Le formule del mezzo angolo vengono utilizzate per trovare vari valori di angoli trigonometrici come 15°, 75° e altri, vengono anche utilizzate per risolvere vari problemi trigonometrici.

Diversi rapporti e identità trigonometrici aiutano a risolvere problemi di trigonometria. I valori degli angoli trigonometrici 0°, 30°, 45°, 60°, 90° e 180° per sin, cos, tan, cosec, sec e cot vengono determinati utilizzando una tabella trigonometrica. Le formule del semiangolo sono ampiamente utilizzate in matematica, impariamo a conoscerle in dettaglio in questo articolo.

Tabella dei contenuti

• Formule del semiangolo
• Identità di mezzo angolo
• Derivazione di formule a mezzo angolo utilizzando formule a doppio angolo
• Formula del semiangolo per la derivazione del cos
• Formula del semiangolo per la derivazione del peccato
• Formula del semiangolo per la derivazione dell'abbronzatura
• Esempi risolti sulle formule del mezzo angolo

Formule del semiangolo

Per trovare i valori degli angoli oltre ai valori noti di 0°, 30°, 45°, 60°, 90° e 180°. I semiangoli derivano dalle formule dei doppi angoli e sono elencati di seguito per seno, cos e tan:

• seno (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2]^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ sin x

Identità trigonometriche delle formule a doppio angolo sono utili per la derivazione di formule a semiangolo.

Formule del mezzo angolo

Identità di mezzo angolo

Identità a mezzo angolo per alcuni popolari funzioni trigonometriche Sono,

• Formula del semiangolo del peccato,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Formula del semiangolo di Cos,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Formula a mezzo angolo dell'abbronzatura,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = sin A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / sin A

Derivazione di formule a mezzo angolo utilizzando formule a doppio angolo

Le formule a mezzo angolo vengono derivate utilizzando formule a doppio angolo. Prima di conoscere le formule del semiangolo dobbiamo conoscere il doppio angolo in Trigonometria , le formule del doppio angolo più comunemente usate in trigonometria sono:

• peccato 2x = 2 peccato x cos x
• cos2x = cos²x – peccato²X
  = 1 – 2 senza²X
  = 2cos²x-1
• tan 2x = 2 tan x / (1 – tan²X)

Ora sostituendo x con x/2 su entrambi i lati nelle formule sopra otteniamo

• sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cosx = cos²(x/2) – senza²(x/2)
  = 1 – 2 senza²(x/2)
  = 2cos²(x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan²(x/2)]

Formula del semiangolo per la derivazione del cos

Usiamo cos2x = 2cos²x – 1 per trovare la formula del semiangolo per Cos

Metti x = 2y nella formula sopra

cos(2)(y/2) = 2cos²(y/2) – 1

cosy = 2cos²(y/2) – 1

1 + cosy = 2cos²(e/2)

2cos²(y/2) = 1 + accogliente

cos²(y/2) = (1+ accogliente)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ accogliente)/2}

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Formula del semiangolo per la derivazione del peccato

Usiamo cos 2x = 1 – 2sin²x per trovare la formula del semiangolo del peccato

Metti x = 2y nella formula sopra

cos(2)(y/2) = 1 – 2sen²(e/2)

cos y = 1 – 2 sin²(e/2)

2peccato²(y/2) = 1 – accogliente

senza²(y/2) = (1 – accogliente)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – accogliente)/2}

Formula del semiangolo per la derivazione dell'abbronzatura

Sappiamo che tan x = sin x / cos x tale che,

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Mettendo i valori di mezzo angolo per sin e cos. Noi abbiamo,

tan(x/2) = ± [(√(1 – accogliente)/2 ) / (√(1+ accogliente)/2 )]

tan(x/2) = ± [√(1 – accogliente)/(1+ accogliente)]

Razionalizzare il denominatore

tan(x/2) = ± (√(1 – accogliente)(1 – accogliente)/(1+ accogliente)(1 – accogliente))

tan(x/2) = ± (√(1 – accogliente)²/(1 – cos²E))

tan(x/2) = ± [√{(1 – accogliente)²/( senza²E)}]

tan(x/2) = (1 – accogliente)/( secchio)

Inoltre, controlla

• Applicazioni nella vita reale della trigonometria
• Senza formule del cos

Esempi risolti sulle formule del mezzo angolo

Esempio 1: Determinare il valore di sin 15°

Soluzione:

Sappiamo che la formula per il semiangolo del seno è data da:

seno x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Il valore del seno 15° può essere trovato sostituendo x con 30° nella formula sopra

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2)^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0,866)/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0,134/ 2)^1/2

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peccato 15° = ± (0,067)^1/2

peccato 15° = ± 0,2588

Esempio 2: Determinare il valore di sin 22.5 °

Soluzione:

Sappiamo che la formula per il semiangolo del seno è data da:

seno x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Il valore del seno 15° può essere trovato sostituendo x con 45° nella formula sopra

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2)^1/2

peccato 22,5° = ± ((1 – 0,707)/ 2)^1/2

peccato 22,5° = ± (0,293/ 2)^1/2

peccato 22,5° = ± (0,146)^1/2

peccato 22,5° = ± 0,382

Esempio 3: Determinare il valore di tan 15°

Soluzione:

Sappiamo che la formula per il semiangolo del seno è data da:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Il valore di tan 15° può essere trovato sostituendo x con 30° nella formula sopra

abbronzatura 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

abbronzatura 15° = ± (1 – 0,866)/ sin 30

abbronzatura 15° = ± (0,134)/ 0,5

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abbronzatura 15° = ± 0,268

Esempio 4: Determinare il valore di tan 22,5°

Soluzione:

Sappiamo che la formula per il semiangolo del seno è data da:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Il valore di tan 22,5° può essere trovato sostituendo x con 45° nella formula sopra

abbronzatura 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

abbronzatura 22,5° = ± (1 – 0,707)/ sin 45°

abbronzatura 22,5° = ± (0,293)/ 0,707

abbronzatura 22,5° = ± 0,414

Esempio 5: Determinare il valore di cos 15°

Soluzione:

Sappiamo che la formula per il semiangolo del seno è data da:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Il valore del seno 15° può essere trovato sostituendo x con 30° nella formula sopra

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2)^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2)^1/2

cos 15° = ± (1.866/ 2)^1/2

cos 15° = ± (0,933)^1/2

cos 15° = ± 0,965

Esempio 6: Determinare il valore di cos 22,5°

Soluzione:

Sappiamo che la formula per il semiangolo del seno è data da:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Il valore del seno 15° può essere trovato sostituendo x con 45° nella formula sopra

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ( 0,853 )^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

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Domande frequenti sulla formula del semiangolo

A cosa servono le formule del mezzo angolo?

Le formule del mezzo angolo vengono utilizzate per trovare i rapporti trigonometrici della metà degli angoli standard come 15°, 22,5° e altri. Vengono utilizzati anche per risolvere equazioni trigonometriche complesse e sono necessari per risolvere integrali ed equazioni differenziali.

Qual è la formula del mezzo angolo per il peccato?

La formula del semiangolo per il peccato è

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Inoltre, per ogni triangolo con lati a, b e c e semiperimetro vale s

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Qual è la formula del semiangolo per il coseno?

Formula del semiangolo per cos è

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Inoltre, per ogni triangolo con lati a, b e c e semiperimetro vale s

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Qual è la formula di cos io ?

Per ogni triangolo rettangolo, con un angolo θ la formula utilizzata per calcolare il coseno dell'angolo (θ) è

Cos(θ) = adiacente / ipotenusa