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Identità trigonometriche inverse

Identità trigonometriche inverse: In matematica, le funzioni trigonometriche inverse sono note anche come funzioni arcus o funzioni antitrigonometriche. Le funzioni trigonometriche inverse sono le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche di base, ovvero seno, coseno, tangente, cosecante, secante e cotangente. Si usa per trovare gli angoli con qualsiasi rapporto trigonometrico. Le funzioni trigonometriche inverse sono generalmente utilizzate in campi come geometria, ingegneria, ecc. La rappresentazione delle funzioni trigonometriche inverse sono:

Se a = f(b), allora la funzione inversa lo è



b = f-1(UN)

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Esempi di funzioni trigonometriche inverse inverse sono sin-1x, cos-1x, quindi-1x, ecc.

Tabella dei contenuti



Dominio e intervallo delle identità trigonometriche inverse

La tabella seguente mostra alcune funzioni trigonometriche con il loro dominio e intervallo.

Funzione Dominio Allineare
y = senza-1X[-undici][-p/2, p/2]
y = cos-1X[-undici][0, p]
y = cosec-1X R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sec-1X R - (-undici)[0, π] – {π/2}
y = così-1X R (-p/2, p/2)
y = lettino-1X R (0, p)

Proprietà delle funzioni trigonometriche inverse

Le seguenti sono le proprietà delle funzioni trigonometriche inverse:

Proprietà 1:



  1. senza-1(1/x) = cosec-1x, per x ≥ 1 o x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sec-1x, per x ≥ 1 o x ≤ -1
  3. COSÌ-1(1/x) = lettino-1x, per x> 0

Proprietà 2:

  1. senza-1(-x) = -peccato-1x, per x ∈ [-1 , 1]
  2. COSÌ-1(-x) = -tan-1x, per x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, per |x| ≥ 1

Proprietà 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, per x ∈ [-1 , 1]
  2. sez-1(-x) = π – sec-1x, per |x| ≥ 1
  3. culla-1(-x) = π – lettino-1x, per x ∈ R

Proprietà 4

  1. senza-1x + cos-1x = π/2, per x ∈ [-1,1]
  2. COSÌ-1x + lettino-1x = π/2, per x ∈ R
  3. cosec-1x + sec-1x = π/2 , per |x| ≥ 1

Proprietà 5

  1. COSÌ-1x + così-1y = così-1( x + y )/(1 – xy), per xy <1
  2. COSÌ-1x – quindi-1y = così-1(x – y)/(1 + xy), per xy> -1
  3. COSÌ-1x + così-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), per xy>1 ; x, y>0

Proprietà 6

  1. 2tan-1x = peccato-1(2x)/(1+x2), per |x| ≤ 1
  2. 2tan-1x = cos-1(1-x2)/(1+x2), per x ≥ 0
  3. 2tan-1x = così-1(2x)/(1 –x2), per -1

Identità della funzione trigonometrica inversa

Le seguenti sono le identità delle funzioni trigonometriche inverse:

  1. senza-1(sin x) = x purché -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x purché 0 ≤ x ≤ π
  3. COSÌ-1(tan x) = x purché -π/2
  4. senza-1x) = x purché -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos-1x) = x purché -1 ≤ x ≤ 1
  6. così così-1x) = x purché x ∈ R
  7. cosec(cosec-1x) = x purché -1 ≤ x ≤ ∞ o -∞
  8. sec(sec-1x) = x purché 1 ≤ x ≤ ∞ o -∞
  9. lettino(lettino-1x) = x purché -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2peccato-1x = peccato-12x√(1 –x2)
  15. 3peccato-1x = peccato-1(3x-4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3tan-1x = così-1((3x-x3/1 – 3x2))
  18. senza-1x + peccato-1y = senza-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. senza-1x – peccato-1y = senza-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – e2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – e2)}
  22. COSÌ-1x + abbronzatura-1y = così-1(x + y/1 – xy)
  23. COSÌ-1x – quindi-1y = così-1(x – y/1 + xy)
  24. COSÌ-1x + abbronzatura-1e +abbronzatura-1z = così-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Le persone visualizzano anche:

Esempi di problemi sulle identità trigonometriche inverse

Domanda 1: prova senza -1 x = sec -1 1/√(1-x 2 )

Soluzione:

Lasciamo senza-1x = y

⇒ sin y = x , (poiché sin y = perpendicolare/ipotenusa ⇒ cos y = √(1- perpendicolare2)/ipotenusa )

⇒ cos y = √(1 – x2), qui ipotenusa = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sec-11/√(1 –x2)

⇒ senza-1x = sec-11/√(1 –x2)

Quindi, dimostrato.

Domanda 2: provalo -1 x = cosec -1 √(1+x 2 )/X

Soluzione:

Lasciamo stare-1x = y

⇒ tan y = x, perpendicolare = x e base = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (poiché ipotenusa = √(perpendicolare2+fondo2) )

⇒ cosec y = 1/sen y

⇒ cosec y = √(x2+1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+1)/x

⇒ così-1x = cosec-1√(x2+1)/x

Quindi, dimostrato.

Domanda 3: Valuta te stesso come -1 X)

Soluzione:

Lasciamo cos-1x = y

⇒ cos y = x , base = x e ipotenusa = 1 quindi sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/X

⇒ y = così-1√(1 –x2)/X

⇒ cos-1x = così-1√(1 –x2)/X

Pertanto, tan(cos-1x) = tan(tan-1√(1 –x2)/x ) = √(1 – x2)/X.

Domanda 4: sì -1 √(peccato x) + lettino -1 √(peccato x) = y. Trova cos e.

Soluzione:

Conosciamo quell'abbronzatura-1x + lettino-1x = /2 quindi confrontando questa identità con l'equazione data nella domanda otteniamo y = π/2

Pertanto, cos y = cos π/2 = 0.

Domanda 5: sì -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x, x> 0. Risolvi per x.

Soluzione:

COSÌ-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan-1X

⇒ 2abbronzatura-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x…(1)

Lo sappiamo, 2tan-1x = così-12x/(1 –x2).

Pertanto, LHS dell'equazione (1) può essere scritto come

COSÌ-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= così-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= così-1[ 2(1 –x2)/(4x)]

= così-1(1-x2)/(2x)

Poiché, LHS = RHS quindi

COSÌ-1(1-x2)/(2x) = marrone chiaro-1X

⇒ (1 –x2)/2x = x

⇒ 1 –x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Poiché x deve essere maggiore di 0, x = 1/√3 è la risposta accettabile.

Domanda 6: Provalo -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Soluzione:

Lasciamo stare-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ così2y = x

Perciò,

Dx = (1/2)cos-1(1- quindi2y)/(1 + marrone chiaro2E)

= (1/2)cos-1(cos2e senza2y)/(cos2e + senza2E)

= (1/2)cos-1(cos2e senza2E)

= (1/2)cos-1(cos 2 anni)

= (1/2)(2 anni)

= e

= così-1√x

= sinistra

Quindi, dimostrato.

Domanda 7: sì -1 (2x)/(1 –x 2 ) + lettino -1 (1-x 2 )/(2x) = π/2, -1

Soluzioni:

COSÌ-1(2x)/(1 –x2) + lettino-1(1-x2)/(2x) = π/2

⇒ così-1(2x)/(1 –x2) + così-1(2x)/(1 –x2) = π/2

⇒ 2abbronzatura-1(2x)/(1 –x2) = ∏/2

⇒ così-1(2x)/(1 –x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = marrone chiaro ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒x2+2x-1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 oppure x = -1 – √2

Ma secondo la domanda x ∈ (-1, 1) quindi per l'equazione data l'insieme delle soluzioni è x ∈ ∅.

Domanda 8: sì -1 1/(1 + 1,2) + abbronzatura -1 1/(1+2,3)+…+ COSÌ -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 X. Risolvi per x.

Soluzione:

COSÌ-11/(1 + 1,2) + abbronzatura-11/(1 + 2,3) + … + tan-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ così-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + abbronzatura-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + così-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ (quindi-12 – quindi-11) + (così-13 – quindi-12) + … + (così-1(n + 1) – quindi-1n) = così-1X

⇒ così-1(n + 1) – quindi-11 = così-1X

⇒ così-1n/(1 + (n + 1).1) = tan-1X

⇒ così-1n/(n + 2) = tan-1X

⇒ x = n/(n + 2)

Domanda 9: Se 2tan -1 (senza x) = così -1 (2sec x) quindi risolvi per x.

Soluzione:

2tan-1(senza x) = così-1(2 secondi x)

⇒ così-1(2 peccato x)/(1 – peccato2x) = così-1(2/cos x)

⇒ (2peccato x)/(1 – peccato2x) = 2/cos x

⇒ peccato x/cos2x = 1/cosx

⇒ peccato x cos x = cos2X

⇒ peccato x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sen x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 oppure sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 o tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 oppure x = π/4

Ma per x = π/2 l'equazione data non esiste quindi x = π/4 è l'unica soluzione.

Domanda 10: Dimostra quella branda -1 [ {√(1 + peccato x) + √(1 – peccato x)}/{√(1 + peccato x) – √(1 – peccato x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Soluzione:

Sia quindi x = 2y

LHS = lettino-1[{√(1+peccato 2a) + √(1-peccato 2a)}/{√(1+peccato 2a) – √(1-peccato 2a)}]

= lettino-1[{√(cos2e + senza2y + 2sen y cos y) + √(cos2e + senza2y – 2sen y cos y)}/{√(cos2e + senza2y + 2sen y cos y) – √(cos2e + senza2y – 2sen e cos y)} ]

= lettino-1[{√(cos y + sin y)2+ √(cos y – peccato y)2} / {√(cos y + sin y)2– √(cos e – peccato e)2}]

= lettino-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= lettino-1(2cos y)/(2sen y)

= lettino-1(culla e)

= e

=x/2.

Problemi pratici sulle identità trigonometriche inverse

Problema 1: Risolvi x nell'equazione sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Problema 2: Dimostra che sei abbronzato -1 (1) + così -1 (2) + così -1 (3) = pag

Problema 3: valutare cos⁡(senza -1 (0,5))

Problema 4: Se abbronzato -1 (x) + abbronzatura -1 (2x) = π/4, quindi trova x

Domande frequenti sulle identità trigonometriche inverse

Cosa sono le funzioni trigonometriche inverse?

Le funzioni trigonometriche inverse sono le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche di base (seno, coseno, tangente, cosecante, secante e cotangente). Servono per trovare gli angoli corrispondenti a determinati rapporti trigonometrici.

Perché le funzioni trigonometriche inverse sono importanti?

Le funzioni trigonometriche inverse sono essenziali in vari campi come la geometria, l'ingegneria e la fisica perché aiutano a determinare gli angoli dai rapporti trigonometrici, il che è fondamentale per risolvere molti problemi pratici.

Quali sono i domini e gli intervalli delle funzioni trigonometriche inverse?

Ciascuna funzione trigonometrica inversa ha domini e intervalli specifici:

S In -1 (x) : Dominio [-1, 1] e Intervallo [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : Dominio [-1, 1] e Intervallo [ 0, π]

quindi⁡ -1 (x) : Dominio R e intervallo (- π/2, π/2)

Le funzioni trigonometriche inverse possono essere utilizzate nel calcolo?

Sì, le funzioni trigonometriche inverse sono spesso utilizzate nel calcolo per l'integrazione e la differenziazione. Sono particolarmente utili per integrare funzioni che coinvolgono espressioni trigonometriche.