Se vogliamo imparare le affermazioni inverse, inverse e contrapositive, dobbiamo vedere il nostro articolo precedente, Connettivi logici.

Connettivi logici

I connettivi logici sono un tipo di operatore che viene utilizzato per combinare una o più proposizioni. Esistono fondamentalmente 5 tipi di connettivi nella logica proposizionale. In questa sezione impareremo il contrario, l'inverso e il contropositivo degli enunciati condizionali.

Converso, Inverso e Contrapositivo

Se esiste un'istruzione condizionale x → y, allora

• L'affermazione opposta sarà y → x
• L'affermazione inversa sarà ∼x → ∼y
• L'affermazione contrapositiva sarà ∼y → ∼x

Note importanti:

Ci sono alcuni punti importanti che dovremmo tenere a mente, che sono descritti come segue:

Nota 1: Possiamo scrivere gli enunciati inversi, inversi e contrapositivi solo per gli enunciati condizionali x → y.

Nota 2: Se eseguiamo due azioni, l'output sarà sempre la terza.

Per esempio:

• Il contrapositivo può essere descritto come l'inverso del contrario.
• Converse può essere descritto come l'inverso del contrapositivo.
• Il contrapositivo può essere descritto come il contrario dell'inverso.
• L'inverso può essere descritto come il contrario di contrapositivo.
• Converse può essere descritto come contrapositivo di inverso.
• L'inverso può essere descritto come contrapositivo del contrario.

Nota 3:

Per un'istruzione condizionale x → y,

Ci sarà un risultato uguale tra la sua affermazione inversa (y → x) e l'affermazione inversa (∼x → ∼y).

Ci sarà lo stesso risultato anche tra x → y e la sua affermazione contrapositiva (∼y → ∼x).

Problema basato su Converse, Inverso e Contrapositivo

Ci sono alcuni problemi sulla base del contrario, inverso e contrapositivo, e ne mostreremo alcuni in questo modo:

Problema 1:

Qui scriveremo il contrario, l'inverso e il contrapositivo di alcune affermazioni, che sono mostrate di seguito:

1. Se il tempo è soleggiato, andrò a scuola.
2. Se 3y - 2 = 10, allora x = 1.
3. Se piove, esco fuori a godermelo.
4. Otterrai buoni voti solo se studi duramente.
5. Andrò al mercato se vengono i miei cugini.
6. Vado al college ogni volta che vengono i miei amici.
7. Ti farò una festa solo se comprerò un bel vestito.
8. Se diventerò famoso, guadagnerò un sacco di soldi.

Soluzione:

Parte 1:

Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Se il tempo è soleggiato, andrò a scuola'.

Questa affermazione deve avere la forma: 'se x allora y'.

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove

x: Il tempo è soleggiato

y: Andrò a scuola

Dichiarazione Converse: Se vado a scuola, allora il tempo è soleggiato.

Dichiarazione inversa: Se il tempo non è soleggiato, non andrò a scuola.

Dichiarazione contrapositiva: Se non vado a scuola, significa che il tempo non è soleggiato.

Parte 2:

Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Se 3a - 2 = 10, allora a = 1'.

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Questa affermazione deve avere la forma: 'se x allora y'.

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove

x: 3a ​​- 2 = 10

e: a = 1

Dichiarazione Converse: Se a = 1, allora 3a - 2 = 10.

Dichiarazione inversa: Se 3a - 2 ≠ 10, allora a ≠ 1.

Dichiarazione contrapositiva: Se a ≠ 1, allora 3a - 2 ≠ 10.

Parte 3:

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Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Se piove, allora uscirò per godermelo'.

Questa affermazione deve avere la forma: 'se x allora y'.

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove

X: C'è tempo piovoso

Y: Andrò fuori a godermelo

Dichiarazione Converse: Se esco fuori per godermelo, allora piove.

Dichiarazione inversa: Se non piove, non uscirò per godermelo.

Dichiarazione contrapositiva: Se non esco a godermelo, allora non ci sarà tempo piovoso.

Parte 4:

Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Otterrai buoni voti solo se studi duramente'.

Questa affermazione deve avere la forma: 'x solo se y'.

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove

X: Otterrai buoni voti

Y: Studi duro

Dichiarazione Converse: Se studi duramente, otterrai buoni voti.

Dichiarazione inversa: Se non ottieni buoni voti, non studi duramente.

Dichiarazione contrapositiva: Se non studi duramente, non otterrai buoni voti.

Parte 5:

Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Andrò al mercato se vengono i miei cugini'.

Questa affermazione deve avere la forma: 'y se x'.

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove

X: Vengono i miei cugini

Y: Andrò al mercato

Dichiarazione Converse: Se vado al mercato, vengono i miei cugini.

Dichiarazione inversa: Se i miei cugini non vengono, non andrò al mercato.

Dichiarazione contrapositiva: Se non vado al mercato, i miei cugini non verranno.

Parte 6:

Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Vado al college ogni volta che vengono i miei amici'.

In questa affermazione, 'ogniqualvolta' può essere sostituito con 'se'.

Dopo aver sostituito la frase sarà: 'Vado all'università se vengono i miei amici'

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove

X: Vengono i miei amici

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Y: Vado al college

Dichiarazione Converse: Se vado al college, poi vengono i miei amici.

Dichiarazione inversa: Se i miei amici non vengono, non andrò al college.

Dichiarazione contrapositiva: Se non vado al college, i miei amici non verranno.

Parte 7:

Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Ti darò una festa solo se comprerò un bel vestito'.

Questa affermazione deve avere la forma: 'x solo se y'.

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove

X: Ti darò solo una festa

Y: Compro un bel vestito

Dichiarazione Converse: Se compro un bel vestito, ti darò una festa.

Dichiarazione inversa: Se non ti faccio una festa, non compro un bel vestito.

Dichiarazione contrapositiva: Se non compro un bel vestito, non ti darò una festa.

Parte 8:

Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Se divento famoso, guadagnerò un sacco di soldi'.

Questa affermazione deve avere la forma: 'Se x allora y'.

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y, dove

X: Divento famoso

Y: Guadagnerò un sacco di soldi

Dichiarazione Converse: Se guadagno molti soldi, divento famoso.

Dichiarazione inversa: Se non divento famoso, non guadagnerò molti soldi.

Dichiarazione contrapositiva: Se non guadagno molti soldi, non diventerò famoso.

Problema 2:

Qui dobbiamo determinare l'affermazione inversa, cioè 'vado a scuola solo se il tempo è soleggiato' tra tutte le affermazioni fornite.

1. Vado a scuola se il tempo è soleggiato
2. Se vado a scuola, il tempo è soleggiato
3. Se il tempo non è soleggiato, non vado a scuola.
4. Se non vado a scuola, il tempo è soleggiato.

Soluzione:

Abbiamo i seguenti dettagli:

L'affermazione data è: 'Vado a scuola solo se il tempo è soleggiato'.

Questa affermazione deve avere la forma: 'x solo se y'. Possiamo anche scriverlo come 'Se x allora y'.

Quindi, questa affermazione contiene una forma simbolica, cioè x → y. Il contrario di questa forma sarà y → x, dove

X: Vado a scuola

Y: Il tempo è soleggiato

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Come sappiamo, l'affermazione inversa dell'affermazione data sarà 'Se il tempo è soleggiato, allora vado a scuola', che è nella forma 'se y allora x'.

• IL prima affermazione È VERO . La prima affermazione è: 'Vado a scuola se il tempo è soleggiato'. Questa affermazione è nella forma 'x se y'. Possiamo anche scriverlo come 'se x allora y', che indica che 'Se il tempo è soleggiato, allora vado a scuola', che è l'opposto di una determinata affermazione. Ecco perché la prima affermazione è vera.
• IL seconda affermazione È falso . La seconda affermazione è: 'Se vado a scuola, il tempo è soleggiato' e questa affermazione è nella forma 'se x allora y'. La seconda affermazione è già data nella domanda. Ecco perché non è vero.
• IL terza affermazione È falso . La terza affermazione è: 'Se il tempo non è soleggiato, non vado a scuola'. Questa affermazione è nella forma '∼y → ∼x'. Non è il contrario perché questa affermazione è l’inverso dell’affermazione fornita nella domanda. Ecco perché questa affermazione non è vera.
• IL quarta affermazione È falso . La quarta affermazione è: 'Se non vado a scuola, allora il tempo è soleggiato'. Questa affermazione è nella forma '∼x → y. Questa forma è qualcosa di diverso perché non è né inversa né inversa né contrapositiva. Questo perché un lato è negativo e l'altro non è negativo, quindi non rientra in nessuna delle categorie. Ecco perché questa affermazione non è vera.

Pertanto, l’opzione (A) è vera.