (o espressione).
(P + Q)’ = (P)’.(Q)’
Prova:
La tabella di verità per lo stesso è riportata di seguito:
| P | Q | (P)' | (Q)' | (P + Q)’ | (P)’.(Q)’ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Possiamo vedere chiaramente che i valori di verità per (P + Q)’ sono uguali ai valori di verità per (P)’.(Q)’, corrispondenti allo stesso input. Pertanto, la Seconda Legge di De Morgan è vera.
Per saperne di più,
variabile globale JavaScript
Esempi risolti di algebra booleana
Disegna la tabella della verità per P + P.Q = P
Soluzione:
La tavola della verità per P + P.Q = P
P Q P.Q P + P.Q T T T T T F F T F T F F F F F F Nella tabella di verità, possiamo vedere che i valori di verità per P + P.Q sono esattamente gli stessi di P.
Disegna la tabella della verità per P.Q + P + Q
Soluzione:
La tavola della verità per P.Q + P + Q
P Q P.Q P.Q + P + Q T T T T T F F T F T F T F F F F
Risolvere
Soluzione:
Utilizzando la legge di De Morgan
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) Utilizzando il diritto distributivo
ordinamento dell'heap
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C Quindi, l'espressione semplificata per l'equazione data
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
Conclusione
L'algebra booleana funge da struttura fondamentale per rappresentare e manipolare espressioni logiche utilizzando variabili binarie e operatori logici. Svolge un ruolo cruciale in vari campi come la progettazione della logica digitale, la programmazione dei computer e l'analisi dei circuiti. Fornendo un modo sistematico per descrivere e analizzare le relazioni logiche, l'algebra booleana consente lo sviluppo di sistemi e algoritmi complessi. I suoi principi e le sue operazioni, inclusi AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR e XNOR, costituiscono gli elementi costitutivi per la progettazione di circuiti logici, la scrittura di codice efficiente e la risoluzione di problemi logici.
Algebra booleana: domande frequenti
Cos'è l'algebra booleana?
Chiamata anche Algebra Booleana Algebra logica è una branca della matematica che si occupa di variabili booleane come 0 e 1.
Cosa sono i principali operatori booleani?
Esistono tre principali operatori booleani che sono:
- AND (Congiunzione)
- OR (disgiunzione)
- NON (negazione)
Come ridurre al minimo la funzione booleana?
Esistono diversi metodi per ridurre al minimo le funzioni booleane, tra cui:
- Semplificazione algebrica:
- Mappe Karnaugh (K-Mappe):
- Algoritmo di Quine-McCluskey:
- Metodo di tabulazione:
- Condizioni di non cura:
Quali sono le applicazioni dell'algebra booleana?
Algebra booleana ha varie applicazioni. Viene utilizzato per semplificare i circuiti logici che costituiscono la spina dorsale della tecnologia moderna.
Cosa rappresenta lo 0 nell'algebra booleana?
Lo 0 pollici Algebra booleana rappresentare una condizione Falsa oppure rappresentare la condizione di Spegnimento.
Cosa rappresenta 1 nell'algebra booleana?
Il 1 pollice Algebra booleana rappresentare una condizione True o rappresentare la condizione di accensione.
Cosa sono le leggi dell'algebra booleana?
Le leggi dell'algebra booleana sono regole per manipolare espressioni logiche con variabili binarie, garantendo coerenza e semplificazione in operazioni come addizione, moltiplicazione e complementazione, cruciali in campi come l'elettronica digitale e l'informatica.
Quali sono le 5 leggi dell'algebra booleana?
Algebra booleana è governato da cinque leggi primarie, che servono come base per manipolare le espressioni logiche:
1. Legge sull'identità per AND
2. Legge sull'identità per OR
3. Legge complementare per AND
4. Legge complementare per OR
5. Legge idempotente
Quali sono le 3 leggi della logica booleana?
Le tre leggi fondamentali della logica booleana sono
- La legge sull'identità (aggiungendo zero o moltiplicando per uno si mantiene la variabile invariata)
- La legge della dominazione (aggiungendo una variabile al suo complemento si ottiene 1 e moltiplicandola per il suo complemento si ottiene 0)
- La legge commutativa (l'ordine delle variabili può essere invertito tramite addizione o moltiplicazione senza modificare il risultato).
Qual è il teorema di De Morgan?
Lo afferma il teorema di De Morgan t il complemento di un'operazione logica AND equivale all'operazione OR dei complementi dei singoli termini, e viceversa. È un principio fondamentale dell'algebra booleana utilizzato per semplificare le espressioni logiche e ottimizzare i circuiti logici.