Funzioni in matematica possono essere pensati come dei distributori automatici. Dato il denaro sotto forma di input, danno in cambio alcune lattine o biscotti. Allo stesso modo, le funzioni accettano alcuni numeri in input e ci forniscono un output. Si può dire che, nella vita reale, tutto può essere formulato e risolto con l'aiuto delle funzioni. Dalla progettazione degli edifici e dell'architettura ai mega grattacieli, il modello matematico di quasi tutto nella vita reale richiede funzioni, pertanto non si può evitare che le funzioni abbiano un significato enorme nelle nostre vite. Dominio e Intervallo sono un aspetto attraverso il quale è possibile descrivere una funzione.
Per esempio: Supponiamo che sulla macchina sia scritto che solo le banconote da Rs.20 e Rs.50 possono essere utilizzate per acquistare qualcosa. Cosa succede se qualcuno usa banconote da Rs.10? La macchina non darà alcun risultato. Quindi, il dominio rappresenta il tipo di input che possiamo avere in una funzione. In questo caso, le banconote da Rs.20 e Rs.50 sono di dominio del distributore automatico. Allo stesso modo, non importa quanti soldi si mettono nella macchinetta, non si otterranno mai dei panini. Qui entra quindi in gioco il concetto di range, il range è il possibile output che la macchina può dare.
Campo e dominio di una funzione
Dominio di una funzione:
Un dominio è costituito da tutti i valori che possono entrare in una funzione per la quale fornisce un output valido. È l'insieme di tutti i possibili input di una funzione.
Per esempio: Nella figura seguente, f(x) = x2. L'insieme di tutti gli input è chiamato Dominio e l'insieme di tutti gli output è considerato l'intervallo.
Come trovare il dominio di una funzione?
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Il dominio della funzione dovrebbe contenere tutti i numeri reali tranne i punti in cui il denominatore diventa zero e i termini sotto radice quadrata diventano negativi. Per trovare il dominio, provare a trovare i punti o i valori di input sui quali la funzione non è definita.
Domanda 1: Trova il dominio di
Risposta:
Questa funzione può fornire un output indefinito quando x = 1. Quindi il dominio è R – {1} .
Domanda 2: Trova il dominio della seguente funzione:
Risposta :
È importante non rendere la funzione Infinito o Indefinito, quindi dobbiamo vedere quali valori di Dominio possono rendere la Funzione Indefinita o Infinito.
Dando un'occhiata al denominatore, è chiaro che i valori 3 e 5 rendono il denominatore 0, rendendo quindi la funzione Infinita, il che non è desiderabile.
Pertanto, i valori x=3 e x=5 non possono essere inseriti qui.
Il dominio sarà R – {3,5}.
Domanda 3: Trova i valori del dominio per i quali le funzioni Y = (2x 2 -1) e Z= (1-3x) sono uguali.
Risposta :
Uguagliando le due funzioni:
2 volte2– 1 = 1 – 3 x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x+2) – 1 (x+2)= 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Pertanto, i valori del dominio sono {1/2, -2}.
Intervallo di una funzione
L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i suoi possibili output.
Esempio: Consideriamo una funzione ƒ: A⇢A, dove A = {1,2,3,4}.
Gli elementi dell'insieme Dominio sono chiamati pre-immagini, e gli elementi dell'insieme Co-dominio che sono mappati su pre-immagini sono chiamati immagini. L'ambito di una funzione è l'insieme di tutte le immagini degli elementi del dominio. In questo esempio, l'intervallo della funzione è {2,3}.
Come trovare l'intervallo di una funzione?
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L'intervallo è la diffusione dei valori dell'output di una funzione. Se siamo in grado di calcolare i valori massimo e minimo della funzione, possiamo avere un'idea dell'intervallo della funzione.
Domanda 1: Trova l'intervallo. f(x) =
Risposta:
Ora, poiché la funzione è una radice quadrata, non può mai fornire valori negativi come output. Quindi, il valore minimo può essere 0 solo in x = 1. Il valore massimo può arrivare fino all'infinito man mano che continuiamo ad aumentare x.
Quindi, l'intervallo della funzione è [0,∞).
Domanda 2: Il dominio della funzione ƒ definito da f(x) =
Risposta:
Dato, f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .È necessario garantire due cose durante la selezione dell'insieme di dominio,
- Il denominatore non va mai a zero.
- Il termine è all'interno della radice quadrata non diventa negativo.
Espandiamo ciò che è scritto all'interno del termine all'interno della radice quadrata.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} come eseguire lo script in LinuxIn questo caso, non possiamo inserire nessuno dei valori x ≥ 0 o x <0.
Quindi f non è definita per ogni x ∈ R. Quindi il dominio è un insieme vuoto.
Dominio e ambito delle funzioni quadratiche
Le funzioni quadratiche sono le funzioni della forma f(x) = ax2+ bx + c, dove a, b e c sono costanti e a ≠ 0. Il grafico di una funzione quadratica ha la forma di una parabola. È fondamentalmente una forma curva che si apre verso l'alto o verso il basso.
Diamo un'occhiata a come rappresentare graficamente le funzioni quadratiche,
Quindi, nella nostra funzione quadratica
- se a> 0 la parabola si apre verso l'alto.
- se a <0 la parabola si apre verso il basso.
Ora, il vertice è il punto più alto o più basso della nostra curva a seconda del grafico della funzione quadratica. Trovare il vertice del grafico di un'espressione quadratica generale.
Nella forma quadratica standard, il vertice è dato da
Nota: Ogni curva è simmetrica attorno al proprio asse verticale.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi,
Domanda: Traccia il grafico di f(x) = 2x 2 +4x+2.
Risposta:
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Confronto di questa equazione con l'equazione generale della funzione quadratica. a = 2, b = -4 e c = 2.
Poiché a> 0, questa parabola si aprirà verso l'alto.
- Valore x del vertice =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Valore y del vertice = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Quindi, il vertice è a (-1,0). Poiché la parabola si apre verso l'alto, questo deve essere il valore minimo della funzione.
Il punto in cui il grafico taglia l'asse y è (0,2).
L'intervallo e il dominio delle funzioni quadratiche possono essere individuati facilmente tracciando il grafico. Non è sempre necessario tracciare l'intero grafico, per l'intervallo dovrebbero essere noti solo la direzione della parabola (verso l'alto o verso il basso) e il valore della parabola al vertice. Il valore al vertice è sempre minimo/massimo a seconda della direzione della parabola. Il dominio di tali funzioni è sempre costituito da numeri reali interi perché sono definiti ovunque, ad es; non esiste alcun valore di input che potrebbe indurli a fornire un valore indefinito come output.
Consideriamo un altro esempio riguardante il dominio e l’estensione della parabola.
Domanda: Traccia il grafico e trova il dominio e l'intervallo della funzione data, f(x) = -x 2 +4.
Risposta:
Poiché a = -1. La parabola si aprirà verso il basso cioè; non ci sarà un valore minimo, si estenderà all'infinito. Ma ci sarà un valore massimo che si verificherà al vertice.
Per trovare la posizione del vertice è possibile utilizzare la formula precedente. Il vertice è nella posizione (0,4).
Il valore al vertice (0,4) = (0)2+4 = 4.
Quindi, il valore massimo è 4 e il valore minimo è negativo rispetto all'infinito.
Gamma della funzione – (-∞, 4] e il dominio è R .
