Se vogliamo imparare le affermazioni inverse, inverse e contrapositive, dobbiamo vedere il nostro articolo precedente, Connettivi logici.
Connettivi logici
I connettivi logici sono un tipo di operatore che viene utilizzato per combinare una o più proposizioni. Esistono fondamentalmente 5 tipi di connettivi nella logica proposizionale. In questa sezione impareremo il contrario, l'inverso e il contropositivo degli enunciati condizionali.
Converso, Inverso e Contrapositivo
Se esiste un'istruzione condizionale x → y, allora
- L'affermazione opposta sarà y → x
- L'affermazione inversa sarà ∼x → ∼y
- L'affermazione contrapositiva sarà ∼y → ∼x
Note importanti:
Ci sono alcuni punti importanti che dovremmo tenere a mente, che sono descritti come segue:
Nota 1: Possiamo scrivere gli enunciati inversi, inversi e contrapositivi solo per gli enunciati condizionali x → y.
Nota 2: Se eseguiamo due azioni, l'output sarà sempre la terza.
Per esempio:
- Il contrapositivo può essere descritto come l'inverso del contrario.
- Converse può essere descritto come l'inverso del contrapositivo.
- Il contrapositivo può essere descritto come il contrario dell'inverso.
- L'inverso può essere descritto come il contrario di contrapositivo.
- Converse può essere descritto come contrapositivo di inverso.
- L'inverso può essere descritto come contrapositivo del contrario.
Nota 3:
Per un'istruzione condizionale x → y,
Ci sarà un risultato uguale tra la sua affermazione inversa (y → x) e l'affermazione inversa (∼x → ∼y).
Ci sarà lo stesso risultato anche tra x → y e la sua affermazione contrapositiva (∼y → ∼x).
Problema basato su Converse, Inverso e Contrapositivo
Ci sono alcuni problemi sulla base del contrario, inverso e contrapositivo, e ne mostreremo alcuni in questo modo:
Problema 1:
Qui scriveremo il contrario, l'inverso e il contrapositivo di alcune affermazioni, che sono mostrate di seguito:
- Se il tempo è soleggiato, andrò a scuola.
- Se 3y - 2 = 10, allora x = 1.
- Se piove, esco fuori a godermelo.
- Otterrai buoni voti solo se studi duramente.
- Andrò al mercato se vengono i miei cugini.
- Vado al college ogni volta che vengono i miei amici.
- Ti farò una festa solo se comprerò un bel vestito.
- Se diventerò famoso, guadagnerò un sacco di soldi.
Soluzione:
Parte 1:
Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Se il tempo è soleggiato, andrò a scuola'.
Questa affermazione deve avere la forma: 'se x allora y'.
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove
x: Il tempo è soleggiato
y: Andrò a scuola
Dichiarazione Converse: Se vado a scuola, allora il tempo è soleggiato.
Dichiarazione inversa: Se il tempo non è soleggiato, non andrò a scuola.
Dichiarazione contrapositiva: Se non vado a scuola, significa che il tempo non è soleggiato.
Parte 2:
Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Se 3a - 2 = 10, allora a = 1'.
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Questa affermazione deve avere la forma: 'se x allora y'.
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove
x: 3a - 2 = 10
e: a = 1
Dichiarazione Converse: Se a = 1, allora 3a - 2 = 10.
Dichiarazione inversa: Se 3a - 2 ≠ 10, allora a ≠ 1.
Dichiarazione contrapositiva: Se a ≠ 1, allora 3a - 2 ≠ 10.
Parte 3:
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Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Se piove, allora uscirò per godermelo'.
Questa affermazione deve avere la forma: 'se x allora y'.
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove
X: C'è tempo piovoso
Y: Andrò fuori a godermelo
Dichiarazione Converse: Se esco fuori per godermelo, allora piove.
Dichiarazione inversa: Se non piove, non uscirò per godermelo.
Dichiarazione contrapositiva: Se non esco a godermelo, allora non ci sarà tempo piovoso.
Parte 4:
Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Otterrai buoni voti solo se studi duramente'.
Questa affermazione deve avere la forma: 'x solo se y'.
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove
X: Otterrai buoni voti
Y: Studi duro
Dichiarazione Converse: Se studi duramente, otterrai buoni voti.
Dichiarazione inversa: Se non ottieni buoni voti, non studi duramente.
Dichiarazione contrapositiva: Se non studi duramente, non otterrai buoni voti.
Parte 5:
Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Andrò al mercato se vengono i miei cugini'.
Questa affermazione deve avere la forma: 'y se x'.
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove
X: Vengono i miei cugini
Y: Andrò al mercato
Dichiarazione Converse: Se vado al mercato, vengono i miei cugini.
Dichiarazione inversa: Se i miei cugini non vengono, non andrò al mercato.
Dichiarazione contrapositiva: Se non vado al mercato, i miei cugini non verranno.
Parte 6:
Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Vado al college ogni volta che vengono i miei amici'.
In questa affermazione, 'ogniqualvolta' può essere sostituito con 'se'.
Dopo aver sostituito la frase sarà: 'Vado all'università se vengono i miei amici'
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove
X: Vengono i miei amici
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Y: Vado al college
Dichiarazione Converse: Se vado al college, poi vengono i miei amici.
Dichiarazione inversa: Se i miei amici non vengono, non andrò al college.
Dichiarazione contrapositiva: Se non vado al college, i miei amici non verranno.
Parte 7:
Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Ti darò una festa solo se comprerò un bel vestito'.
Questa affermazione deve avere la forma: 'x solo se y'.
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove
X: Ti darò solo una festa
Y: Compro un bel vestito
Dichiarazione Converse: Se compro un bel vestito, ti darò una festa.
Dichiarazione inversa: Se non ti faccio una festa, non compro un bel vestito.
Dichiarazione contrapositiva: Se non compro un bel vestito, non ti darò una festa.
Parte 8:
Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Se divento famoso, guadagnerò un sacco di soldi'.
Questa affermazione deve avere la forma: 'Se x allora y'.
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove
X: Divento famoso
Y: Guadagnerò un sacco di soldi
Dichiarazione Converse: Se guadagno molti soldi, divento famoso.
Dichiarazione inversa: Se non divento famoso, non guadagnerò molti soldi.
Dichiarazione contrapositiva: Se non guadagno molti soldi, non diventerò famoso.
Problema 2:
Qui dobbiamo determinare l'affermazione inversa, cioè 'vado a scuola solo se il tempo è soleggiato' tra tutte le affermazioni fornite.
- Vado a scuola se il tempo è soleggiato
- Se vado a scuola, il tempo è soleggiato
- Se il tempo non è soleggiato, non vado a scuola.
- Se non vado a scuola, il tempo è soleggiato.
Soluzione:
Abbiamo i seguenti dettagli:
L'affermazione data è: 'Vado a scuola solo se il tempo è soleggiato'.
Questa affermazione deve avere la forma: 'x solo se y'. Possiamo anche scriverlo come 'Se x allora y'.
Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y. Il contrario di questa forma sarà y → x, dove
X: Vado a scuola
Y: Il tempo è soleggiato
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Come sappiamo, l'affermazione inversa dell'affermazione data sarà 'Se il tempo è soleggiato, allora vado a scuola', che è nella forma 'se y allora x'.
- IL prima affermazione È VERO . La prima affermazione è: 'Vado a scuola se il tempo è soleggiato'. Questa affermazione è nella forma 'x se y'. Possiamo anche scriverlo come 'se x allora y', che indica che 'Se il tempo è soleggiato, allora vado a scuola', che è l'opposto di una determinata affermazione. Ecco perché la prima affermazione è vera.
- IL seconda affermazione È falso . La seconda affermazione è: 'Se vado a scuola, il tempo è soleggiato' e questa affermazione è nella forma 'se x allora y'. La seconda affermazione è già data nella domanda. Ecco perché non è vero.
- IL terza affermazione È falso . La terza affermazione è: 'Se il tempo non è soleggiato, non vado a scuola'. Questa affermazione è nella forma '∼y → ∼x'. Non è il contrario perché questa affermazione è l’inverso dell’affermazione fornita nella domanda. Ecco perché questa affermazione non è vera.
- IL quarta affermazione È falso . La quarta affermazione è: 'Se non vado a scuola, allora il tempo è soleggiato'. Questa affermazione è nella forma '∼x → y. Questa forma è qualcosa di diverso perché non è né inversa né inversa né contrapositiva. Questo perché un lato è negativo e l'altro non è negativo, quindi non rientra in nessuna delle categorie. Ecco perché questa affermazione non è vera.
Pertanto, l’opzione (A) è vera.