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Tempo minimo richiesto per produrre m articoli

Dato N macchine rappresentate da un array di numeri interi arr[] Dove arr[i] indica il tempo (in secondi) impiegato dal i-esimo macchina per produrre uno articolo. Tutte le macchine funzionano contemporaneamente e continuamente. Inoltre ci viene fornito anche un numero intero M che rappresenta il numero totale di elementi richiesti . Il compito è determinare il tempo minimo necessario per produrre esattamente M articoli in modo efficiente.

Esempi:  

Ingresso: arr[] = [2 4 5] m = 7
Produzione: 8
Spiegazione: Il modo ottimale di produrre 7 elementi in minimo il tempo è 8 secondi. Ogni macchina produce articoli a velocità diverse:



  • Macchina 1 produce un oggetto ogni 2 secondi → Produce 8/2 = 4 elementi dentro 8 secondi.
  • Macchina 2 produce un oggetto ogni 4 secondi → Produce 8/4 = 2 elementi dentro 8 secondi.
  • Macchina 3 produce un oggetto ogni 5 secondi → Produce 8/5 = 1 elemento in 8 secondi.

Totale articoli prodotti in 8 secondi = 4 + 2 + 1 = 7


Ingresso: arr[] = [2 3 5 7] m = 10
Produzione: 9
Spiegazione: Il modo ottimale di produrre 10 elementi in minimo il tempo è 9 secondi. Ogni macchina produce articoli a velocità diverse:

  • La macchina 1 produce un articolo ogni 2 secondi - Produce 9/2 = 4 elementi in 9 secondi.
  • La macchina 2 produce un articolo ogni 3 secondi - Produce 9/3 = 3 elementi in 9 secondi.
  • La macchina 3 produce un articolo ogni 5 secondi - Produce 9/5 = 1 elemento in 9 secondi.
  • La macchina 4 produce un articolo ogni 7 secondi - Produce 9/7 = 1 elemento in 9 secondi.

Totale articoli prodotti in 9 secondi = 4 + 3 + 1 + 1 = 10

Sommario

Utilizzando il metodo della forza bruta: tempo O(n*m*min(arr)) e spazio O(1).

L'idea è quella di controllare in modo incrementale il tempo minimo richiesto per produrre esattamente M elementi. Iniziamo con tempo = 1 e continuare ad aumentarlo fino al totale degli articoli prodotti da tutte le macchine ≥m . Ad ogni passaggio temporale calcoliamo il numero di articoli che ciascuna macchina può produrre utilizzando ora / arr[i] e riassumerli. Poiché tutte le macchine funzionano contemporaneamente questo approccio garantisce di trovare il tempo valido più piccolo.

C++ 
// C++ program to find minimum time  // required to produce m items using  // Brute Force Approach #include    using namespace std; int minTimeReq(vector<int> &arr int m) {    // Start checking from time = 1  int time = 1;    while (true) {  int totalItems = 0;  // Calculate total items produced at   // current time  for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {  totalItems += time / arr[i];  }  // If we produce at least m items   // return the time  if (totalItems >= m) {  return time;  }  // Otherwise increment time and   // continue checking  time++;  } } int main() {  vector<int> arr = {2 4 5};  int m = 7;  cout << minTimeReq(arr m) << endl;  return 0; }
Java 
// Java program to find minimum time  // required to produce m items using  // Brute Force Approach import java.util.*; class GfG {  static int minTimeReq(int arr[] int m) {    // Start checking from time = 1  int time = 1;    while (true) {  int totalItems = 0;  // Calculate total items produced at   // current time  for (int i = 0; i < arr.length; i++) {  totalItems += time / arr[i];  }  // If we produce at least m items   // return the time  if (totalItems >= m) {  return time;  }  // Otherwise increment time and   // continue checking  time++;  }  }  public static void main(String[] args) {    int arr[] = {2 4 5};  int m = 7;  System.out.println(minTimeReq(arr m));  } }
Python 
# Python program to find minimum time  # required to produce m items using  # Brute Force Approach def minTimeReq(arr m): # Start checking from time = 1 time = 1 while True: totalItems = 0 # Calculate total items produced at  # current time for i in range(len(arr)): totalItems += time // arr[i] # If we produce at least m items  # return the time if totalItems >= m: return time # Otherwise increment time and  # continue checking time += 1 if __name__ == '__main__': arr = [2 4 5] m = 7 print(minTimeReq(arr m))
C# 
// C# program to find minimum time  // required to produce m items using  // Brute Force Approach using System; class GfG {  static int minTimeReq(int[] arr int m) {    // Start checking from time = 1  int time = 1;    while (true) {  int totalItems = 0;  // Calculate total items produced at   // current time  for (int i = 0; i < arr.Length; i++) {  totalItems += time / arr[i];  }  // If we produce at least m items   // return the time  if (totalItems >= m) {  return time;  }  // Otherwise increment time and   // continue checking  time++;  }  }  public static void Main() {    int[] arr = {2 4 5};  int m = 7;  Console.WriteLine(minTimeReq(arr m));  } }
JavaScript 
// JavaScript program to find minimum time  // required to produce m items using  // Brute Force Approach function minTimeReq(arr m) {    // Start checking from time = 1  let time = 1;    while (true) {  let totalItems = 0;  // Calculate total items produced at   // current time  for (let i = 0; i < arr.length; i++) {  totalItems += Math.floor(time / arr[i]);  }  // If we produce at least m items   // return the time  if (totalItems >= m) {  return time;  }  // Otherwise increment time and   // continue checking  time++;  } } // Input values let arr = [2 4 5]; let m = 7; console.log(minTimeReq(arr m));

Produzione 
8

Complessità temporale: O(n*m*min(arr)) perché per ogni unità di tempo (fino a m * min(arr)) iteriamo attraverso n macchine per contare gli articoli prodotti.
Complessità spaziale: O(1) poiché vengono utilizzate solo poche variabili intere; non viene assegnato spazio aggiuntivo.

Utilizzo della ricerca binaria: O(n*log(m*min(arr))) Tempo e O(1) Spazio

IL idea è usare Ricerca binaria invece di controllare ogni volta in sequenza osserviamo che il totale degli articoli prodotti in un dato tempo T può essere computato SU) . L'osservazione chiave è che il tempo minimo possibile è 1 e il tempo massimo possibile è m * minTempoMacchina . Applicando ricerca binaria su questo intervallo controlliamo ripetutamente il valore medio per determinare se è sufficiente e adattiamo di conseguenza lo spazio di ricerca.

Passaggi per implementare l'idea di cui sopra:

  • Impostato a sinistra a 1 e Giusto A m * minTempoMacchina per definire lo spazio di ricerca.
  • Inizializza ans con Giusto per memorizzare il tempo minimo richiesto.
  • Esegui la ricerca binaria Mentre Sinistra è inferiore o uguale a Giusto .
  • Calcola la metà e calcolare totalItems eseguendo un'iterazione arr e riassumendo metà / arr[i] .
  • Se totalItems è almeno m aggiornamento anni E cercare un tempo più piccolo. Altrimenti regolatevi Sinistra A metà + 1 per un tempo maggiore.
  • Continua la ricerca fino a quando non viene trovato il tempo minimo ottimale.
C++ 
// C++ program to find minimum time  // required to produce m items using  // Binary Search Approach #include    using namespace std; int minTimeReq(vector<int> &arr int m) {    // Find the minimum value in arr manually  int minMachineTime = arr[0];  for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {  if (arr[i] < minMachineTime) {  minMachineTime = arr[i];  }  }  // Define the search space  int left = 1;  int right = m * minMachineTime;  int ans = right;    while (left <= right) {    // Calculate mid time  int mid = left + (right - left) / 2;  int totalItems = 0;  // Calculate total items produced in 'mid' time  for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {  totalItems += mid / arr[i];  }  // If we can produce at least m items  // update answer  if (totalItems >= m) {  ans = mid;    // Search for smaller time  right = mid - 1;  }   else {    // Search in right half  left = mid + 1;  }  }    return ans; } int main() {    vector<int> arr = {2 4 5};  int m = 7;  cout << minTimeReq(arr m) << endl;  return 0; }
Java 
// Java program to find minimum time  // required to produce m items using  // Binary Search Approach import java.util.*; class GfG {    static int minTimeReq(int[] arr int m) {    // Find the minimum value in arr manually  int minMachineTime = arr[0];  for (int i = 1; i < arr.length; i++) {  if (arr[i] < minMachineTime) {  minMachineTime = arr[i];  }  }  // Define the search space  int left = 1;  int right = m * minMachineTime;  int ans = right;    while (left <= right) {    // Calculate mid time  int mid = left + (right - left) / 2;  int totalItems = 0;  // Calculate total items produced in 'mid' time  for (int i = 0; i < arr.length; i++) {  totalItems += mid / arr[i];  }  // If we can produce at least m items  // update answer  if (totalItems >= m) {  ans = mid;    // Search for smaller time  right = mid - 1;  }   else {    // Search in right half  left = mid + 1;  }  }    return ans;  }  public static void main(String[] args) {    int[] arr = {2 4 5};  int m = 7;  System.out.println(minTimeReq(arr m));  } }
Python 
# Python program to find minimum time  # required to produce m items using  # Binary Search Approach def minTimeReq(arr m): # Find the minimum value in arr manually minMachineTime = arr[0] for i in range(1 len(arr)): if arr[i] < minMachineTime: minMachineTime = arr[i] # Define the search space left = 1 right = m * minMachineTime ans = right while left <= right: # Calculate mid time mid = left + (right - left) // 2 totalItems = 0 # Calculate total items produced in 'mid' time for i in range(len(arr)): totalItems += mid // arr[i] # If we can produce at least m items # update answer if totalItems >= m: ans = mid # Search for smaller time right = mid - 1 else: # Search in right half left = mid + 1 return ans if __name__ == '__main__': arr = [2 4 5] m = 7 print(minTimeReq(arr m))
C# 
// C# program to find minimum time  // required to produce m items using  // Binary Search Approach using System; class GfG {    static int minTimeReq(int[] arr int m) {    // Find the minimum value in arr manually  int minMachineTime = arr[0];  for (int i = 1; i < arr.Length; i++) {  if (arr[i] < minMachineTime) {  minMachineTime = arr[i];  }  }  // Define the search space  int left = 1;  int right = m * minMachineTime;  int ans = right;    while (left <= right) {    // Calculate mid time  int mid = left + (right - left) / 2;  int totalItems = 0;  // Calculate total items produced in 'mid' time  for (int i = 0; i < arr.Length; i++) {  totalItems += mid / arr[i];  }  // If we can produce at least m items  // update answer  if (totalItems >= m) {  ans = mid;    // Search for smaller time  right = mid - 1;  }   else {    // Search in right half  left = mid + 1;  }  }    return ans;  }  static void Main() {    int[] arr = {2 4 5};  int m = 7;  Console.WriteLine(minTimeReq(arr m));  } }
JavaScript 
// JavaScript program to find minimum time  // required to produce m items using  // Binary Search Approach function minTimeReq(arr m) {    // Find the minimum value in arr manually  let minMachineTime = arr[0];  for (let i = 1; i < arr.length; i++) {  if (arr[i] < minMachineTime) {  minMachineTime = arr[i];  }  }  // Define the search space  let left = 1;  let right = m * minMachineTime;  let ans = right;    while (left <= right) {    // Calculate mid time  let mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);  let totalItems = 0;  // Calculate total items produced in 'mid' time  for (let i = 0; i < arr.length; i++) {  totalItems += Math.floor(mid / arr[i]);  }  // If we can produce at least m items  // update answer  if (totalItems >= m) {  ans = mid;    // Search for smaller time  right = mid - 1;  }   else {    // Search in right half  left = mid + 1;  }  }    return ans; } // Driver code let arr = [2 4 5]; let m = 7; console.log(minTimeReq(arr m));

Produzione 
8

Complessità temporale: O(n log(m*min(arr))) poiché la ricerca binaria viene eseguita log(m × min(arr)) volte ciascuno controllando n macchine.
Complessità spaziale: O(1) poiché vengono utilizzate solo poche variabili extra rendendolo uno spazio costante.
 

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