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Formule di integrazione

Formule di integrazione sono le formule di base utilizzate per risolvere vari problemi integrali. Vengono utilizzati per trovare l'integrazione di espressioni algebriche, rapporti trigonometrici, funzioni trigonometriche inverse e funzioni logaritmiche ed esponenziali. Queste formule di integrazione sono molto utili per trovare l'integrazione di varie funzioni.

L’integrazione è il processo inverso della differenziazione, cioè se d/dx (y) = z, allora ∫zdx = y. L'integrazione di qualsiasi curva fornisce l'area sotto la curva. Troviamo l'integrazione con due metodi Integrazione indefinita e Integrazione definita. Nell'integrazione indefinita non vi è alcun limite all'integrazione mentre nell'integrazione definita esiste un limite sotto il quale la funzione è integrata.



Impariamo a conoscerli formule integrali, e il loro classificazione, in dettaglio in questo articolo.

Tabella dei contenuti

Calcolo integrale

Calcolo integrale è una branca del calcolo infinitesimale che si occupa della teoria e delle applicazioni degli integrali. Il processo per trovare gli integrali è chiamato integrazione. Il calcolo integrale aiuta a trovare le anti-derivate di una funzione. Le antiderivate sono anche chiamate integrali di una funzione. È indicato con ∫f(x)dx. Il calcolo integrale si occupa del valore totale, come lunghezze, aree e volumi. L'integrale può essere utilizzato per trovare soluzioni approssimate a determinate equazioni di dati forniti. Il calcolo integrale prevede due tipi di integrazione:



  • Indefinito Integrali
  • Integrali definiti

Cosa sono le formule di integrazione?

Le formule di integrazione sono state presentate in generale come i seguenti insiemi di formule. Le formule includono formule di integrazione di base, integrazione di rapporti trigonometrici, funzioni trigonometriche inverse, prodotto di funzioni e alcuni set avanzati di formule di integrazione. L’integrazione è un modo di unire le parti per trovare il tutto. È l’operazione inversa della differenziazione. Quindi la formula di integrazione di base è

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Formule di integrazione



Utilizzando ciò, si derivano le seguenti formule di integrazione.

Le varie formule del calcolo integrale sono

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫xNdx= frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logÈ|x| +C
  4. ∫eXdx = eX+C
  5. ∫aXdx = (aX/ tronco d'alberoÈa)+C

Inoltre, le formule integrali sono discusse di seguito nell'articolo,

Nota:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , dove k è costante
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Formule di integrazione di base

Di seguito vengono discusse alcune delle formule di integrazione di base utilizzate per risolvere i problemi di integrazione. Derivano dal teorema fondamentale dell'integrazione. L'elenco delle formule integrali di base è riportato di seguito:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫xNdx = x(n+1)/(n+1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| +C
  • ∫ eXdx = eX+C
  • ∫ aXdx = aX/log a+ C
  • ∫ eX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {dove, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Classificazione delle formule integrali

Le formule integrali sono classificate in varie categorie in base alla seguente funzione.

  • Funzioni razionali
  • Funzioni irrazionali
  • Funzioni iperboliche
  • Funzioni iperboliche inverse
  • Funzioni trigonometriche
  • Funzioni trigonometriche inverse
  • Funzioni esponenziali
  • Funzioni logaritmiche

Formule di integrazione di funzioni trigonometriche

Le formule di integrazione delle funzioni trigonometriche vengono utilizzate per risolvere le equazioni integrali che coinvolgono le funzioni trigonometriche. Di seguito è riportato un elenco di formule integrali che coinvolgono funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sec2x dx = marrone chiaro x + C
  • ∫ cosec2x dx = -culla x + C
  • ∫ sec x tan x dx = sec x + C
  • ∫ cosec x lettino x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sec x| +C
  • ∫ lettino x dx = ceppo |peccato x| +C
  • ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| +C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – cot x| +C

Formule di integrazione delle funzioni trigonometriche inverse

Di seguito sono fornite varie formule di integrazione delle funzioni trigonometriche inverse utilizzate per risolvere domande integrali,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = peccato-1x+C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x+C
  • ∫1/(1 + x2) dx = abbronzatura-1x+C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = lettino-1x+C
  • ∫1/x√(x2– 1) dx = sec-1x+C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x+C

Formule di integrazione avanzate

Alcune altre formule di integrazione avanzate che sono di grande importanza per la risoluzione degli integrali sono discusse di seguito,

  • ∫1/(x2- UN2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2- X2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| +C
  • ∫1/(x2+a2) dx = 1/a abbronzatura-1x/a+C
  • ∫1/√(x2- UN2)dx = log |x +√(x2- UN2)| +C
  • ∫ √(x2- UN2) dx = x/2 √(x2- UN2) -UN2/2 log |x + √(x2- UN2)| +C
  • ∫1/√(a2- X2) dx = peccato-1x/a+C
  • ∫√(a2- X2) dx = x/2 √(a2- X2) dx + a2/2 senza-1x/a+C
  • ∫1/√(x2+a2) dx = log |x + √(x2+a2)| +C
  • ∫ √(x2+a2) dx = x/2 √(x2+a2)+a2/2 log |x + √(x2+a2)| +C

Diverse formule di integrazione

Vari tipi di metodi di integrazione vengono utilizzati per risolvere diversi tipi di domande integrali. Ciascun metodo è un risultato standard e può essere considerato una formula. Alcuni dei metodi importanti sono discussi di seguito in questo articolo. Controlliamo i tre importanti metodi di integrazione.

  • Formula di integrazione per parti
  • Integrazione mediante formula di sostituzione
  • Formula di integrazione mediante frazioni parziali

Formula di integrazione per parti

Integrazione per parti La formula viene applicata quando la funzione data può essere facilmente descritta come il prodotto di due funzioni. Di seguito è riportata la formula di integrazione per parti utilizzata in matematica,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Esempio: Calcola ∫ xe X dx

Soluzione:

∫ macchinaXdx è della forma ∫ f(x) g(x) dx

sia f(x) = x e g(x) = eX

sappiamo che, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ macchinaXdx = x∫eXdx – ∫( 1 ∫eXdx) dx+ c

= macchinaX- ÈX+c

Integrazione mediante formula di sostituzione

Integrazione mediante formula di sostituzione viene applicato quando una funzione è una funzione di un'altra funzione. cioè sia I = ∫ f(x) dx, dove x = g(t) tale che dx/dt = g'(t), allora dx = g'(t)dt

Ora, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Esempio: Valuta ∫ (4x +3) 3 dx

Soluzione:

Sia u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

b più albero

= 1/4 ∫(u)3Di

= 1/4. In4/5

= u4/venti

= 4x ​​+3)4/venti

Formula di integrazione mediante frazioni parziali

Integrazione per frazioni parziali La formula viene utilizzata quando è richiesto l'integrale di P(x)/Q(x) e P(x)/Q(x) è una frazione impropria, tale che il grado di P(x) è inferiore a (<) grado di Q(x), allora la frazione P(x)/Q(x) viene scritta come

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/Q(x)

Dove

  • R(x) è un polinomio in x
  • P 1 (x)/Q(x) è una funzione razionale propria

Ora l'integrazione di R(x) + P1(x)/ Q(x) si calcola facilmente utilizzando le formule discusse sopra.

Applicazione degli integrali

Le formule integrali sono formule molto utili in matematica che vengono utilizzate per una varietà di compiti. Vari applicazioni degli integrali include:

  • Trovare la lunghezza della curva
  • Trovare l'area sotto la curva
  • Trovare i valori approssimati della funzione
  • Determinare il percorso di un oggetto e di altri
  • Per trovare l'area sotto la curva
  • Trovare la superficie e il volume delle forme irregolari
  • Per trovare il centro di massa o il baricentro

Queste formule sono fondamentalmente classificate in due categorie,

  • Formule di integrazione definita
  • Formule di integrazione indefinita

Formula di integrazione definita

Le formule integrali definite vengono utilizzate quando viene fornito il limite dell'integrazione. Nell'integrazione definita, la soluzione alla domanda è un valore costante. Generalmente, l'integrazione definita è risolta come,

∫ UN B f(x) dx = F(b) – F(a)

Formula di integrazione indefinita

Le formule di integrazione indefinita vengono utilizzate per risolvere l'integrazione indefinita quando il limite di integrazione non è dato. Nell'integrazione indefinita, usiamo la costante dell'integrazione che è generalmente indicata con C

∫f(x) = F(x) + C

  • Integrali indefiniti
  • Definire le proprietà integrali
  • Integrazione di funzioni trigonometriche

Esempi di formule integrali

Esempio 1: valutare

  • ∫x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 X dx
  • ∫4e X dx
  • ∫(seno x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/peccato 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Soluzione:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/3)+C

= -(1/3x3)+C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

=x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3)+C

(iv) ∫3 X dx

= (3X/ tronco d'alberoÈ3)+C [∫a X dx = (a X / tronco d'albero È a) + C]

(v) ∫4e X dx

= 4∫eXdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , dove k è costante]

= 4 eX+C [∫e X dx = e X +C]

(vi) ∫(sen x/cos 2 x) dx

= ∫[(sen x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sec x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= secondo x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫cosec2x dx [∫cosec 2 x dx = -culla x + C ]

= -lettino x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22- X2)] dx [lo sappiamo, dx = peccato -1 (x/a) + C]

= senza-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [lo sappiamo,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sec-1(x/a) + C]

= (1/3)sec-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ peccato x) dx

= ∫cosec x dx [sappiamo che, ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – lettino x| +C

Esempio 2: Valuta ∫{e 9log È X + e 8log È X }/{È 6log È X + e 5log È X } dx

Soluzione:

Da, È tremante È X =x UN

∫{e 9log È X + e 8log È X }/{È 6log È X + e 5log È X } dx

= ∫{x9+X8}/{X6+X5} dx

= ∫[x8(x+1)]/[x5(x+1)] dx

=∫x8/X5dx

= ∫x3dx [lo sappiamo, ∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x4/4)+C

Esempio 3: Valuta ∫ sin x + cos x dx

Soluzione:

∫(seno x + cos x) dx

= ∫sen x dx + ∫cos x dx [sappiamo che, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + peccato x + C [sappiamo che, ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C]

Esempio 4: Valuta ∫4 x+2 dx

Soluzione:

∫4 x+2 dx = ∫4X. 42dx

= ∫16. 4Xdx [ sappiamo che ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , dove k è costante]

= 16∫4Xdx [∫a X dx = (a X / tronco d'albero È a) + C]

= 16(4X/log4) + C

Esempio 5: Valuta ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Soluzione:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫x0dx [Lo sappiamo, ∫x N dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1]+C

= [x3/3] + 3[x2/2]+x+C

Esempio 6: Calcola ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Soluzione:

1+cos2x = 2cos 2 X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 secondi2xdx

= 2∫sec2x dx [Lo sappiamo, ∫sec 2 x dx = marrone chiaro x + C]

= 2 tan x + C

Esempio 7: Valuta ∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x) dx

Soluzione:

∫(3cos x – 4sen x + 5 sec 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sen x dx + ∫5sec2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, dove k è costante]

= 3∫cos x dx – 4∫sen x dx + 5∫sec2x dx

= 3sen x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3 sin x + 4 cos x + 5 tan x + C

Problemi pratici sulle formule di integrazione

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Domande frequenti sulle formule di integrazione

Cosa sono tutte le formule di integrazione?

Le formule di integrazione sono le formule utilizzate per risolvere vari problemi di integrazione,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫xNdx = x(n+1)/(n+1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| +C
  • ∫ eXdx = eX+C
  • ∫ aXdx = aX/log a+ C
  • ∫ eX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {dove, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Quali sono le formule di integrazione di uv?

La formula di integrazione di uv è,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Cosa significa integrazione in matematica?

Se la derivata della funzione g(x) è f(x) allora l'integrazione di f(x) è g(x) cioè ∫f(x)dx = g(x). L'integrazione è rappresentata dal simbolo ∫

Come integriamo utilizzando le formule di integrazione?

L'integrazione può essere ottenuta utilizzando le formule,

  • Definire una piccola parte di un oggetto in determinate dimensioni che aggiungendo infinite volte forma l'oggetto completo.
  • Utilizzando le formule di integrazione su quella piccola parte lungo le diverse dimensioni otteniamo l'oggetto completo.

Qual è la formula integrale per parte?

La formula integrale per parte viene utilizzata per risolvere l'integrale in cui è data la frazione impropria.

Qual è l'uso delle formule di integrazione?

Le formule di integrazione vengono utilizzate per risolvere vari problemi integrali. Vari problemi che incontriamo nella nostra vita quotidiana possono essere facilmente risolti con l'aiuto dell'integrazione, come trovare il centro di massa di qualsiasi oggetto, trovare la traiettoria di missili, razzi, aerei e altri.