La legge della probabilità totale è importante per trovare la probabilità che si verifichi un evento. Se è noto che la probabilità che un evento accada è 1, allora per un evento impossibile è probabile che sia 0. Una regola fondamentale nella teoria della probabilità che è interconnessa alla probabilità marginale e probabilità condizionale è chiamata legge della probabilità totale o teorema della probabilità totale.

Dopo diversi eventi, è noto che dovrebbe essere nota la probabilità di tutte le possibilità. IL teorema della probabilità totale è il fondamento fondamentale del teorema di Baye. In questo articolo abbiamo discusso concetti importanti relativi alla probabilità totale, incluso il legge della probabilità totale , affermazioni, dimostrazioni e alcuni esempi.

Legge della probabilità totale

Dati n eventi A1, A2, …Ak mutuamente esclusivi tali che la loro somma di probabilità sia unitaria e la loro unione sia lo spazio degli eventi E, allora Ai ∩ Aj= NULL, per ogni I diverso da j, e

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Poi il Teorema della probabilità totale, o legge della probabilità totale, È: dove B è un evento arbitrario e P(B/Ai) è la probabilità condizionata che B presuppone che A sia già avvenuto.

Dimostrazione del Teorema della Probabilità Totale

Siano A1, A2, …, Ak eventi disgiunti che formano una partizione dello spazio campionario e assumiamo che P(Ai)> 0, per i = 1, 2, 3….k, tali che:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Quindi, per ogni evento B, abbiamo,

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Poiché intersezione e unione sono distributive. Perciò,

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Poiché tutte queste partizioni sono disgiunte. Quindi, abbiamo,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

Questo è il teorema di addizione delle probabilità per un'unione di eventi disgiunti. Utilizzo della probabilità condizionata

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

Oppure con la regola della moltiplicazione,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Qui gli eventi A e B si dicono eventi indipendenti se P(B|A) = P(B), dove P(A) diverso da Zero(0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

dove P(B|A) è la probabilità condizionata che dà la probabilità che si verifichi l'evento B quando l'evento A si è già verificato. Quindi,

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P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Applicando questa regola sopra otteniamo,

Questo è il legge della probabilità totale . La legge della probabilità totale è detta anche legge della probabilità totale il teorema della probabilità totale o legge delle alternative.

Nota:

La legge della probabilità totale viene utilizzata quando non si conosce la probabilità di un evento, ma si conosce il suo verificarsi in diversi scenari disgiunti e la probabilità di ciascuno scenario.

Applicazione del Teorema della Probabilità Totale

Viene utilizzato per la valutazione del denominatore in Teorema di Bayes . Il Teorema di Bayes per n insieme di eventi è definito come:

Lasciamo che E₁, E₂,…, E_Nessere un insieme di eventi associati allo spazio campionario S, in cui tutti gli eventi E₁, E₂,…, E_Nhanno una probabilità di accadimento diversa da zero. Tutti gli eventi E₁, E₂,…, E formano una partizione di S. Sia A un evento dello spazio S per il quale dobbiamo trovare la probabilità, quindi secondo il teorema di Bayes,

P(E _io |A) = P(E _io )P(A|E _io ) / ∑ P(E _K )P(A|E _K )

per k = 1, 2, 3, …., n

Esempio

1. Peschiamo due carte da un mazzo di carte mescolate con sostituzioni. Trova la probabilità che la seconda carta diventi un re.

Spiegazione:- Sia A – rappresenti l'evento in cui la prima carta diventa un re. B – rappresenta l'evento in cui la prima carta non è un re. E – rappresenta l'evento in cui la seconda carta è un re. Quindi la probabilità che la seconda carta sia un re o meno sarà rappresentata dalla legge della probabilità totale come:

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

Dove P(E) è la probabilità che la seconda carta sia un re, P(A) è la probabilità che la prima carta sia un re, P(E|A) è la probabilità che la seconda carta sia un re dato che la prima carta è un re, P(B) è la probabilità che la prima carta non sia un re, P(E|B) è la probabilità che la seconda carta sia un re ma la prima carta estratta non sia un re. Secondo la domanda:

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

Perciò,

kajal aggarwal

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

Domande frequenti sulla legge della probabilità totale

D.1: A cosa serve la probabilità totale?

Risposta:

La legge della probabilità totale viene utilizzata per calcolare la probabilità di un evento dato un numero qualsiasi di eventi correlati. Utilizzare il Teorema di Baye per aggiornare la probabilità di un'ipotesi data nuova prova.

D.2: La probabilità totale è sempre 1?

Risposta:

La somma delle probabilità di tutti gli eventi è sempre 1.

D.3: La probabilità totale può essere maggiore di 1?

Risposta:

No, la probabilità totale non può essere maggiore di 1.