Identità trigonometriche sono varie identità utilizzate per semplificare varie equazioni complesse che coinvolgono funzioni trigonometriche. La trigonometria è una branca della matematica che si occupa della relazione tra i lati e gli angoli di un triangolo. Queste relazioni sono definite sotto forma di sei rapporti chiamati rapporti trigonometrici – sin, cos, tan, cot, sec e cosec.

In modo esteso lo studio riguarda anche gli angoli che costituiscono gli elementi di un triangolo. Logicamente, una discussione sulle proprietà di un triangolo; la risoluzione di un triangolo e problemi fisici nel campo delle altezze e delle distanze utilizzando le proprietà di un triangolo costituiscono tutti una parte dello studio. Fornisce inoltre un metodo di soluzione delle equazioni trigonometriche.

Tabella dei contenuti

• Cosa sono le identità trigonometriche?
• Elenco delle identità trigonometriche
• Identità trigonometriche reciproche
• Identità trigonometriche pitagoriche
• Identità di rapporti trigonometrici
• Identità trigonometriche di angoli opposti
• Identità di angoli complementari
• Identità degli angoli supplementari
• Periodicità della funzione trigonometrica
• Identità di somma e differenza
• Identità a doppio angolo
• Formule del mezzo angolo
• Altre identità di Half Angle
• Identità della somma del prodotto
• Identità dei prodotti
• Formule del triplo angolo
• Prova delle identità trigonometriche
• Relazione tra angoli e lati del triangolo
• Domande frequenti sulle identità trigonometriche

Cosa sono le identità trigonometriche?

Un'equazione che coinvolge i rapporti trigonometrici di un angolo è detta Identità trigonometrica se è vera per tutti i valori dell'angolo. Questi sono utili ogni volta che le funzioni trigonometriche sono coinvolte in un'espressione o un'equazione. I sei rapporti trigonometrici di base sono seno, coseno, tangente, cosecante, secante e cotangente . Tutti questi rapporti trigonometrici sono definiti utilizzando i lati del triangolo rettangolo, come il lato adiacente, il lato opposto e il lato dell'ipotenusa.

Identità trigonometriche

Elenco delle identità trigonometriche

Ci sono molte identità nello studio della trigonometria, che coinvolge tutti i rapporti trigonometrici. Queste identità vengono utilizzate per risolvere vari problemi nel panorama accademico e nella vita reale. Impariamo tutte le identità trigonometriche fondamentali e avanzate.

Identità trigonometriche reciproche

In tutti i rapporti trigonometrici esiste una relazione reciproca tra una coppia di rapporti, che è data come segue:

• peccato θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sen θ
  
• cosθ = 1/secθ
• secθ = 1/cosθ
  
• marrone chiaro θ = 1/culla θ
• lettino θ = 1/tan θ

Identità trigonometriche pitagoriche

Le identità trigonometriche pitagoriche si basano sul teorema del triangolo destro o teorema di Pitagora , e sono i seguenti:

• senza²θ + cos²θ = 1
• 1 + così²θ = sez²io
• cosec²θ = 1 + lettino²io

Leggi di più su Identità trigonometriche pitagoriche .

Identità di rapporti trigonometrici

As tan e cot sono definiti come il rapporto tra sin e cos, che è dato dalle seguenti identità:

• tan θ = sin θ/cos θ
• lettino θ = cos θ/sen θ

Identità trigonometriche di angoli opposti

In trigonometria l'angolo misurato in senso orario viene misurato con parità negativa e tutti i rapporti trigonometrici definiti per la parità negativa dell'angolo sono definiti come segue:

• peccato (-θ) = -senθ
• cos(-θ) = cosθ
• abbronzatura (-θ) = -abbronzatura θ
• lettino (-θ) = -lettino θ
• sec (-θ) = secθ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Identità di angoli complementari

Angoli complementari sono la coppia di angoli la cui somma dà come risultato 90°. Ora, le identità trigonometriche per gli angoli complementari sono le seguenti:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• marrone chiaro (90° – θ) = lettino θ
• lettino (90° – θ) = marrone chiaro θ
• sec (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sec θ

Identità degli angoli supplementari

Gli angoli supplementari sono la coppia di angoli la cui somma dà 180°. Ora, le identità trigonometriche per gli angoli supplementari sono:

• peccato (180°-θ) = peccatoθ
• cos (180°-θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• sec (180°-θ)= -secθ
• tan (180°-θ) = -tan θ
• lettino (180°- θ) = -lettino θ

Periodicità della funzione trigonometrica

Funzioni trigonometriche come sin, cos, tan, cot, sec e cosec sono tutti di natura periodica e hanno periodicità diversa. Le seguenti identità per il rapporto trigonometrico spiegano la loro periodicità.

• peccato (n × 360° + θ) = peccato θ
• peccato (2nπ + θ) = peccato θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sec (n × 360° + θ) = sec θ
• secondo (2nπ + θ) = secondo θ
  
• lettino (n × 180° + θ) = lettino θ
• lettino (nπ + θ) = lettino θ

Dove, n ∈ CON, (Z = insieme di tutti i numeri interi)

Nota: sin, cos, cosec e sec hanno un periodo di 360° o 2π radianti, mentre per tan e cot il periodo è 180° o π radianti.

Identità di somma e differenza

Identità trigonometriche per Somma e Differenza dell'angolo includono le formule come sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B), ecc.

• peccato (A+B) = peccato A cos B + cos A peccato B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• abbronzatura (A+B) = (abbronzatura A + abbronzatura B)/(1 – abbronzatura A abbronzatura B)
• abbronzatura (A-B) = (abbronzatura A – abbronzatura B)/(1 + abbronzatura A abbronzatura B)

Nota: Le identità per sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) e cos (A-B) sono chiamate Le identità di Tolomeo .

Identità a doppio angolo

Utilizzando le identità trigonometriche della somma degli angoli, possiamo trovare una nuova identità chiamata Identità del doppio angolo. Per trovare queste identità possiamo mettere A = B nella somma delle identità degli angoli. Per esempio,

a lo sappiamo, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Sostituiamo qui A = B = θ su entrambi i lati e otteniamo:

peccato (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Allo stesso modo,

• cos2θ = cos ² θ – peccato ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – peccato ² io
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² io)

Leggi di più su Identità a doppio angolo .

Formule del mezzo angolo

Utilizzando le formule del doppio angolo, è possibile calcolare le formule del semiangolo. Per calcolare le formule del semiangolo sostituire θ con θ/2 quindi,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Leggi di più su Identità di mezzo angolo .

Altre identità di Half Angle

Oltre alle identità sopra menzionate, ci sono altre identità di semiangolo che sono le seguenti:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Identità della somma del prodotto

Le seguenti identità indicano la relazione tra la somma di due rapporti trigonometrici con il prodotto di due rapporti trigonometrici.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Identità dei prodotti

Le identità del prodotto si formano quando aggiungiamo due della somma e della differenza delle identità degli angoli e sono le seguenti:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Formule del triplo angolo

Oltre alle formule del doppio e del mezzo angolo, esistono identità per i rapporti trigonometrici definiti per il triplo angolo. Queste identità sono le seguenti:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Leggi di più su Identità a triplo angolo .

Prova delle identità trigonometriche

Per ogni angolo acuto θ, dimostralo

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ. lettinoθ = 1
4. senza ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + così ² θ = sez ² io
6. 1 + lettino ² θ = cosec ² io

Prova:

Consideriamo un △ABC ad angolo retto in cui ∠B = 90°

Sia AB = x unità, BC = y unità e AC = r unità.

Poi,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) lettinoθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ. cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/senθ)

tanθ. lettinoθ = 1

Quindi, per il teorema di Pitagora, abbiamo

X²+ e²= r².

Ora,

(4) senza²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= (e²/R²+X²/R²)

= (x²+ e²)/R²= r²/R²= 1[x²+ e²= r²]

senza ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + così²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/X²= (e²+X²)/X²= r²/X²[X²+ e²= r²]

(r/x)²= sez²io

∴ 1 + abbronzatura ² θ = sez ² io.

(6) 1 + lettino²θ = 1 + (x/y)²= 1+x²/E²= (x²+ e²)/E²= r²/E²[X²+ e²= r²]

(R²/E²) = cosec²io

∴ 1 + lettino ² θ = cosec ² io

Relazione tra angoli e lati del triangolo

Tre regole che mettono in relazione i lati dei triangoli con gli angoli interni dei triangoli sono:

• La sua regola
• Regola del coseno
• Regola della tangente

Se un triangolo ABC con i lati a, b e c che sono lati opposti rispettivamente a ∠A, ∠B e ∠C, allora

La sua regola

Le sue regole stabilisce il rapporto tra lati e angoli del triangolo ovvero il rapporto tra lato e seno dell'angolo opposto rimane sempre lo stesso per tutti gli angoli e lati del triangolo ed è dato come segue:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Regola del coseno

Regola del coseno coinvolge tutti i lati e un angolo interno del triangolo è dato come segue:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

O

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

O

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Regola della tangente

• La regola della tangente stabilisce anche la relazione tra i lati e l'angolo interno di un triangolo, utilizzando il rapporto trigonometrico tan, che è il seguente:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Inoltre, Leggi

• Trigonometria Altezza e Distanza
• Tavola trigonometrica

Esempio risolto sulle identità trigonometriche

Esempio 1: Dimostrare che (1 – sin ² θ) sez ² θ = 1

Soluzione:

Abbiamo:

LHS = (1 – peccato²θ) sez²io

=cos²θ. sez²io

=cos²θ. (1/cos²io)

=1

= destra.

∴ sinistra = destra. [Quindi dimostrato]

Esempio 2: Dimostrare che (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Soluzione:

Abbiamo:

LHS = (1 + tan²θ)cos²io

⇒ LHS = sec²θ. cos²io

⇒ LHS = (1/cos²θ). cos²io

⇒ sinistra = 1 = destra.

∴ SINISTRO=DESTRO. [Quindi dimostrato]

Esempio 3: Dimostrare che (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Soluzione:

Abbiamo:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²io

⇒ LHS = (1 + lettino²θ – 1) quindi²io

⇒ LHS = lettino²θ. COS̲io

⇒ LHS = (1/tan²θ). COS̲io

ordinamento delle bolle nell'algoritmo

⇒ sinistra = 1 = destra.

∴ SINISTRO=DESTRO. [Quindi dimostrato]

Esempio 4: Dimostrare che (sez ⁴ θ – sez ² θ) = (tan ² θ + abbronzatura ⁴ io)

Soluzione:

Abbiamo:

LHS = (sec⁴θ – sez²io)

⇒ LHS = sec²θ(sec²io-1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) (1 + tan²io-1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) quindi²io

⇒ LHS = (tan²θ + abbronzatura⁴θ) = destra

∴ sinistra = destra. [Quindi dimostrato]

Esempio 5: Dimostrare che √(sec ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

Soluzione:

Abbiamo:

LHS = √(sec²θ + cosec²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + lettino²io))

⇒ LHS = √(tan²θ + lettino²io+2)

⇒ LHS = √(tan²θ + lettino²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [quindi dimostrato]

Domande pratiche sulle identità trigonometriche

Q1: Semplifica l'espressionefrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Dimostrare l'identità tan (x) . lettino(x) = 1.

Q3: Mostralofrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Semplificaresin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Q5: Dimostrare l'identitàcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

D6: Semplificarefrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

D7: Dimostrare l'identitàsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Domande frequenti sulle identità trigonometriche

Cos'è l'identità trigonometrica?

L'identità trigonometrica è un'equazione che mette in relazione diverse funzioni trigonometriche come sin, cos, tan, cot, sec e cosec.

Come dimostrare le identità trigonometriche?

Esistono vari metodi per dimostrare le identità trigonometriche, uno di questi metodi utilizza le 6 principali identità trigonometriche conosciute per riscrivere un'espressione in una forma diversa. Come ogni altra dimostrazione, lavoriamo con un lato per arrivare a un'espressione identica all'altro lato dell'equazione.

Quante identità trigonometriche esistono?

Esistono molte identità trigonometriche, poiché qualsiasi identità può essere, con qualche variazione, pur sempre identità. Pertanto non possiamo dire esattamente quante identità ci siano.

Come ricordare tutte le identità trigonometriche?

Il metodo più semplice per ricordare tutte le identità è esercitarsi sui problemi relativi all'identità. Ogni volta che risolvi un problema utilizzando un'identità, rivedi quell'identità e alla fine diventerà per te una seconda natura.

Scrivi le tre principali funzioni trigonometriche.

Tre funzioni principali utilizzate in trigonometria sono seno, coseno e tangente.
sin θ = Perpendicolare/Ipotenusa
cos θ = Base/Ipotenusa
tan θ = Perpendicolare/Base

Cos'è il teorema di Pitagora?

Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo con lati come ipotenusa(H), perpendicolare(P) e base(B) la relazione tra loro è data da,

(H) ² = (P) ² +(B) ²

Scrivere gli usi delle identità trigonometriche.

Le identità trigonometriche vengono utilizzate per risolvere vari problemi che coinvolgono funzioni trigonometriche complesse. Sono utilizzati per calcolare le equazioni delle onde, l'equazione dell'oscillatore armonico, la risoluzione di problemi geometrici e altri problemi.

Scrivi otto identità trigonometriche fondamentali.

Otto identità fondamentali in trigonometria sono:

• peccato θ = 1/cosec θ
• cosθ = 1/secθ
• marrone chiaro θ = 1/culla θ
• senza²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cosθ
• 1+ così²θ = sez²io
• lettino θ = cosθ/sinθ
• 1+ lettino²θ = cosec²io