La logica proposizionale (PL) è la forma più semplice di logica in cui tutte le affermazioni sono fatte da proposizioni. Una proposizione è un'affermazione dichiarativa che può essere vera o falsa. È una tecnica di rappresentazione della conoscenza in forma logica e matematica.

Esempio:

 a) It is Sunday. b) The Sun rises from West (False proposition) c) 3+3= 7(False proposition) d) 5 is a prime number. 

Di seguito sono riportati alcuni fatti fondamentali sulla logica proposizionale:

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• La logica proposizionale è anche chiamata logica booleana poiché funziona su 0 e 1.
• Nella logica proposizionale, usiamo variabili simboliche per rappresentare la logica e possiamo usare qualsiasi simbolo per rappresentare una proposizione, come A, B, C, P, Q, R, ecc.
• Le proposizioni possono essere vere o false, ma non possono essere entrambe le cose.
• La logica proposizionale consiste in un oggetto, relazioni o funzione e connettivi logici .
• Questi connettivi sono anche chiamati operatori logici.
• Le proposizioni e i connettivi sono gli elementi base della logica proposizionale.
• I connettivi possono essere detti come un operatore logico che collega due frasi.
• Viene chiamata una formula di proposizione che è sempre vera tautologia , ed è anche chiamata frase valida.
• Viene chiamata una formula di proposizione che è sempre falsa Contraddizione .
• Viene chiamata una formula di proposizione che ha sia valori veri che falsi
• Affermazioni che sono domande, comandi o opinioni non sono proposizioni come ' Dov'è Rohini? ', ' Come stai ', ' Come ti chiami ', non sono proposizioni.

Sintassi della logica proposizionale:

La sintassi della logica proposizionale definisce le frasi consentite per la rappresentazione della conoscenza. Esistono due tipi di proposizioni:

Proposizioni atomiche Proposizioni composte

Proposizione atomica:Le proposizioni atomiche sono le proposizioni semplici. Consiste in un unico simbolo di proposizione. Queste sono le frasi che devono essere vere o false.

Esempio:

 a) 2+2 is 4, it is an atomic proposition as it is a true fact. b) 'The Sun is cold' is also a proposition as it is a false fact. 

Proposta composta:Le proposizioni composte sono costruite combinando proposizioni più semplici o atomiche, utilizzando parentesi e connettivi logici.

Esempio:

 a) 'It is raining today, and street is wet.' b) 'Ankit is a doctor, and his clinic is in Mumbai.' 

Connettivi logici:

I connettivi logici vengono utilizzati per collegare due proposizioni più semplici o per rappresentare logicamente una frase. Possiamo creare proposizioni composte con l'aiuto di connettivi logici. Ci sono principalmente cinque connettivi, che sono dati come segue:

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Negazione:Una frase come ¬ P è chiamata negazione di P. Un letterale può essere letterale positivo o letterale negativo.Congiunzione:Una frase che ha ∧ connettivo come, P ∧ Q si chiama congiunzione.
Esempio: Rohan è intelligente e laborioso. Può essere scritto come,
P= Rohan è intelligente ,
D= Rohan è un gran lavoratore. → P∧ Q .Disgiunzione:Una frase che ha ∨ connettivo, come P∨Q . si chiama disgiunzione, dove P e Q sono le proposizioni.
Esempio: 'Ritika è un medico o un ingegnere' ,
Qui P= Ritika è il Dottore. Q= Ritika è il Dottore, quindi possiamo scriverlo come P∨Q .Coinvolgimento:Una frase come P → Q è chiamata implicazione. Le implicazioni sono note anche come regole if-then. Può essere rappresentato come
Se piove, quindi la strada è bagnata.
Sia P= Piove e Q= La strada è bagnata, quindi è rappresentato come P → QBicondizionale:Una frase come P⇔ Q è una frase bicondizionale, esempio Se respiro, allora sono vivo
P= sto respirando, Q= sono vivo, può essere rappresentato come P ⇔ Q.

Di seguito è riportata la tabella riepilogativa per i connettivi logici proposizionali:

Tabella della verità:

Nella logica proposizionale, dobbiamo conoscere i valori di verità delle proposizioni in tutti gli scenari possibili. Possiamo combinare tutte le possibili combinazioni con connettivi logici, e la rappresentazione di queste combinazioni in formato tabellare si chiama Tavola della verità . Di seguito sono riportate le tabelle di verità per tutti i connettivi logici:

Tavola della verità con tre proposizioni:

Possiamo costruire una proposizione componendo tre proposizioni P, Q e R. Questa tabella di verità è composta da 8n tuple poiché abbiamo preso tre simboli di proposizione.

Precedenza dei connettivi:

Proprio come gli operatori aritmetici, esiste un ordine di precedenza per i connettori proposizionali o gli operatori logici. Questo ordine dovrebbe essere seguito durante la valutazione di un problema proposizionale. Di seguito l'elenco dell'ordine di precedenza degli operatori:

Nota: per una migliore comprensione utilizzare le parentesi per assicurarsi delle interpretazioni corrette. Come ¬R∨ Q, può essere interpretato come (¬R) ∨ Q.

Equivalenza logica:

L’equivalenza logica è una delle caratteristiche della logica proposizionale. Due proposizioni si dicono logicamente equivalenti se e solo se le colonne della tavola di verità sono identiche tra loro.

Prendiamo due proposizioni A e B, quindi per l'equivalenza logica possiamo scriverla come A⇔B. Nella tabella della verità seguente possiamo vedere che la colonna per ¬A∨ B e A→B sono identiche quindi A è equivalente a B

Proprietà degli operatori:

Commutatività:
• P∧ Q= Q ∧ P, oppure
• P∨Q = Q∨P.
Associatività:
• (P ∧ Q) ∧ R= P ∧ (Q ∧ R),
• (P ∨ Q) ∨ R= P ∨ (Q ∨ R)
Elemento identitario:
• P ∧ Vero = P,
• P ∨ Vero= Vero.
Distributivo:
• P∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
• P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Legge di DE Morgan:
• 2 > 4 8 2 > 4 8 2 > 4 5 =
• ¬ ( P ∨ Q ) = ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ).
Eliminazione della doppia negazione:
• ¬ (¬P) = P.

Limitazioni della logica proposizionale:

• Non possiamo rappresentare relazioni come TUTTI, alcuni o nessuno con la logica proposizionale. Esempio:
  Tutte le ragazze sono intelligenti.
Alcune mele sono dolci.
• La logica proposizionale ha un potere espressivo limitato.
• Nella logica proposizionale non possiamo descrivere gli enunciati in termini delle loro proprietà o relazioni logiche.