L'induzione matematica è un concetto matematico utilizzato per dimostrare varie affermazioni e teoremi matematici. Il principio di induzione matematica viene talvolta definito PMI. È una tecnica che serve per dimostrare i teoremi fondamentali della matematica che prevedono la soluzione fino a n termini naturali finiti.

Il principio di induzione matematica è ampiamente utilizzato per dimostrare varie affermazioni come la somma del primo N numeri naturali è dato dalla formula n(n+1)/2. Ciò può essere facilmente dimostrato utilizzando il Principio di Induzione Matematica.

In questo articolo impareremo a conoscere in dettaglio il principio di induzione matematica, la sua enunciazione, il suo esempio e altri.

Tabella dei contenuti

• Cos'è l'induzione matematica?
• Principio dell'induzione matematica
• Passaggi di induzione matematica
• Esempio di induzione matematica

Cos'è l'induzione matematica?

L'induzione matematica è uno dei metodi fondamentali per scrivere dimostrazioni e viene utilizzata per dimostrare una determinata affermazione su qualsiasi insieme ben organizzato. Generalmente, viene utilizzato per dimostrare risultati o stabilire affermazioni formulate in termini di N , dove n è un numero naturale.

Supponiamo che P(n) sia un'affermazione per n numero naturale, allora può essere dimostrato utilizzando il principio di induzione matematica. Innanzitutto dimostreremo per P(1), poi lasciamo che P(k) sia vero, quindi dimostreremo per P(k+1) . Se P(k+1) vale allora diciamo che P(n) è vero per il principio di induzione matematica.

Possiamo paragonare l'induzione matematica alla caduta delle tessere del domino. Quando una tessera del domino cade, abbatte la tessera successiva in successione. La prima tessera abbatte la seconda, la seconda abbatte la terza e così via. Alla fine, tutte le tessere del domino verranno travolte. Ma ci sono alcune condizioni da soddisfare:

• Il passo base è che la tessera del domino iniziale deve cadere per attivare il processo di bussare.
• La distanza tra le tessere deve essere uguale per due tessere adiacenti. Altrimenti una determinata tessera potrebbe cadere senza che venga lanciata la successiva. Quindi la sequenza di reazioni si fermerà. Mantenere l'eguale distanza inter-domino garantisce che P(k) ⇒ P(k + 1) per ogni intero k ≥ a. Questo è il passo induttivo.

Principio dell'induzione matematica

Qualsiasi affermazione P(n) che riguarda n numero naturale può essere dimostrata utilizzando il principio di induzione matematica seguendo i passaggi seguenti,

Passo 1: Verificare se l'affermazione è vera per casi banali ( n = 1) cioè controlla se P(1) è vero.

Passo 2: Supponiamo che l'affermazione sia vera per n = k per qualche k ≥ 1 cioè P(k) sia vera.

Passaggio 3: Se la verità di P(k) implica la verità di P(k + 1), allora l’affermazione P(n) è vera per tutti n ≥ 1 .

L'immagine aggiunta di seguito contiene tutti i passaggi dell'induzione matematica

La prima affermazione è il fatto e se non è possibile che tutti i P(n) siano veri per n = 1 allora queste affermazioni sono vere per alcuni altri valori di n, ad esempio n = 2, n = 3 e altri.

Se l'affermazione è vera per P(k) allora se P(k+1) è vera allora diciamo che P(n) è vera per tutti gli n appartenenti ai Numeri Naturali (N)

Passaggi di induzione matematica

Vari passaggi utilizzati nell'induzione matematica prendono il nome di conseguenza. I nomi dei vari passaggi utilizzati nel principio di induzione matematica sono:

• Passaggio base: Dimostrare che P(k) è vera per k =1
• Fase di presupposto: Sia P(k) vera per ogni k in N e k> 1
• Fase di induzione: Dimostrare che P(k+1) è vero utilizzando le proprietà matematiche di base.

Se i tre passaggi precedenti sono dimostrati allora possiamo dire che Per il principio di induzione matematica, P(n) è vero per tutti gli n appartenenti a N.

Esempio di induzione matematica

L'induzione matematica viene utilizzata per dimostrare varie affermazioni. Possiamo impararlo con l'aiuto del seguente esempio.

Per ogni numero intero positivo n, dimostrare che n³+ 2n è sempre divisibile per 3

Soluzione:

Sia P(n): n³+ 2n è divisibile per 3 sia l'affermazione data.

Passaggio 1: passaggio fondamentale

Innanzitutto dimostriamo che P(1) è vera. Sia n = 1 in n³+ 2n
= 1³+2(1)
= 3

Poiché 3 è divisibile per 3, quindi P(1) è vero.

Passaggio 2: passaggio di ipotesi

Supponiamo che P(k) sia vero

Quindi, k³+2k è divisibile per 3

Quindi possiamo scriverlo come k³+ 2k = 3n, (dove n è un qualsiasi numero intero positivo)….(i)

denominazione convenzioni Java

Fase 3: fasi di induzione

Ora dobbiamo dimostrare che l'espressione algebrica (k + 1)³+ 2(k + 1) è divisibile per 3

= (k + 1)³+ 2(k + 1)

=k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+2k) + (3k²+ 3k + 3)

dall'eq(i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n+k²+ k + 1)

Essendo un multiplo di 3 possiamo dire che è divisibile per 3.

Quindi P(k+1) è vero cioè (k + 1)³+ 2(k + 1) è divisibile per 3. Ora, per il principio di induzione matematica, possiamo dire che, P(n): n³+ 2n è divisibile per 3 è vero.

Per saperne di più,

• Progressione aritmetica
• Progressione geometrica

Esempi risolti sull'induzione matematica

Esempio 1: Per ogni n ≥ 1, dimostrare che, 1 ² +2 ² +3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Soluzione:

Sia l'affermazione data P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Ora, prendiamo un intero positivo, k, e assumiamo che P(k) sia vero, ovvero

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Ora dimostreremo che anche P(k + 1) è vero, quindi ora abbiamo,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Quindi P(k + 1) è vero ogni volta che P(k) è vero per tutti i numeri naturali. Quindi, attraverso il processo di induzione matematica, il risultato dato è vero per tutti i numeri naturali.

Esempio 2: Per ogni n ≥ 1, dimostrare che, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Soluzione:

Sia l'affermazione data S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Ora, prendiamo un intero positivo, k, e assumiamo che S(k) sia vero, ovvero

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Ora dimostreremo che anche S(k + 1) è vero, quindi ora abbiamo,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Quindi S(k + 1) è vero ogni volta che S(k) è vero per tutti i numeri naturali. E inizialmente abbiamo dimostrato che S(1) è vero, quindi S(n) è vero per tutti i numeri naturali.

Esempio 3: Per ogni n ≥ 1, dimostrare che, 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Soluzione:

Sia l'affermazione data S(n),

e S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Per n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Quindi S(1) è vera.

Ora, prendiamo un intero positivo, k, e assumiamo che S(k) sia vero, ovvero

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Ora dimostreremo che anche S(k + 1) è vero, quindi ora abbiamo,

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

S.S. = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+2k+1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ S.S. = D.S

Quindi S(k + 1) è vero ogni volta che S(k) è vero per tutti i numeri naturali. E inizialmente abbiamo dimostrato che S(1) è vero, quindi S(n) è vero per tutti i numeri naturali.

Esempio 4: Per ogni n ≥ 1, dimostrare che, 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

css per allineare le immagini

Soluzione:

Sia l'affermazione data S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Ora, prendiamo un intero positivo, k, e assumiamo che S(k) sia vero, ovvero

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Ora dimostreremo che anche S(k + 1) è vero, quindi ora abbiamo,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Quindi S(k + 1) è vero ogni volta che S(k) è vero per tutti i numeri naturali. E inizialmente abbiamo dimostrato che S(1) è vero, quindi S(n) è vero per tutti i numeri naturali.

Esempio 5: Dimostrare a _N = un ₁ + (n – 1) d, è il termine generale di qualsiasi sequenza aritmetica.

Soluzione:

Per n = 1, abbiamo a_N= un₁+ (1 – 1) d = a₁, quindi la formula è vera per n = 1,

Supponiamo che la formula a_K= un₁+ (k – 1) è vero per tutti i numeri naturali.

Ora dimostreremo che la formula è vera anche per k+1, quindi ora abbiamo,

UN_{k + 1}= un₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

Abbiamo ipotizzato che a_K= un₁+ (k – 1) d, e dalla definizione di successione aritmetica a_k+1- UN_K= d,

Poi un_{k + 1}- UN_K

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1) d)
= un₁- UN₁+ kd – kd + d
= d

Quindi la formula è vera per k + 1 ogni volta che è vera per k. E inizialmente abbiamo dimostrato che la formula è vera per n = 1. Quindi la formula è vera per tutti i numeri naturali.

Domande frequenti sull'induzione matematica

Cos'è il principio di induzione matematica?

Il principio di induzione matematica è un principio che dice che per qualsiasi affermazione P(n) se è vero per qualsiasi valore arbitrario 'a' se P(a) è vero e se assumiamo che P(k) sia vero allora dimostrando P( k+1) sia vero possiamo dimostrare che P(n) è vero per tutti gli n ≥ a, en appartenenti ai numeri naturali.

Qual è l'uso dell'induzione matematica?

L'induzione matematica è il principio di base utilizzato in matematica per dimostrare le affermazioni di base in matematica che non possono essere facilmente dimostrate con altri mezzi.

Qual è il principio di induzione matematica nelle matrici?

Il principio di induzione matematica nelle matrici è un principio base che viene utilizzato per dimostrare le affermazioni di base nelle matrici che non sono facilmente dimostrabili con altri mezzi.

Come applicare il principio di induzione matematica?

Il principio di induzione matematica viene utilizzato per dimostrare affermazioni matematiche. Supponiamo di dover dimostrare un'affermazione P(n), quindi i passaggi applicati sono:

Passo 1: Dimostrare che P(k) è vera per k =1

Passo 2: Sia P(k) vera per ogni k in N e k> 1

Passaggio 3: Dimostrare che P(k+1) è vero utilizzando le proprietà matematiche di base.

Quindi, se P(k+1) è vero allora diciamo che P(n) è vero.

Quali sono i passaggi per risolvere un problema utilizzando l'induzione matematica?

I tre passaggi fondamentali utilizzati nell'induzione matematica sono:

• Passo Base
• Passo dell'Assunzione
• Fase di induzione