Supponiamo che ci siano due affermazioni composte, X e Y, che saranno conosciute come equivalenza logica se e solo se la tabella di verità di entrambe contiene gli stessi valori di verità nelle rispettive colonne. Con l'aiuto del simbolo = o ⇔ possiamo rappresentare l'equivalenza logica. Quindi X = Y oppure X ⇔ Y sarà l'equivalenza logica di queste affermazioni.
Con l'aiuto della definizione di equivalenza logica, abbiamo chiarito che se gli enunciati composti X e Y sono equivalenza logica, in questo caso X ⇔ Y deve essere Tautologia.
Leggi di equivalenza logica
In questa legge utilizzeremo i simboli 'AND' e 'OR' per spiegare la legge dell'equivalenza logica. Qui AND è indicato con l'aiuto del simbolo ∧ e OR è indicato con l'aiuto del simbolo ∨. Esistono varie leggi di equivalenza logica, descritte come segue:
Legge idempotente:
Nella legge idempotente utilizziamo una sola affermazione. Secondo questa legge, se combiniamo due stesse affermazioni con i simboli ∧(e) e ∨(o), allora l'affermazione risultante sarà l'affermazione stessa. Supponiamo che esista un'affermazione composta P. Per indicare la legge idempotente viene utilizzata la seguente notazione:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
La tavola di verità di questa legge è descritta come segue:
| P | P | P∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne P, P ∨ P e P ∧ P.
Quindi possiamo dire che P ∨ P = P e P ∧ P = P.
Leggi commutative:
Le due affermazioni servono per dimostrare la legge commutativa. Secondo questa legge, se combiniamo due affermazioni con il simbolo ∧(e) o ∨(o), l'affermazione risultante sarà la stessa anche se cambiamo la posizione delle affermazioni. Supponiamo che ci siano due affermazioni, P e Q. La proposizione di queste affermazioni sarà falsa quando entrambe le affermazioni P e Q sono false. In tutti gli altri casi sarà vero. Per indicare la legge commutativa si usa la seguente notazione:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
La tavola di verità per queste notazioni è descritta come segue:
| P | Q | P∨Q | Q∨P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne P ∨ Q e Q ∨ P.
Quindi possiamo dire che P ∨ Q ? Q∨P.
Lo stesso che possiamo dimostrare P ∧ Q ? Q ∧ P.
Diritto associativo:
Le tre affermazioni servono per mostrare la legge associativa. Secondo questa legge, se combiniamo tre affermazioni con l'aiuto di parentesi con il simbolo ∧(e) o ∨(o), l'affermazione risultante sarà la stessa anche se cambiamo l'ordine delle parentesi. Ciò significa che questa legge è indipendente dal raggruppamento o dall'associazione. Supponiamo che ci siano tre affermazioni P, Q e R. La proposizione di queste affermazioni sarà falsa quando P, Q e R sono false. In tutti gli altri casi sarà vero. Per indicare il diritto associativo si usa la seguente notazione:
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P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
La tavola di verità per queste notazioni è descritta come segue:
| P | Q | R | P∨Q | Q∨R | (P∨Q)∨R | P∨ (Q∨R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne P ∨ (Q ∨ R) e (P ∨ Q) ∨ R.
Quindi possiamo dire che P ∨ (Q ∨ R) ? (P∨Q)∨R.
Lo stesso che possiamo dimostrare P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Diritto distributivo:
Le tre affermazioni vengono utilizzate per mostrare la legge distributiva. Secondo questa legge, se combiniamo un'affermazione con il simbolo ∨(OR) con le altre due affermazioni unite con il simbolo ∧(AND), allora l'affermazione risultante sarà la stessa anche se combiniamo separatamente le affermazioni con il simbolo ∨(OR) e combinando le istruzioni unite con ∧(AND). Supponiamo che ci siano tre enunciati P, Q e R. Per indicare la legge distributiva viene utilizzata la seguente notazione:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
strsep
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
La tavola di verità per queste notazioni è descritta come segue:
| P | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q∧R) | P∨Q | P∨R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne di P ∨ (Q ∧ R) e (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Quindi possiamo dire che P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Lo stesso che possiamo dimostrare P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Legge sull'identità:
Una singola istruzione viene utilizzata per mostrare la legge sull'identità. Secondo questa legge, se combiniamo un'affermazione e un valore True con il simbolo ∨(or), genererà il valore True. Se combiniamo un'affermazione e un valore False con il simbolo ∧(and), genererà l'affermazione stessa. Allo stesso modo, lo faremo con i simboli opposti. Ciò significa che se combiniamo un'affermazione e un valore True con il simbolo ∧(and), allora genererà l'affermazione stessa, e se combiniamo un'affermazione e un valore False con il simbolo ∨(or), allora genererà il Falso valore. Supponiamo che esista un'affermazione composta P, un valore vero T e un valore falso F. Per indicare la legge di identità viene utilizzata la seguente notazione:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
La tavola di verità per queste notazioni è descritta come segue:
| P | T | F | P∨T | P∨F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne di P ∨ T e T. Quindi, possiamo dire che P ∨ T = T. Allo stesso modo, questa tabella contiene anche gli stessi valori di verità nelle colonne di P ∨ F e P. Quindi possiamo dire che P ∨ F = P.
Lo stesso che possiamo dimostrare P ∧ T ? P e P ∧ F ? F
Legge complementare:
Nella legge complementare viene utilizzata una dichiarazione unica. Secondo questa legge, se combiniamo un'affermazione con il suo complemento con il simbolo ∨(o), allora genererà il valore Vero, e se combiniamo queste affermazioni con il simbolo ∧(e), allora genererà il valore Falso valore. Se neghiamo un valore vero, genererà un valore falso, mentre se neghiamo un valore falso, genererà il valore vero.
Per indicare la legge complementare si usa la seguente notazione:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
La tavola di verità per queste notazioni è descritta come segue:
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| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P∨ ¬P | P∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne di P ∨ ¬P e T. Quindi, possiamo dire che P ∨ ¬P = T. Allo stesso modo, anche questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne di P ∧ ¬P e F. Quindi possiamo dire che P ∧ ¬P = F.
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne di ¬T e F. Quindi, possiamo dire che ¬T = F. Allo stesso modo, questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne di ¬F e T. Quindi possiamo dire che ¬F = T.
Legge della Doppia Negazione o Legge dell’Involuzione
Una singola istruzione viene utilizzata per mostrare la legge della doppia negazione. Secondo questa legge, se neghiamo un enunciato negato, l'enunciato risultante sarà l'enunciato stesso. Supponiamo che esista un'affermazione P e un'affermazione negativa ¬P. Per indicare la legge della doppia negazione viene utilizzata la seguente notazione:
¬(¬P) ? P
La tavola di verità per queste notazioni è descritta come segue:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne ¬(¬P) e P. Quindi possiamo dire che ¬(¬P) = P.
Dalla legge di Morgan:
Le due affermazioni vengono utilizzate per mostrare la legge di De Morgan. Secondo questa legge, se combiniamo due affermazioni con il simbolo ∧(AND) e poi neghiamo queste affermazioni combinate, allora l'affermazione risultante sarà la stessa anche se combiniamo la negazione di entrambe le affermazioni separatamente con il simbolo ∨( O). Supponiamo che ci siano due affermazioni composte, P e Q. Per indicare la Legge di De Morgan viene utilizzata la seguente notazione:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
La tavola di verità per queste notazioni è descritta come segue:
| P | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P∧Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne di ¬(P ∧ Q) e ¬ P ∨ ¬Q. Quindi possiamo dire che ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Lo stesso che possiamo dimostrare ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Legge di assorbimento:
Le due affermazioni vengono utilizzate per mostrare la legge di assorbimento. Secondo questa legge, se combiniamo un'affermazione P mediante il simbolo ∨(OR) con la stessa affermazione P e un'altra affermazione Q, unite con il simbolo ∧(AND), allora l'affermazione risultante sarà la prima affermazione P. Lo stesso risultato verrà generato se scambiamo i simboli. Supponiamo che ci siano due affermazioni composte, P e Q. Per indicare la Legge di Assorbimento viene utilizzata la seguente notazione:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
La tavola di verità per queste notazioni è descritta come segue:
| P | Q | P ∧ Q | P∨Q | P∨ (P∧Q) | P∧ (P∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne P ∨ (P ∧ Q) e P. Quindi possiamo dire che P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Allo stesso modo, anche questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne P ∧ (P ∨ Q) e P. Quindi possiamo dire che P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Esempi di equivalenza logica
Esistono vari esempi di equivalenza logica. Alcuni di essi sono descritti come segue:
Esempio 1: In questo esempio, stabiliremo la proprietà di equivalenza per un'istruzione, descritta come segue:
p→q? ¬p ∨ q
Soluzione:
Lo dimostreremo con l’aiuto di una tabella di verità, descritta come segue:
| P | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne p → q e ¬p ∨ q. Quindi possiamo dire che p → q ? ¬p ∨ q.
Esempio 2: In questo esempio, stabiliremo la proprietà di equivalenza per un'istruzione, descritta come segue:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Soluzione:
hashmap in Java
| P | Q | P→Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Questa tabella contiene gli stessi valori di verità nelle colonne P ↔ Q e (P → Q) ∧ (Q → P). Quindi possiamo dire che P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Esempio 3: In questo esempio, utilizzeremo la proprietà equivalente per dimostrare la seguente affermazione:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Soluzione:
Per dimostrarlo utilizzeremo alcune delle leggi sopra descritte e da questa legge avremo:
patrimonio netto di kat timpf
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Ora utilizzeremo la legge commutativa nell'equazione sopra e otterremo quanto segue:
? (p∨ q) ∧ (p∨ ¬q)
Ora utilizzeremo la legge distributiva in questa equazione e otterremo quanto segue:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Ora utilizzeremo la legge distributiva in questa equazione e otterremo quanto segue:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Ora utilizzeremo la legge del complemento in questa equazione e otterremo quanto segue:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Ora utilizzeremo la legge sull'identità e otterremo quanto segue:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Ora utilizzeremo la legge commutativa in questa equazione e otterremo quanto segue:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Infine, l’equazione (1) diventa la seguente:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Infine possiamo dire che l'equazione (1) diventa p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)