Integrazione è il processo di sommare piccoli valori di una funzione nella regione dei limiti. È esattamente l’opposto della differenziazione. L'integrazione è anche conosciuta come anti-derivativa. Abbiamo spiegato l'integrazione delle funzioni trigonometriche in questo articolo qui sotto.

Di seguito è riportato un esempio di integrazione di una determinata funzione.

per esempio., Consideriamo una funzione f(y) = y².

Questa funzione può essere integrata come:

∫y²tu =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Tuttavia, un integrale indefinito è una funzione che prende l'antiderivata di un'altra funzione. È rappresentato come un simbolo integrale (∫), una funzione e una derivata della funzione alla fine. L'integrale indefinito è un modo più semplice per simboleggiare un'anti-derivata.

Impariamo cos’è matematicamente l’integrazione, l’integrazione di una funzione f(x) è data da F(x) ed è rappresentata da:

∫f(x)dx = F(x) + C

Qui R.H.S. dell'equazione significa integrale di f(x) rispetto a x, F(x) è detto antiderivata o primitiva, f(x) è detto integrando, dx è detto agente integrante, C è detto costante di integrazione o costante arbitraria e x è la variabile di integrazione.

Alcuni importanti integrali delle funzioni trigonometriche

Di seguito è riportato l'elenco di alcune importanti formule di integrali indefiniti di base funzioni trigonometriche da ricordare come segue:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec²x dx = marrone chiaro x + C
• ∫ cosec²x dx = -culla x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ cosec x lettino x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | secondo x | +C
• ∫ lettino x dx = ln | peccato x | +C
• ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | +C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – lettino x | +C

Dove dx è la derivata di x, C è la costante di integrazione e ln rappresenta la logaritmo della funzione all'interno del modulo (| |).

Generalmente, i problemi degli integrali indefiniti basati su funzioni trigonometriche vengono risolti con il metodo di sostituzione. Quindi discutiamo di più sul metodo di integrazione per sostituzione come segue:

Integrazione per sostituzione

In questo metodo di integrazione per sostituzione , ogni dato integrale si trasforma in una forma semplice di integrale sostituendo la variabile indipendente con altre. Consideriamo un esempio per una migliore comprensione.

Esempio: Semplifica ∫ 3x ² peccato (x ³ ) dx.

Risposta:

Sia I = ∫ 3x²peccato (x³) dx.

Per valutare l'integrale dato, sostituiamo qualsiasi variabile con una nuova variabile come:

Sia x³essere t per l'integrale dato.

Quindi dt = 3x²dx

Perciò,

io = ∫ 3x²peccato (x³) dx = ∫ peccato (x³) (3x²dx)

Ora sostituisci x con t³e dt per 3x²dx nell'integrale sopra.

I = ∫ peccato (t) (dt)

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Poiché ∫ sin x dx = -cos x + C, quindi

I = -cos t + C

Ancora una volta, sostituisci x³per t nell'espressione come:

io = ∫ 3x ² peccato (x ³ ) dx = -cos x ³ +C

Qual è l'integrale richiesto.

Pertanto, la forma generale di integrazione per sostituzione è:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

Dove t = g(x)

Solitamente il metodo dell'integrazione per sostituzione è estremamente utile quando si effettua una sostituzione di una funzione la cui derivata è presente anche nell'integrando. In questo modo la funzione si semplifica e quindi è possibile utilizzare le formule base di integrazione per integrare la funzione.

Nel calcolo, il metodo di integrazione per sostituzione è noto anche come regola della catena inversa o metodo di sostituzione U. Possiamo usare questo metodo per trovare un valore intero quando è impostato nella forma speciale. Ciò significa che l'integrale dato è nella forma:

Per saperne di più,

• Calcolo in matematica
• Integrali
• Calcolo integrale
• Differenziazione delle funzioni trigonometriche
• Equazioni trigonometriche

Esempi di problemi sull'integrazione delle funzioni trigonometriche

Problema 1: Determina l'integrale della seguente funzione: f(x) = cos ³ X.

Soluzione:

Consideriamo l'integrale della funzione data come,

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I = ∫ cos³x dx

Può essere riscritto come:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Utilizzo dell'identità trigonometrica; cos²x = 1 – peccato²x, otteniamo

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x peccato²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Poiché ∫ cos x dx = sin x + C,

Quindi, I = sin x – ∫ sin²x cos x dx . . . (1)

Sia peccato x = t

⇒ cos x dx = dt.

Sostituisci t con sin x e dt con cos x dx nel secondo termine dell'integrale sopra.

I = peccato x – ∫ t²dt

⇒ I = peccato x – t³/3+C

Ancora una volta, sostituisci t con sin x nell'espressione.

Quindi, ∫ cos ³ x dx = peccato x – peccato ³ x/3+C.

Problema 2: Se f(x) = peccato ² (x) cos ³ (x) quindi determinare ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Soluzione:

Consideriamo l'integrale della funzione data come,

Io = ∫peccato²(x) cos³(x) dx

Utilizzo dell'identità trigonometrica; cos²x = 1 – peccato²x, otteniamo

Io = ∫peccato²x (1 – peccato²x) cos x dx

Sia sin x = t allora,

⇒ dt = cos x dx

Sostituiscili nell'integrale sopra come,

io = ∫t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²- T⁴dt

⇒ Io = t³/ 3 – t⁵/5 + C

Sostituisci nuovamente il valore di t nell'integrale sopra come,

Quindi I = peccato ³ x/3 – senza ⁵ x/5+C.

Problema 3: Sia f(x) = peccato ⁴ (x) quindi trovare ∫ f(x)dx. cioè ∫ peccato ⁴ (x) dx.

Soluzione:

Consideriamo l'integrale della funzione data come,

Io = ∫peccato⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (senza²(X))²dx

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Utilizzo dell'identità trigonometrica; peccato²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, otteniamo

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Quindi, ∫ peccato ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Problema 4: Trova l'integrazione di old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Soluzione:

Consideriamo l'integrale della funzione data come,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Sia t = tan^-1X . . . (1)

Ora differenziamo entrambi i membri rispetto a x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Pertanto l’integrale dato diventa:

I = ∫ e^Tdt

⇒ I = e^T+C. . . (2)

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Sostituisci il valore di (1) in (2) come:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Qual è l'integrazione richiesta per la funzione data.

Problema 5: Trova l'integrale della funzione f (x) definita come,

f(x) = 2x cos(x ² – 5) dx

Soluzione:

Consideriamo l'integrale della funzione data come,

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Sia (x²– 5) = t . . . (1)

Ora differenzia entrambi i membri rispetto a x come,

2x dx = dt

Sostituendo questi valori nell'integrale sopra,

I = ∫ cos(t)dt

⇒ I = peccato t + C . . . (2)

Sostituisci il valore dell'equazione (1) nell'equazione (2) come,

⇒ I = peccato (x²–5)+C

Questa è l'integrazione richiesta per la funzione data.

Problema 6: Determina il valore dell'integrale indefinito dato, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Soluzione:

L'integrale dato può essere scritto come,

I = ∫ lettino (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Sia t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Così,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1/3) ln | t | +C

Sostituisci t con sin (3x+5) nell'espressione sopra.

I = (1/3) ln | peccato (3x+5) | +C

Questa è l'integrazione richiesta per la funzione data.

Integrazione delle funzioni trigonometriche – Domande frequenti

Cos'è l'integrazione di una funzione trigonometrica?

L'integrazione delle funzioni trigonometriche come suggerisce il nome è il processo di calcolo dell'integrazione o della primitiva delle funzioni trigonometriche. Questo è il processo inverso di differenziazione delle funzioni trigonometriche.

Cosa sono le funzioni trigonometriche di base?

Le funzioni trigonometriche di base sono:

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• seno (senza),
• coseno (cos),
• tangente (tan),
• cotangente (gomito),
• secante (sec) e
• cosecante (csc).

Come si integrano le funzioni seno (sin) e coseno (cos)?

Per integrare le funzioni seno e coseno possiamo utilizzare le seguenti formule:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Dove C è la costante di integrazione.

Qual è l'integrazione della funzione trigonometrica tangente (tan)?

L'integrale della funzione tangente è dato come segue:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Dove,

• ln rappresenta il logaritmo naturale, e
• C è la costante di integrazione.

Come trovare l'integrale della funzione trigonometrica secante (Sec)?

L'integrale della funzione secante è dato come:

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| +C

Dove,

• ln rappresenta il logaritmo naturale, e
• C è la costante di integrazione.

Qual è l'integrazione della funzione trigonometrica cotangente (cot)?

L'integrale della funzione cotangente può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| +C

Dove,

• ln rappresenta il logaritmo naturale, e
• C è la costante di integrazione.

Come trovare l'integrale della funzione cosecante (cosec)?

L'integrale della funzione cosecante è dato come:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – lettino x | +C

Dove,

• ln rappresenta il logaritmo naturale, e
• C è la costante di integrazione.