La forma standard dell'equazione quadratica è ascia ² + bx + c = 0 , dove a, b e c sono costanti e x è una variabile. La forma standard è un modo comune di rappresentare qualsiasi notazione o equazione. Le equazioni quadratiche possono anche essere rappresentate in altre forme come,

• Forma del vertice: un(x-h) ² + k = 0
• Modulo di intercettazione: a(x – p)(x – q) = 0

Forma standard dell'equazione quadratica

In questo articolo impareremo la forma standard dell'equazione quadratica, trasformandola nella forma standard dell'equazione quadratica e altre in dettaglio.

Forma standard dell'equazione quadratica

Forma standard di un'equazione quadratica

Equazioni quadratiche sono equazioni di secondo grado in una singola variabile e la forma standard delle equazioni quadratiche è data come segue:

ascia ² + bx + c = 0

Dove,

• un, b, E C sono numeri interi
• un ≠ 0
• 'a' è il coefficiente di x²
• 'b' è il coefficiente di x
• 'c' è la costante

Esempi di forma standard di equazione quadratica

Vari esempi dell'equazione quadratica in forma standard sono,

• 11x²– 13x + 18 = 0
• (-14/3)x²+ 2/3x – 1/4 = 0
• (-√12)x²– 8x = 0
• -3x²+9 = 0

Forma generale dell'equazione quadratica

La forma generale dell'equazione quadratica è simile alla forma standard dell'equazione quadratica. La forma generale dell'equazione quadratica è ax²+ bx + c = 0 dove a, b e c sono Numeri reali E un ≠ 0 .

Saperne di più

• Funzione quadratica
• Equazione standard della parabola

Convertire le equazioni quadratiche nella forma standard

Conversione di equazioni quadratiche in forma standard

Passo 1: Riorganizza l'equazione in modo che i termini siano in ordine di grado decrescente (dal più alto al più basso).

Passo 2: Combina eventuali termini simili, ovvero aggiungi e sottrai termini simili.

Passaggio 3: Assicurarsi che il coefficiente 'a' di x²il termine è positivo Se è negativo, moltiplica l'intera equazione per -1.

Passaggio 4: Se manca un termine, ad esempio un termine con x, aggiungi 0.x.

Esempio di conversione delle equazioni quadratiche nella forma standard

Comprendiamo il concetto di conversione delle equazioni quadratiche nella forma standard utilizzando il seguente esempio:

Esempio: converti la seguente equazione lineare in forma standard: 2x ² – 5x = 2x – 3

Passo 1: Riorganizzare l'equazione.

2x ² – 5x – 2x + 3 = 0

Passo 2: Combina termini simili.

2x ² – 7x + 3 = 0

Passaggio 3: Il coefficiente del termine principale è già positivo, quindi non è necessario moltiplicarlo per -1.

Passaggio 4: Non mancano termini di s.

Così, 2x ² – 7x + 3 = 0 è la forma standard dell'equazione data.

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Converti la forma standard dell'equazione quadratica nella forma del vertice

Sappiamo che la forma standard di un'equazione quadratica è ax²+ bx + c = 0 e la forma del vertice è un(x-h) ² + k = 0 (dove (h, k) è il vertice della funzione quadratica.

Ora possiamo convertire facilmente la forma standard nella forma dei vertici confrontando queste due equazioni come,

ascia²+ bx + c = a (x – h)²+K

⇒ ascia²+ bx + c = a(x²– 2xh+h²) + k

⇒ ascia²+ bx + c = ascia²– 2ahx + (ah²+k)

Confrontando i coefficienti di x su entrambi i lati,

b = -2ah

⇒ h = -b/2a … (1)

Confrontando le costanti su entrambi i lati,

c = ah²+K

⇒ c = a (-b/2a)²+ k (Da (1))

⇒ c = b²/(4a) + k

⇒ k = c – (b²/4a)

⇒ k = (4ac – b ² ) / (4a)

Ora le formule h = -b/2a e k = (4ac – b²) /(4a) vengono utilizzati per convertire lo standard nella forma dei vertici.

Esempio di conversione della forma standard in forma vertice

Considera l'equazione quadratica 3x²– 6x + 4 = 0. Confrontandolo con ax²+ bx + c = 0, otteniamo a = 3, b = -6 e c = 4. Ora per la forma del vertice, abbiamo trovato h e k

h = -b/2a

⇒ h = -(-6) / (2,3) = 1

⇒ k = (4ac – b²) / (4a)

⇒ k = (4.3.4 – (-6)²) / (4.3)

⇒ k = (48 – 36) / 12 = 1

Sostituendo a = 3, h = 1 e k = 1, il vertice forma a(x – h)²+ k = 0 è,

3(x-1)²+1 = 0

Conversione della forma vertice in forma standard

Possiamo facilmente convertire la forma del vertice di un'equazione quadratica nella forma standard semplicemente risolvendo (x-h) ² = (x – h) (x – h) e semplificando.

Consideriamo l'esempio sopra 2(x – 1)²+ 1 = 0 e riconvertirlo nella forma standard.

3(x-1)²+1 = 0 (Forma vertice)

⇒ 3(x²– x – x + 1) + 1 = 0

⇒ 3(x²– 2x + 1) + 1 = 0

⇒ 3x²– 6x + 3 + 1 = 0

⇒ 3x²– 6x + 4 = 0… (io) (Modulo standard)

Equazione (io) è la forma standard richiesta della forma quadratica.

Conversione della forma standard dell'equazione quadratica nella forma dell'intercetta

Sappiamo che la forma standard di un'equazione quadratica è ax²+ bx + c = 0 e la forma del vertice è a(x – p)(x – q) = 0 dove (p, 0) e (q, 0) sono rispettivamente l'intercetta x e l'intercetta y.

Ora possiamo convertire facilmente la forma standard nella forma intercettata da Risoluzione di equazioni quadratiche poiché p e q sono le radici dell'equazione quadratica.

Esempio di conversione del modulo standard in modulo intercetta

Considera l'equazione quadratica 3x²– 8x + 4 = 0. Confrontandolo con ax²+ bx + c = 0, otteniamo a = 3, b = -8 e c = 4. Ora troviamo le radici dell'equazione quadratica come

3x²– 8x + 4 = 0

⇒ 3x²– (6+2)x + 4 = 0

⇒ 3x²– 6x – 2x + 4 = 0

⇒ 3x(x – 2) -2(x – 2) = 0

⇒ (3x -2)(x – 2) = 0

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⇒ (3x -2) = 0 e (x – 2) = 0

⇒ x = 2/3 e x = 2

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Pertanto, la forma dell'intercetta dell'equazione quadratica è,

a(x – p)(x – q) = 0

⇒ 3(x – 2/3)(x – 2) = 0

⇒ (3x -2)(x – 2) = 0

Converti il ​​modulo di intercettazione in modulo standard

Possiamo facilmente convertire la forma del vertice di un'equazione quadratica nella forma standard semplicemente risolvendo (x – p)(x – q) = 0 e semplificando.

Consideriamo l'esempio precedente (3x -2)(x – 2) = 0 e riconvertiamolo nella forma standard.

(3x -2)(x – 2) = 0 (Modulo di intercettazione)

⇒ 3x²– 6x – 2x + 4 = 0

⇒ 3x²– 8x + 4 = 0… (io) (Modulo standard)

Equazione (io) è la forma standard richiesta della forma quadratica.

Per saperne di più

• Formula quadratica
• Radici delle equazioni quadratiche
• Relazione tra zeri e coefficienti di un polinomio

Esempi di equazioni quadratiche in forma standard

Esempio 1: converti l'equazione quadratica data 2x – 9 = 7x ² in forma standard.

Soluzione:

Data l'equazione quadratica,

2x – 9 = 7x²

La forma standard dell'equazione quadratica è ax²+ bx + c = 0

⇒ 2x = 7x²+9

⇒ 7x²– 2x + 9 = 0

Quindi la forma standard di una determinata equazione è 7x ² – 2x + 9 = 0.

Esempio 2: converti l'equazione quadratica data (2x/7)-1 = 2x ² in forma standard.

Soluzione:

Data l'equazione,

(2x/7) – 1 = 2x²

⇒ (2x-7(1))/7 = 2x²

⇒ (2x-7)/7 = 2x²

⇒ 2x – 7 = 7(2x²)

⇒ 2x – 7 = 14x²

⇒ 14x²– 2x + 7 = 0

Quindi la forma standard di una data equazione è 14x ² – 2x + 7 = 0

Esempio 3: convertire l'equazione data (2x ³ /x) + 4 = 2x nella forma standard.

Soluzione:

Data l'equazione,

(2x³/x) + 4 = 2x

Uno degli x in x³viene annullato dalla x al denominatore per formare x²

⇒ 2x²+4 = 2x

⇒ 2x²– 2x + 4 = 0

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L'equazione di cui sopra è ulteriormente semplificata per dare x²–x+2 = 0

Quindi la forma standard dell'equazione data è x ² –x+2 = 0

Esempio 4: Converti l'equazione quadratica data nella forma standard (3/x) – 2x = 5.

Soluzione:

Data l'equazione: (3/x) – 2x = 5

⇒ (3-2x(x))/x = 5

⇒ (3-2x²)/x = 5

⇒ 3-2x²= 5x

⇒ 2x²+ 5x – 3 = 0

Quindi la forma standard di una determinata equazione quadratica è 2x ² + 5x – 3 = 0.

Domande pratiche sulla forma standard dell'equazione quadratica

Q1. Converti la seguente equazione quadratica dalla forma standard a quella dei vertici: x ² – 4x + 1 = 0.

Q2. Converti la seguente equazione quadratica dalla forma standard alla forma intercetta: 2x ² +9x+24 = 0.

Q3. Converti la seguente equazione quadratica dalla forma standard a quella dei vertici: -4x ² – 12x + 16 = 0.

Q4. Converti la seguente equazione quadratica dalla forma standard alla forma intercetta: 11x ² +8x+* = 0.

Forma standard dell'equazione quadratica – Domande frequenti

Cos'è la formula in formato standard?

La formula della forma standard è un modo comune di rappresentare qualsiasi notazione o equazione, poiché la forma standard è accettata come standard da un ampio gruppo di persone.

Cos'è la formula in forma standard per le equazioni lineari?

La forma standard di un'equazione lineare con due variabili xey è data come segue:

ascia + by = c

Dove un, b, E C sono numeri interi.

Qual è la forma standard dell'equazione quadratica?

La forma standard dell'equazione quadratica è data come segue:

ascia ² + bx + c = 0

Dove,

• un, b, E C sono numeri interi e
• un ≠ 0 .

Cos'è la formula in forma standard per i polinomi?

La formula della forma standard per un polinomio di n grado è:

UN ₁ X ^N +a ₂ X ^n-1 +a ₃ X ^n-2 +. . . +a _N x + c = 0

Dove,

• UN ₁ , UN ₂ , UN ₃ , … UN _N sono coefficienti
• N è il grado dell'equazione
• X è una variabile dipendente
• C è il termine numerico costante

Quali sono gli esempi di equazioni quadratiche in forma standard?

Vari esempi di equazioni quadratiche in forma standard sono:

• 3x²– 4x + 2 = 0
• X²– 11x + (11/2) = 0
• -X²+ 11 = 0, ecc

Come si scrive un'equazione quadratica in forma standard?

Un'equazione quadratica in forma standard si scrive come ax²+ bx + c = 0.

Qual è la forma standard di un'equazione quadratica con esempi?

La forma standard dell'equazione quadratica è ax2 + bx + c = 0. E alcuni esempi di equazioni quadratiche sono:

• 2x²+ 5x – 11 = 0
• 3x²+ 11x – 6 = 0, ecc.