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Triangoli simili

Triangoli simili sono triangoli con la stessa forma ma possono avere dimensioni variabili. Triangoli simili hanno i lati corrispondenti in proporzione tra loro e gli angoli corrispondenti uguali tra loro. I triangoli simili sono diversi dai triangoli congruenti. Due figure congruenti sono sempre simili, ma non è necessario che due figure simili siano congruenti.

Due triangoli si dicono simili quando gli angoli corrispondenti coincidono e i lati sono proporzionali. Ciò significa che triangoli simili hanno la stessa forma, sebbene le loro dimensioni possano differire. D'altra parte, i triangoli sono definiti congruenti quando non solo condividono la stessa forma ma hanno anche i lati corrispondenti di identica lunghezza.



Ora impariamo di più su triangoli simili e le loro proprietà con esempi risolti e altri in dettaglio in questo articolo.

Tabella dei contenuti

Cosa sono simili Triangoli?

I triangoli simili sono triangoli che sembrano simili tra loro, ma le loro dimensioni potrebbero essere diverse. Oggetti simili hanno la stessa forma ma dimensioni diverse. Ciò implica che forme simili, se ingrandite o rimpicciolite, dovrebbero sovrapporsi l'una all'altra. Questa proprietà di forme simili è nota come Somiglianza .



Esistono tre teoremi simili sui triangoli:

  • AA (o AAA) o Teorema della Somiglianza Angolo-Angolo
  • Teorema della similarità SAS o lato-angolo-lato
  • SSS o Teorema della Somiglianza Side-Side-Side

Definizione di triangoli simili

Due triangoli si dicono simili se gli angoli corrispondenti sono uguali e i lati corrispondenti hanno la stessa proporzione. Gli angoli corrispondenti di due triangoli simili devono essere uguali. Triangoli simili possono avere lunghezze rispettive dei lati del triangolo diverse, ma il rapporto tra le lunghezze dei lati corrispondenti deve essere lo stesso.

Quando due triangoli sono simili implica che:



restituendo array in Java
  • Tutte le coppie di angoli corrispondenti nei triangoli sono uguali.
  • Tutte le coppie di lati corrispondenti del triangolo sono proporzionali.

Il simbolo ∼ è usato per rappresentare la somiglianza tra triangoli simili. Quindi, quando due triangoli sono simili, lo scriviamo come △ABC ∼ △DEF.

Esempi di triangoli simili

Vari esempi di triangoli simili sono:

  • Se prendiamo due triangoli che hanno i lati nella proporzione allora sono triangoli simili.
  • I pennoni e le loro ombre rappresentano triangoli simili.

I triangoli mostrati nell'immagine qui sotto sono simili e li rappresentiamo come △ABC ∼ △PQR.

Triangoli simili

Teorema di proporzionalità di base (Teorema di Talete)

Il Teorema di Proporzionalità di Base, noto anche come Teorema di Talete, è un concetto fondamentale in geometria che si riferisce alla somiglianza dei triangoli. Afferma che se una linea è tracciata parallelamente a un lato di un triangolo, divide proporzionalmente gli altri due lati. In termini più semplici, se una linea parallela a un lato di un triangolo interseca gli altri due lati, li divide proporzionalmente.

Matematicamente, se una linea DE è tracciata parallela a un lato del triangolo ABC, intersecando i lati AB e AC rispettivamente nei punti D ed E, allora secondo il Teorema fondamentale della proporzionalità:

BD/DA = CE/HER

Questo teorema è una conseguenza della somiglianza dei triangoli formati dalla linea parallela e dai lati del triangolo originale. Nello specifico, i triangoli ADE e ABC, così come i triangoli ADC e AEB, sono simili perché gli angoli corrispondenti sono uguali. Di conseguenza, i rapporti dei lati corrispondenti in triangoli simili sono uguali, portando alla relazione di proporzionalità descritta dal Teorema di proporzionalità di base.

Il teorema di proporzionalità di base è ampiamente utilizzato in geometria e trigonometria per risolvere vari problemi che coinvolgono rette e triangoli paralleli. Serve come principio fondamentale per comprendere le proprietà di triangoli simili e le relazioni tra i loro lati e angoli corrispondenti. Inoltre, costituisce la base per concetti più avanzati di geometria, come il Teorema delle Linee Parallele e applicazioni in varie costruzioni e dimostrazioni geometriche.

Criteri dei triangoli simili

Se due triangoli sono simili devono soddisfare una delle seguenti regole,

  • Due coppie di angoli corrispondenti sono uguali. (Regola AA)
  • Tre coppie di lati corrispondenti sono proporzionali. (Regola SSS)
  • Due coppie di lati corrispondenti sono proporzionali e gli angoli corrispondenti tra loro sono uguali. (Regola SAS)

Leggi in dettaglio: Criteri per triangoli simili

Formula dei triangoli simili

Nell'ultima sezione abbiamo studiato due condizioni mediante le quali possiamo verificare se i triangoli dati sono simili oppure no. Le condizioni sono quando due triangoli sono simili; i loro angoli corrispondenti sono uguali, oppure i lati corrispondenti sono in proporzione. Utilizzando entrambe le condizioni, possiamo dimostrare che △PQR e △XYZ sono simili dal seguente insieme di formule triangolari simili.

Formula per triangoli simili in geometria

In △PQR e △XYZ se,

  1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
  2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

I due triangoli precedenti sono simili, cioè △PQR ∼ △XYZ.

Regole simili del triangolo

I teoremi di similarità ci aiutano a scoprire se i due triangoli sono simili oppure no. Quando non abbiamo la misura degli angoli o dei lati dei triangoli usiamo i teoremi di similarità.

Esistono tre tipi principali di regole di somiglianza, come indicato di seguito:

  • AA (o AAA) o Teorema della Somiglianza Angolo-Angolo
  • Teorema della similarità SAS o lato-angolo-lato
  • SSS o Teorema della Somiglianza Side-Side-Side

Teorema di similarità angolo-angolo (AA) o AAA

Il criterio di similarità AA afferma che se due angoli qualsiasi di un triangolo sono rispettivamente uguali a due angoli qualsiasi di un altro triangolo, allora devono essere triangoli simili. Una regola di similarità si applica facilmente quando conosciamo solo la misura degli angoli e non abbiamo idea della lunghezza dei lati del triangolo.

Nell'immagine riportata di seguito, se è noto che ∠B = ∠G e ∠C = ∠F:

E possiamo dire che secondo il criterio di somiglianza AA, △ABC e △EGF sono simili o △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF e ∠A = ∠E.

Teorema di similarità Side-Angle-Side o SAS

Secondo il teorema di similarità SAS, se due lati qualsiasi del primo triangolo sono esattamente proporzionali ai due lati del secondo triangolo e l'angolo formato da questi due lati dei singoli triangoli è uguale, allora devono essere triangoli simili. Questa regola viene generalmente applicata quando conosciamo solo la misura di due lati e l'angolo formato tra questi due lati rispettivamente in entrambi i triangoli.

Nell'immagine riportata di seguito, se è noto che AB/DE = AC/DF e ∠A = ∠D

E possiamo dire che secondo il criterio di somiglianza SAS, △ABC e △DEF sono simili o △ABC ∼ △DEF.

Teorema di similarità Side-Side-Side o SSS

Secondo il teorema di similarità SSS, due triangoli saranno simili tra loro se il rapporto corrispondente di tutti i lati dei due triangoli è uguale. Questo criterio viene comunemente utilizzato quando abbiamo solo la misura dei lati del triangolo e abbiamo meno informazioni sugli angoli del triangolo.

Nell'immagine riportata di seguito, se è noto che PQ/ED = PR/EF = QR/DF

E possiamo dire che secondo il criterio di somiglianza SSS, △PQR e △EDF sono simili o △PQR ∼ △EDF.

Proprietà simili dei triangoli

Triangoli simili hanno varie proprietà che sono ampiamente utilizzate per risolvere vari problemi geometrici. Alcune delle proprietà comuni dei triangoli simili:

  • La forma dei triangoli simili è fissa ma le loro dimensioni possono essere diverse.
  • Gli angoli corrispondenti di triangoli simili sono uguali.
  • I lati corrispondenti di triangoli simili hanno rapporti comuni.
  • Il rapporto tra le aree di triangoli simili è uguale al quadrato del rapporto tra i lati corrispondenti.

Come trovare triangoli simili?

Due triangoli dati possono essere dimostrati come triangoli simili utilizzando i teoremi sopra indicati. Possiamo seguire i passaggi indicati di seguito per verificare se i triangoli indicati sono simili o meno:

serpente pitone contro anaconda

Passo 1: Annota le dimensioni indicate dei triangoli (lati corrispondenti o angoli corrispondenti).

Passo 2: Controlla se queste dimensioni seguono una delle condizioni per teoremi sui triangoli simili (AA, SSS, SAS).

Passaggio 3 : I triangoli dati, se soddisfano uno qualsiasi dei teoremi di somiglianza, possono essere rappresentati utilizzando ∼ per denotare somiglianza.

Ciò può essere compreso meglio con l’aiuto del seguente esempio:

Esempio: controlla se △ABC e △PQR sono triangoli simili o no utilizzando i dati forniti: ∠A = 65°, ∠B = 70º e ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Utilizzando la misura degli angoli data, non possiamo concludere se i triangoli dati seguono o meno il criterio di somiglianza AA. Troviamo la misura del terzo angolo e valutiamola.

Sappiamo, utilizzando la proprietà della somma degli angoli di un triangolo, ∠C in △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

Allo stesso modo, ∠Q in △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Pertanto, possiamo concludere che in △ABC e △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P e ∠C = R

△ABC∼ △QPR

Area dei triangoli simili – Teorema

Il teorema dell'area dei triangoli simili afferma che per due triangoli simili il rapporto tra le aree dei triangoli è proporzionale al quadrato del rapporto dei loro lati corrispondenti. Supponiamo allora che ci siano due triangoli simili, ΔABC e ΔPQR

Secondo il Teorema del Triangolo Simile:

(Area di ΔABC)/(Area di ΔPQR) = (AB/PQ) 2 = (BC/QR) 2 = (CA/RP) 2

Differenza tra triangoli simili e triangoli congruenti

Triangoli simili e triangoli congruenti sono due tipi di triangoli ampiamente utilizzati in geometria per risolvere vari problemi. Ogni tipo di triangolo ha proprietà diverse e la differenza fondamentale tra loro è discussa nella tabella seguente.

Triangoli simili

Triangoli congruenti
I triangoli simili sono triangoli che hanno gli angoli corrispondenti uguali. I triangoli congruenti sono triangoli che hanno gli angoli corrispondenti uguali e i lati corrispondenti uguali.
Triangoli simili hanno la stessa forma ma le loro dimensioni possono essere o meno le stesse I triangoli congruenti hanno la stessa dimensione e la stessa area.
Triangoli simili non sono immagini sovrapposte l'uno dell'altro finché non vengono ingranditi o rimpiccioliti. I triangoli congruenti sono immagini sovrapposte l'uno dell'altro se disposti nell'orientamento corretto.
Triangoli simili sono rappresentati con il '~' simbolo. I triangoli congruenti sono rappresentati con il simbolo ' ≅ simbolo.
I loro lati corrispondenti sono nel rapporto. I loro lati corrispondenti sono uguali.

Applicazioni di triangoli simili

Varie applicazioni del triangolo simile che vediamo nella vita reale sono,

  • L'ombra e l'altezza di vari oggetti vengono calcolate utilizzando il concetto di triangoli simili.
  • Map Scaling utilizza il concetto del triangolo simile.
  • I dispositivi fotografici utilizzano le proprietà simili del triangolo per catturare varie immagini.
  • Il modellismo utilizza il concetto di triangoli simili.
  • Anche Navigazione e Trigonometria utilizzano l'approccio simile del triangolo per risolvere vari problemi, ecc.

Le persone visualizzano anche:

Congruenza dei triangoli

Area del triangolo

Triangolo ad angolo retto

Perimetro del triangolo

Note importanti sui triangoli simili:

  • Il rapporto tra le aree di triangoli simili è uguale al quadrato del rapporto dei loro lati corrispondenti.
  • Tutti i triangoli congruenti sono simili, ma non tutti i triangoli simili sono necessariamente congruenti.
  • Questo ' ~ Il simbolo è usato per denotare triangoli simili.

Domande risolte su triangoli simili

Domanda 1: Nella figura 1, DE || AVANTI CRISTO. Se AD = 2,5 cm, DB = 3 cm e AE = 3,75 cm. Trova AC?

Soluzione:

In △ABC, DE || AVANTI CRISTO.

AD/DB = AE/EC (per il teorema di Talete)

2,5/3 = 3,75/x, dove EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

CE = 4,5 cm

Quindi AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Domanda 2: nella figura 1 DE || AVANTI CRISTO. Se AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm e AC = 9 cm. Trovare AE?

Soluzione:

Sia AE = x cm.

In △ABC, DE || AVANTI CRISTO.

Per il Teorema di Talete abbiamo,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 centimetri

AE = 2,25 cm

Quindi AE = 2,25 cm

Domanda 3: Dimostra che una linea tracciata attraverso il punto medio di un lato di un triangolo (figura 1) parallelo a un altro lato divide in due il terzo lato.

Soluzione:

Dato un ΔΑΒC in cui D è il punto medio di AB e DE || aC, incontrando AC in E.

PER DIMOSTRARE AE = EC.

Prova: Poiché DE || a.C., per il teorema di Talete, abbiamo:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, dato)

tabella desc in mysql

AE/EC = 1

AE = EC

Domanda 4: Nella Figura 2, AD/DB = AE/EC e ∠ADE = ∠ACB. Dimostrare che ABC è un triangolo isoscele.

Soluzione:

Abbiamo AD/DB = AE/EC DE || a.C. [per il contrario del teorema di Talete]

∠ADE = ∠ABC (∠s corrispondenti)

Ma ∠ADE = ∠ACB (dato).

Quindi, ∠ABC = ∠ACB.

Quindi AB = AC [lati opposti ad angoli uguali].

Quindi, △ABC è un triangolo isoscele.

Domanda 5: Se D ed E sono punti rispettivamente sui lati AB e AC di △ABC (figura 2) tali che AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm e AE = 1,8 cm, dimostrare che DE | | AVANTI CRISTO.

Soluzione:

Dato, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm e AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 e AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Quindi, per inverso del Teorema di Talete, DE || AVANTI CRISTO.

Domanda 6: Dimostra che il segmento che unisce i punti medi di due lati qualsiasi di un triangolo (figura 2) è parallelo al terzo lato.

istruzione switch Java

Soluzione:

In △ABC in cui D ed E sono rispettivamente i punti medi di AB e AC.

Poiché D ed E sono rispettivamente i punti medi di AB e AC, abbiamo:

AD = DB e AE = EC.

AD/DB = AE/EC (ciascuno uguale a 1)

Quindi, per inverso del Teorema di Talete, DE || AVANTI CRISTO

Link importanti relativi alla matematica:

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Domande pratiche Triangoli simili

Q1. In due triangoli simili △ABC e △ADE, se DE || BC e AD = 3 cm, AB = 8 cm e AC = 6 cm. Trova AE.

Q2. In due triangoli simili △ABC e △PQR, se QR || BC e PQ = 2 cm, AB = 12 cm e AC = 9 cm. Trova PR.

Q3. In due triangoli simili ΔABC e ΔAPQ, la lunghezza dei lati è data come AP = 9 cm, PB = 12 cm e BC = 24 cm. Trova il rapporto tra le aree di ΔABC e ΔAPQ.

Q4. In due triangoli simili ΔABC e ΔAPQ, la lunghezza dei lati è data come AP = 3 cm, PB = 4 cm e BC = 8 cm. Trova il rapporto tra le aree di ΔABC e ΔAPQ.

Sommario – Triangoli simili

I triangoli simili sono figure geometriche che condividono la stessa forma ma differiscono per dimensioni, caratterizzate da angoli corrispondenti uguali e lati corrispondenti proporzionali. Teoremi chiave come Angolo-Angolo (AA), Side-Angle-Side (SAS) e Side-Side-Side (SSS) stabiliscono i criteri per la somiglianza dei triangoli.

Questi principi sono fondamentali in campi come l'ingegneria, la computer grafica e l'architettura grazie alla loro capacità di mantenere l'integrità della forma sotto ridimensionamento. Il Teorema di Talete, o Teorema di Proporzionalità di Base, illustra come una linea parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due proporzionalmente, dimostrando ulteriormente il concetto di somiglianza nei triangoli.

Triangoli simili sono cruciali per applicazioni pratiche che vanno dal calcolo di altezze e distanze nella navigazione all’ottimizzazione dei progetti nella tecnologia e nell’edilizia, dimostrando la loro rilevanza di ampia portata sia in contesti accademici che nel mondo reale.

Triangoli simili – Domande frequenti

Cosa sono i triangoli simili di classe 10?

I triangoli simili sono i triangoli che hanno tutti gli angoli uguali e i loro lati hanno un rapporto comune. Hanno una forma simile ma non un'area simile.

Quali sono le formule dei triangoli simili?

Le formule dei triangoli simili sono le formule che ci dicono se due triangoli sono simili o no. Per due triangoli △ABC e △XYZ, la formula dei triangoli simili è:

  • ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y e ∠C = ∠Z
  • AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Quale simbolo viene utilizzato per rappresentare i triangoli simili?

Triangoli simili sono rappresentati utilizzando il simbolo '~'. Se due triangoli △ABC e △XYZ sono simili li rappresentiamo come, △ABC ~ △XYZ, si legge come triangolo ABC simile al triangolo XYZ.

Quali sono i 3 teoremi dei triangoli simili?

Possiamo facilmente dimostrare che due triangoli sono simili usando il teorema dei tre triangoli che sono,

  • AA (o AAA) o Teorema della Somiglianza Angolo-Angolo
  • Teorema della similarità SAS o lato-angolo-lato
  • SSS o Teorema della Somiglianza Side-Side-Side

Quali sono le proprietà dei triangoli simili?

Le proprietà importanti del triangolo simile sono,

  • Triangoli simili hanno forme fisse ma le loro dimensioni possono essere diverse.
  • Gli angoli corrispondenti sono uguali in un triangolo simile.
  • I lati corrispondenti hanno rapporti comuni in un triangolo simile.

Come sapere se due triangoli sono simili?

Se tutti gli angoli di un triangolo sono uguali allora possiamo facilmente dire che i triangoli sono simili.

Quali triangoli sono sempre simili?

Il triangolo sempre simile è un triangolo equilatero. Poiché tutti gli angoli dei triangoli equilateri sono sempre di 60 gradi, due triangoli equilateri sono sempre simili.

Cos'è l'area dei triangoli simili?

Il rapporto tra l'area di due triangoli simili è sempre uguale al rapporto tra i quadrati dei loro lati. Per due triangoli △ABC e △XYZ, possiamo dire che,

  • area △ABC / area △XYZ = (AB / XY)2

Che cosa sono i criteri del triangolo simile?

I criteri dei triangoli simili sono i criteri in cui possiamo dichiarare tre triangoli come triangoli simili e questi tre criteri sono,

  • Criteri AAA (criteri angolo-angolo)
  • Criteri SAS (criteri lato-angolo-lato)
  • Criteri SSS (criteri lato-lato-lato)

Chi è il padre dei triangoli simili?

Euclide, l'antico matematico greco spesso definito il padre della geometria, fornì i principi fondamentali per comprendere triangoli simili nella sua opera Elementi.

Triangoli simili sono proporzionali?

Sì, i triangoli simili sono proporzionali. Ciò significa che i lati corrispondenti di triangoli simili sono in proporzione, il che implica che il rapporto tra i lati corrispondenti di triangoli simili rimane costante.

Quali triangoli sono sempre simili?

I triangoli che hanno gli stessi tre angoli sono sempre simili. Questa è una proprietà fondamentale nota come criterio di similarità Angolo-Angolo (AA).

Tutti i triangoli rettangoli sono simili?

No, non tutti i triangoli rettangoli sono simili. Sebbene i triangoli rettangoli con gli stessi angoli acuti siano simili, la lunghezza dell'ipotenusa e il rapporto tra le lunghezze dei lati possono differire, portando a una non somiglianza tra i triangoli rettangoli.

Qual è il rapporto tra due triangoli simili?

Il rapporto tra due lati corrispondenti in triangoli simili rimane costante. Ciò significa che se prendi i lati corrispondenti di triangoli simili e formi un rapporto, il risultato sarà sempre lo stesso, indipendentemente dalla lunghezza specifica dei lati scelta.