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Grandezza di un vettore

Le quantità vettoriali sono le quantità che hanno sia direzione che grandezza. La grandezza di un vettore è la lunghezza del vettore. È dato dal valore numerico del vettore e poiché rappresenta la lunghezza del vettore quindi è sempre positivo. Per qualsiasi vettore overrightarrow{A}la sua grandezza è rappresentata come overrightarrow{A}.

Impariamo di più sulla grandezza del vettore, sulla sua formula, esempi e altro in questo articolo.



Tabella dei contenuti

Qual è la grandezza di un vettore?

La grandezza di un vettore è definita come la lunghezza del vettore. Poiché la grandezza del vettore denota la lunghezza del vettore, è sempre positiva. Per ogni vettore A la sua grandezza è rappresentata come |A|. Supponiamo che un vettore sia definito come xi + yj, allora la sua grandezza è definita come la radice quadrata della somma dei quadrati dei singoli termini. La grandezza del vettore rappresenta la lunghezza del vettore, ovvero il valore o l'impatto che ha il vettore.

Ad esempio, se una forza di 5i N agisce su un oggetto, la sua grandezza è 5 N, il che significa che l'intensità della forza applicata è 5 N, e ' io' in 5i rappresenta che è applicato nella direzione x positiva.



Grandezza di una formula vettoriale

Esistono diversi modi per calcolare la grandezza del vettore. Sulla base dei dati forniti, utilizza un diverso tipo di formula per trovare la grandezza di un vettore. La grandezza di un vettore A è rappresentata utilizzando l'operatore modulo, ovvero |A|

Esistono varie formule utilizzate per contare la grandezza del vettore. L'immagine seguente mostra le formule importanti utilizzate per trovare la grandezza del vettore.

Grandezza di una formula vettoriale

Di seguito sono riportati i modi per calcolare la magnitudo.



  • Se viene dato un vettore Ā = xi+ yĵ + zk̂ allora la grandezza del vettore Ā può essere calcolata utilizzando la formula seguente

Grandezza del vettore  (|A|) = √(x 2 + e 2 +z 2 )

  • Se il vettore del punto iniziale è (x1, E1) e il punto finale di un vettore è diciamo (x2, E2) viene data quindi la grandezza del vettore overrightarrow{AB}è dato da,
Grandezza del vettore se sono dati due punti

La grandezza di un vettore, dati l'inizio e i punti finali di un vettore, non è altro che la distanza tra i punti. La formula per trovare la magnitudo è data da

overrightarrow{AB}= sqrt{((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)}

  • Se uno qualsiasi dei punti iniziale o finale di un vettore è nell'origine o(0, 0) e un altro punto lo è A(x, y) come specificato nella figura seguente,
Grandezza del vettore se vengono forniti un punto e un'origine

Quindi la formula per trovare il modulo di un vettore in cui una delle estremità di un vettore si trova nell'origine è data da

|À| = √(x 2 +y 2 )

Direzione di un vettore

Le quantità vettoriali sono quantità che hanno sia grandezza che direzione. La direzione della quantità vettoriale indica in quale direzione viene applicata la quantità vettoriale. È definito come l'angolo che il vettore forma con la linea orizzontale o l'asse x. È rappresentato dal simbolo UN .

L'immagine seguente mostra la freccia utilizzata per mostrare la direzione del vettore.

Direzione del vettore

Si calcola utilizzando la formula

α = abbronzatura -1 (sì/x)

come trasformare una stringa in un int

Per il vettore generato dalle coordinate (x1, E1) e (x2, E2) la loro direzione è data dalla formula,

α = abbronzatura -1 [(E 2 - E 1 )/(X 2 - X 1 )]

Come trovare la grandezza di un vettore?

L'entità del vettore viene calcolata utilizzando i passaggi discussi di seguito,

Passo 1: Identificare le componenti x, y e z del vettore.

Passo 2 : Trova il quadrato di tutte le componenti x, y e z.

Passaggio 3: Aggiungi tutti i quadrati trovati nel passaggio 2.

Passaggio 4: Trova la radice quadrata della somma ottenuta nel passaggio 3.

Il valore ottenuto dopo il passaggio 4 è la grandezza del vettore dato.

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Esempio: trova il modulo del vettore A = 3i + 4j

Soluzione:

La grandezza del vettore A viene calcolata utilizzando i passaggi discussi sopra.

Passo 1: Confrontando A = 3i + 4j con xi + yj otteniamo x = 3 e y = 4

Passo 2: X2= 32= 9 e y2= 42= 16

Passaggio 3: X2+ e2= 9 + 16 = 25

Passaggio 4: √(25) = 5

Pertanto, la grandezza del vettore A = 3i + 4j è 5 unità.

Conclusione

In conclusione, la grandezza di un vettore ci dice quanto è lungo il vettore. Questo concetto è molto importante in molti campi come la fisica, l'ingegneria e l'informatica perché aiuta a misurare cose come velocità, forza e direzione del movimento. Comprendendo la magnitudo vettoriale, possiamo analizzare e risolvere meglio problemi pratici, rendendola una conoscenza fondamentale per chiunque lavori con numeri e misurazioni in applicazioni del mondo reale.

Per saperne di più,

Esempi risolti sulla grandezza del vettore

Esempio 1: Trova il modulo del vettore Ā = 2i + 3ĵ + 4k.

Soluzione:

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Dato,

Ā = 2i + 3ĵ + 4k

Magnitudo |A| = quadrato{(2^2+3^2+4^2)}

= quadrato{(4+9+16)}
= √29
= 5,38

La grandezza del vettore 2i+3ë+4k È 5.38 unità

Esempio 2: Trova il modulo del vettore Ā = 3i + 3ĵ – 6k

Soluzione:

Dato

Ā = 3i + 3ë – 6k

Magnitudo |A| = quadrato{(3^2+3^2+(-6)^2)}

= quadrato{(9+9+36)}
= √54
= 7,35

La grandezza del vettore 3i+ 3ë – 6k È 7.35 unità.

Esempio 3: Trova la grandezza del vettore se il punto iniziale di un vettore è (3, 4) e il punto finale è (6, 2).

Soluzione:

Dato,

(X1, E1) = (3, 4)
(X2, E2) = (6, 2)

|À|= sqrt{((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)}

= quadrato{((6-3)^2+(2-4)^2)}
= √(32+ (-2)2)
= √(9+4)
= √13 = 3,6

Pertanto, la grandezza del vettore dato è 3.6 unità.

Esempio 4: Trova la grandezza del vettore se il punto iniziale di un vettore è (2, 1, 4) e il punto finale è (5, 2, 6).

Soluzione:

Dato,

(X1, E1, Con1) = (2, 1, 4)

(X2, E2, Con2) = (5, 2, 6)

|À| = sqrt{((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)}

= sqrt{((5-2)^2+(2-1)^2+(6-4)^2)}
= quadrato{(32+12+22)}
= √(9+1+4)
= √14 = 3,74

Pertanto, la grandezza del vettore dato è 3.74 unità.

Esempio 5: Qual è il modulo del vettore che inizia all'origine e termina in (3, 4).

Soluzione:

Dato,

strappare la mappa

Il punto iniziale del vettore è O(0, 0)

Punto finale (x, y) = (3, 4)

Entità del vettore (|Ā|) = √(x2+y2)

= √(32+42)
= √(9 + 16)
= √25 = 5

Pertanto, la grandezza del vettore dato è 5 unità.

Esempio 6: Trova il modulo del vettore in cui uno degli estremi è nell'origine e l'altro punto in (1, 4, 3).

Soluzione:

Dato,

Il punto finale del vettore è O(0, 0)

Altro punto (x, y, z) = (1, 4, 3)

Entità del vettore (|Ā|) = √(x2+y2+z2)

= quadrato{(1^2+4^2+3^2)}
= quadrato{(1+16+9)}
= √26 = 5,09

Pertanto, la grandezza del vettore dato è 5.09 unità.

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Domande frequenti sulla grandezza di un vettore

Qual è la grandezza di una formula vettoriale?

La grandezza di un vettore è il valore numerico del vettore e definisce la lunghezza del vettore. Per ogni vettore A la sua grandezza è rappresentata come |A|. L'entità del vettore viene calcolata utilizzando la formula,

Per ogni vettore A = xi + yj + zk la sua grandezza è data dalla formula

|A| = √(x 2 + e 2 +z 2 )

Per ogni vettore il cui punto iniziale e punto finale sono rispettivamente (x1, E1) e (x2, E2) la sua grandezza è data dalla formula

|A| = √((x 2 - X 1 ) 2 + (e 2 - E 1 ) 2 )

Come rappresentare la grandezza di un vettore?

La grandezza del vettore UN è rappresentato dal simbolo |A|.

Come trovare la grandezza di un vettore?

Varie formule vengono utilizzate per calcolare la grandezza del vettore, alcune di esse sono,

  • |A| = √(x 2 + e 2 +z 2 ) quando il vettore è nella forma A = xi + yj + zk
  • |A| = √((x) 2 + (e) 2 ) quando il vettore è dato dal punto A (x, y) e dall'origine O(0, 0).
  • |A| = √((x 2 - X 1 ) 2 + (e 2 - E 1 ) 2 ) quando il vettore è dato dal punto A (x1, E2) e il punto B (x2, E2).

Trova un vettore di magnitudine 5.

Esistono vari vettori che possono avere una grandezza pari a 5, un esempio dei quali è il vettore A rappresentato come,

A = 3i + 4j Oppure A = 4i + 5j