Le regole logaritmiche o regole log sono fondamentali per semplificare formulazioni complesse che includono funzioni logaritmiche. Le regole di registro semplificano il calcolo e la manipolazione dei logaritmi in una varietà di applicazioni matematiche e scientifiche. Di tutte queste regole di registro, tre delle più comuni sono la regola del prodotto, la regola del quoziente e la regola della potenza. Oltre a queste, abbiamo molte regole del logaritmo, di cui parleremo più avanti nell'articolo. Questo articolo esplora tutte le regole per i logaritmi, inclusi derivata e integrale, in dettaglio con gli esempi di regole logaritmiche. Quindi, iniziamo a conoscere tutte le regole che hanno i logaritmi.

Tabella dei contenuti

• Cosa sono le regole di registro?
• Tipi di logaritmo
• Elenco delle regole dei logaritmi
• Regole del registro naturale
• Applicazioni del logaritmo
• Regola del prodotto dei logaritmi
• Regola della potenza dei logaritmi
• Regola del quoziente dei logaritmi
• Esempi risolti di regole di registro
• Domande pratiche sulle regole di registro

Cosa sono le regole di registro?

Le regole logaritmiche in matematica sono le regole e le leggi utilizzate nella semplificazione e nella manipolazione delle espressioni di funzioni logaritmiche. Questi principi creano relazioni tra forme esponenziali e logaritmiche e forniscono una tecnica sistematica per gestire complicati calcoli logaritmici.

Le regole fondamentali sono le seguenti: regola del prodotto : che ci permette di dividere un prodotto all'interno di un logaritmo in una somma di logaritmi separati; regola del quoziente : che permette di dividere un quoziente interno a un logaritmo in una differenza di logaritmi; regola del potere: che ci permette di estrarre esponenti dall'interno di un logaritmo; regola di cambio di base o modifica della regola di base : che ci permette di cambiare la base di un logaritmo.

Queste leggi sono cruciali in molte applicazioni matematiche e scientifiche, rendendo i logaritmi uno strumento prezioso per risolvere equazioni, modellare la crescita esponenziale e analizzare grandi quantità di dati.

Tipi di logaritmo

Solitamente trattiamo due tipi di logaritmi:

• Logaritmo comune
• Logaritmo naturale

Nota: Può esserci un logaritmo con qualsiasi numero reale come base, ma questi due, cioè il logaritmo comune e quello naturale, sono i più comuni e standard.

Discutiamo questi tipi in dettaglio.

Logaritmo comune

Un logaritmo comune, spesso noto come log in base 10 o semplicemente log, è una funzione matematica che rappresenta l'esponente a cui un dato numero deve essere aumentato per raggiungere un dato numero. Calcola la potenza di dieci necessaria per ottenere un determinato numero.

Ad esempio, log₁₀(100) è uguale a 2, perché 10 elevato alla potenza di 2 è uguale a 100. Il logaritmo comune di 100 in questo caso è 2, il che dimostra che 10²= 100. I logaritmi comuni sono utilizzati in molti settori, tra cui scienza, ingegneria e finanza, per semplificare le rappresentazioni di numeri enormi e aiutare nei calcoli che richiedono potenze di 10.

Logaritmo naturale

Il logaritmo naturale è una funzione matematica che esprime il logaritmo in base “e” (numero di Eulero, circa 2,71828). È l'inverso della funzione esponenziale e rappresenta la quantità di tempo necessaria affinché una quantità aumenti o diminuisca di un fattore costante.

Ad esempio, ln (10) ≈ 2,30259 significa che e moltiplicato per 2,30259 è uguale a 10. Il logaritmo naturale è utilizzato in molti ambiti, tra cui matematica, fisica e finanza, per descrivere fenomeni che mostrano una crescita o un decadimento esponenziale, come l'espansione della popolazione, decadimento radioattivo e calcoli di interesse composto.

Cosa sono le regole dei logaritmi?

Le operazioni logaritmiche possono essere condotte secondo regole specifiche. Queste regole sono conosciute come:

• Regola del prodotto
• Regola del quoziente
• Regola Zero
• Regola d'identità
• Regola della potenza o regola esponenziale
• Modifica della regola di base
• Regola reciproca

Oltre a queste regole comuni, possiamo avere anche alcune regole non comuni, come ad esempio:

• Proprietà inversa del logaritmo
• Derivata del logaritmo
• Integrazione del registro

Regola del prodotto del registro

Secondo la regola del prodotto, il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi dei suoi elementi.

Formula: tronco d'albero_UN(XY) = logaritmo_UNX+log_UNE

Esempio: tronco d'albero₂(3 × 5) = logaritmo₂(3) + log₂(5)

Regola del quoziente del log

La regola del quoziente afferma che il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del numeratore e del denominatore.

Formula: tronco d'albero_UN(X/Y) = logaritmo_UNX – registro_UNE

Esempio: tronco d'albero₃(9/3) = logaritmo₃(9) – log₃(3)

Regola Zero del Log

Secondo la regola dello zero, il logaritmo di 1 su qualsiasi base è sempre 0.

Formula: tronco d'albero_UN(1) = 0

Esempio: tronco d'albero₄(1) = 0

Regola di identità del registro

Secondo la regola d’identità, il logaritmo di una base rispetto a se stessa è sempre 1.

Formula: tronco d'albero_UN(a) = 1

Esempio: tronco d'albero₇(7) = 1

Regola reciproca

Secondo la regola reciproca dei logaritmi, il logaritmo del reciproco di un numero (1 diviso per quel numero) è uguale al negativo del logaritmo del numero originale. In notazione matematica:

​Formula: tronco d'albero_UN(1/X) = – logaritmo_UN(X)

Esempio: tronco d'albero_UN(1/2) = – logaritmo_UN(2)

Regola della potenza o regola esponenziale del log

Secondo la regola della potenza, il logaritmo di un numero elevato ad esponente è uguale all'esponente moltiplicato per il logaritmo della base.

Formula: tronco d'albero_UN(X^N) = n × logaritmo_UNX

Esempio: tronco d'albero₅(9²) = 2 × logaritmo₅(9)

Modifica della regola base del log

La modifica della regola della base consente di calcolare il logaritmo di un numero in una base diversa utilizzando un logaritmo comune (tipicamente base 10 o base e). Viene anche chiamato Cambio della regola di base Regola del cambio di base.

Formula: tronco d'albero_UN(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Esempio: tronco d'albero₃(7) = logaritmo₁₀(7)/log₁₀(3)

Proprietà inversa del logaritmo

La proprietà inversa del logaritmo asserisce che il calcolo del logaritmo di un valore esponenziale restituisce l'esponente originale.

Formula: tronco d'albero_UN(aⁿ) = n

Esempio: log₄(4²) = 2

Derivata del logaritmo

La derivata del logaritmo naturale di una funzione è il reciproco della funzione moltiplicato per la derivata della funzione.

Formula: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Esempio: Se y = ln(x²), allora dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integrazione del registro

Oltre alla differenziazione, possiamo anche calcolare l'integrale del logaritmo. L'integrale della funzione Log è dato come segue:

Formula: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Regole del registro naturale

Essendo naturali e comuni entrambi i logaritmi hanno solo una differenza di base, quindi le regole per i logaritmi naturali sono le stesse del logaritmo comune, di cui abbiamo già discusso. L'unica differenza è che nelle regole del logaritmo naturale, invece di log (simbolo del logaritmo comune in base 10) usiamo ln (simbolo del logaritmo naturale in base e). Queste regole possono essere definite come segue:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln m^N= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln1 = 0
• È^lnx=x

Applicazioni del logaritmo

Diamo un'occhiata ad alcune delle applicazioni di log.

• Utilizziamo i logaritmi per calcolare l'acidità e l'alcalinità delle soluzioni chimiche.
• Per calcolare l’intensità dei terremoti viene utilizzata la scala Richter.
• La quantità di rumore viene misurata in decibel (dB) su una scala logaritmica.
• I logaritmi vengono utilizzati per analizzare processi esponenziali come il decadimento del rapporto isotopi attivi, lo sviluppo batterico, la diffusione di un'epidemia in una popolazione e il raffreddamento di un cadavere morto.
• Un logaritmo viene utilizzato per calcolare il tempo di rimborso di un prestito.
• Il logaritmo viene utilizzato nel calcolo per differenziare equazioni difficili e calcolare l'area sotto le curve.

Regola del prodotto dei logaritmi

Secondo la regola del prodotto dei logaritmi, il logaritmo di una moltiplicazione di due termini equivale alla somma dei logaritmi di quei singoli termini. In altre parole, questa regola è espressa come log_B(mn) = logaritmo_B(m) + logaritmo_B(N). Procediamo a derivare questa regola.

Processo di derivazione:

Iniziamo presupponendo log_B(m) = xe logaritmo_B(n) = y. Convertendo entrambi nella loro forma esponenziale, otteniamo:

tronco d'albero_B(m) = x implica m = b^X… (1)

tronco d'albero_B(n) = y implica n = b^E… (2)

Quando moltiplichiamo insieme le equazioni (1) e (2),

mn = b^{X .}B^E

Utilizzando le regole per moltiplicare gli esponenti,

mn = b^{x + y}

Riconvertendosi in forma logaritmica si ottiene,

tronco d'albero_B(mn) = x + y

Sostituendo x e y,

tronco d'albero_B(mn) = logaritmo_B(m) + logaritmo_B(N)

Pertanto, abbiamo derivato la regola del prodotto dei logaritmi. Questa regola può essere utilizzata in vari modi, ad esempio:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b È importante notare che la regola del prodotto per i logaritmi non si applica a log (m + n), che non può essere suddiviso in logaritmi separati. Questa regola riguarda strettamente il logaritmo di un prodotto, log(mn).

Regola della potenza dei logaritmi

La regola della potenza del logaritmo afferma che quando l’argomento di un logaritmo viene elevato a potenza, l’esponente può essere spostato in primo piano nel logaritmo. In altre parole, logb mn = n logb m. Esploriamo la derivazione di questa regola.

Processo di derivazione:

Inizia assumendo log_Bm è uguale a x. Convertendolo nella sua forma esponenziale si ottiene:

B^X= m

Quindi eleviamo entrambi i membri alla potenza di n, ottenendo:

ricorsione Java

(B^X)^N= m^N

L'applicazione della regola della potenza esponente produce:

B^nx= m^N

Convertendo nuovamente in forma logaritmica, otteniamo:

tronco d'albero_BM^N=nx

Sostituendo x con log_Bm, arriviamo a:

tronco d'albero_BM^N= n log_BM

Questo conclude la derivazione della regola della potenza del logaritmo. Di seguito sono riportati alcuni esempi di come viene applicata questa regola:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Regola del quoziente dei logaritmi

Secondo la regola del quoziente per i logaritmi, il logaritmo di una divisione tra due numeri è la sottrazione dei logaritmi di ciascun numero.

scanner java

Nello specifico, la regola afferma che log_B(m/n) = logaritmo_Bm – registro_BN. Procediamo a derivare questa regola.

Processo di derivazione:

Supponiamo che log_Bm è uguale a xe log_Bn è uguale a y. Li esprimeremo nelle loro forme esponenziali.

tronco d'albero_Bm = x implica m = b^X… (1)

tronco d'albero_Bn = y implica n = b^E… (2)

Quando dividiamo l'equazione (1) per l'equazione (2),

m/n = b^X/ B^E

Applicando la regola del quoziente per gli esponenti,

m/n = b^x–y

Riconvertendosi in forma logaritmica,

tronco d'albero_B(m/n) = x – y

Sostituendo x e y,

tronco d'albero_B(m/n) = logaritmo_Bm – registro_BN

Pertanto, abbiamo derivato la regola del quoziente per i logaritmi. Questa regola può essere utilizzata come segue:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7a – log7 b

È importante notare che la regola del quoziente non implica nulla per log (m – n).

Argomenti correlati:

• Tabella Antilog
• Calcolatore del registro
• Registro naturale
• Tabella di registro

Esempi risolti di regole di registro

Esempio 1: semplificare il registro ₂ (4×8).

Soluzione:

Usando la regola del prodotto, dividiamo il prodotto in una somma di logaritmi:

tronco d'albero₂(4 × 8) = logaritmo₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Esempio 2: semplificare il registro ₄ (16/2).

Soluzione:

Usando la regola del quoziente, dividiamo il quoziente in una differenza di logaritmi:

tronco d'albero₄(16/2) = logaritmo₄(16) – log₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Esempio 3: semplificare il registro ₅ (25 ³ ).

Soluzione:

Usando la regola della potenza, possiamo ridurre l'esponente come coefficiente:

tronco d'albero₅(25³) = 3 × logaritmo₅(25) = 3 × 2 = 6.

Esempio 4: convertire log ₃ (7) in un'espressione in base 10.

Soluzione:

Utilizzando la regola del cambio di base, dividiamo per il logaritmo della nuova base:

tronco d'albero₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Esempio 5: valutazione del registro ₇ (49) utilizzando la modifica della regola di base con base 2.

Soluzione:

Utilizzando la modifica della regola base con base 2:

tronco d'albero₇(49) = logaritmo₂(49)/log₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (circa).

Domande pratiche sulle regole di registro

Problema 1: Semplifica l'espressione: log₂(4) + log₂(8).

Problema 2: Semplificare: log₅(25) – log₅(5).

Problema 3: Semplifica l'espressione: log₃(9²).

Problema 4: Registro espresso₄(25) in termini di logaritmi comuni.

Problema 5: Semplifica utilizzando le regole di registro: log₇(49) + 2 log₇(3).

Problema 6: Risolvi per x: log₂(x) = 3.

Problema 7: Risolvi per x: 2^3x-1= 8.

Regole di registro – Domande frequenti

Cosa sono le regole dei logaritmi?

Le regole dei logaritmi sono una raccolta di consigli per manipolare e semplificare le formule utilizzando funzioni logaritmiche. Offrono un metodo sistematico per affrontare calcoli complicati e interazioni tra esponenziali e logaritmi.

Quante regole chiave del logaritmo esistono?

La regola del prodotto, la regola del quoziente, la regola della potenza, la regola del cambio di base e la regola del cambio di base sono tutte le principali regole del logaritmo. Questi principi consentono modifiche e calcoli dell'espressione logaritmica.

Cos'è la regola del prodotto logaritmico?

Secondo la regola del prodotto, il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Quali sono due tipi di logaritmi?

I due tipi di logaritmi più comunemente usati sono:

• Logaritmo comune o logaritmo in base 10
• Logaritmo naturale o logaritmo Base e

Cos'è la regola di registro per il cambio di base?

Secondo la modifica della regola base del log, log_UN(b)=[log_C(b)]/[log_C(a)], dove c è un numero reale positivo qualsiasi.

Cos'è il registro 0?

Il logaritmo di zero è sconosciuto. Non acquisiamo mai il numero 0 elevando un valore alla potenza di qualsiasi altro valore.

Cos'è il registro 1?

A causa della regola dello zero, il logaritmo di 1 in qualsiasi base è sempre 0, ovvero log_UN(1) = 0.

Cos'è il logaritmo di un numero qualsiasi rispetto a se stesso come base?

Secondo la regola d'identità, il logaritmo di una base rispetto a se stessa è sempre 1, cioè log_UN(a) = 1.

Qual è la relazione tra logaritmi ed esponenziali?

Logaritmi ed esponenziali sono operazioni inverse. Un logaritmo ti dice l'esponente necessario per raggiungere un certo numero, mentre un esponenziale eleva una base a un esponente.

Quali sono le 7 regole dei logaritmi?

Le 7 regole dei logaritmi includono

• Regola del prodotto
• Regola del quoziente
• Regola del potere
• Modifica delle regole di base
• Regola Zero
• Regola d'identità
• Regola negativa

Queste regole vengono utilizzate per semplificare le espressioni logaritmiche.

Cos'è la regola dell'esponente logaritmico?

La regola dell'esponente logaritmico afferma che logaritmo base b di a^Xè uguale a x volte log base b di a cioè log_BUN^X= x logaritmo_BUN.

Qual è la differenza chiave tra registro comune e registro naturale?

La differenza fondamentale tra il logaritmo comune e quello naturale è che i logaritmi comuni utilizzano la base 10, mentre i logaritmi naturali utilizzano la costante matematica 'e' come base.

Qual è la regola derivativa per il log?

La regola derivativa per le funzioni log è: d/dx[log_B(x)] = 1 / (x ln(b)), dove ‘b’ è la base del logaritmo.

Cos'è la regola del cambio di base?

Secondo la regola del cambio di base, la base di qualsiasi logaritmo può essere cambiata in qualsiasi altra base desiderata utilizzando la formula: loga(X) = logb(X) / logb(a).