Area superficiale di un prisma: In matematica, un prisma è un membro essenziale della famiglia dei poliedri ed è definito come una forma tridimensionale avente due poligoni identici uno di fronte all'altro collegati lateralmente da facce rettangolari o a parallelogramma. I poligoni identici possono essere triangoli, quadrati, rettangoli, pentagoni o qualsiasi altro poligono con n lati e sono chiamati basi del prisma. Le altre facce di un prisma sono parallelogrammi o rettangoli.
In questo articolo, discuteremo diversi tipi di prismi e la formula della superficie della formula del prisma, con esempi e problemi pratici.
Tabella dei contenuti
- Qual è la superficie del prisma?
- Diversi tipi di prismi
- Formula dell'area superficiale del prisma
- Area superficiale di un prisma Esempi risolti
- Problemi pratici sulla superficie di un prisma
Qual è la superficie del prisma?
La superficie di un prisma è definita come l'area totale racchiusa da tutte le sue facce. Per determinare la superficie di un prisma, dobbiamo calcolare le aree di ciascuna delle sue facce e quindi sommare le aree risultanti. Un prisma ha due tipi di superfici, vale a dire la superficie laterale e la superficie totale. L’area occupata dalle facce di un prisma, escluse le due facce parallele (basi di un prisma), viene definita area della superficie laterale.
La superficie laterale di un prisma = [perimetro base × altezza] unità quadrate
Ora, la superficie totale di un prisma è la somma delle aree delle sue due basi e della sua superficie laterale.
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La formula generale per calcolare la superficie totale di qualsiasi tipo di prisma retto è:
La superficie totale di un prisma = [2 (area di base) + (perimetro di base × altezza)] unità quadrate
Diversi tipi di prismi
Esistono diversi tipi di prismi in base alla forma della base di un prisma, come ad esempio
- Prismi triangolari,
- Prismi quadrati,
- Prismi rettangolari,
- Prismi pentagonali,
- Prismi esagonali,
- Prismi ottagonali.
Prisma triangolare
Un prisma con base triangolare viene chiamato prisma triangolare. Un prisma triangolare è formato da tre superfici rettangolari inclinate e due basi triangolari parallele. Sia H l'altezza del prisma triangolare; a, b e c sono le lunghezze dei lati e h è l'altezza delle basi triangolari.
Il perimetro di una base triangolare (P) = Somma dei suoi tre lati = a + b + c
L'area di una base triangolare (A) = ½ × base × altezza = ½ bh
Sappiamo che la formula generale per il l'area della superficie laterale di un prisma retto è L. S. A. = PH, dove P è il perimetro di base e A è l'area di base.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo ,
La superficie laterale di un prisma triangolare = (a + b +c)H unità quadrate
Dove,
a, b, c sono i lati della base triangolare
H è l'altezza del prisma triangolare
Sappiamo che la formula generale per calcolare la superficie totale di un prisma retto è T. S. A. = PH+2A, dove P è il perimetro di base, A è l'area di base e H è l'altezza del prisma.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo
La superficie totale del prisma triangolare = (a + b + c)H + 2 × (½ bh)
La superficie totale del prisma triangolare = (a + b + c)H + bh unità quadrate
Dove,
a, b, c sono i lati della base triangolare
H è l'altezza del prisma triangolare
h è l'altezza del triangolo
Prisma rettangolare
Un prisma a base rettangolare viene detto prisma rettangolare. Un prisma rettangolare è formato da quattro superfici rettangolari e due basi rettangolari parallele. Sia h l’altezza del prisma e l e w rispettivamente la lunghezza e la larghezza delle sue basi rettangolari .
Il perimetro di una base rettangolare (P) = Somma dei suoi quattro lati = 2 (l + w)
L'area di una base rettangolare (A) = lunghezza × larghezza = l × w
Sappiamo che la formula generale per la superficie laterale di un prisma retto è L. S. A. = PH, dove P è il perimetro di base e A è l'area di base.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo ,
La superficie laterale di un prisma rettangolare = 2h(l + w) unità quadrate
Dove,
l è la lunghezza
w è la larghezza
h è l'altezza
Sappiamo che la formula generale per la superficie totale di un prisma retto è T. S. A. = PH+2A, dove P è il perimetro di base, A è l'area di base e H è l'altezza del prisma.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo
La superficie totale del prisma rettangolare = 2h(l + w) + 2(l × w)
= 2 sx + 2 bi + 2 sx
La superficie totale del prisma rettangolare = 2 (lh + wh + lw) unità quadrate
Dove,
l è la lunghezza
w è la larghezza
h è l'altezza
Prisma quadrato
Un prisma a base quadrata viene detto prisma quadrato. Un prisma quadrato è formato da quattro superfici rettangolari e due basi quadrate parallele. Sia h l’altezza del prisma e s le lunghezze delle sue basi quadrate.
Il perimetro di una base quadrata (P) = Somma dei suoi quattro lati = s + s + s + s = 4s
L'area di una base quadrata (A) = (lunghezza del lato)2= s2
Sappiamo che la formula generale per la superficie laterale di un prisma retto è L. S. A. = PH, dove P è il perimetro di base e A è l'area di base.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo,
La superficie laterale di un prisma quadrato = 4sh unità quadrate
Dove,
s è il lato della base quadrata
h è l'altezza del prisma quadrato
Sappiamo che la formula generale per calcolare la superficie totale di un prisma retto è T.S.A. = PH+2A, Dove P è il perimetro della base, A è l'area di base e H è l'altezza del prisma.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale, otteniamo
La superficie totale del prisma quadrato = [4sh + 2s 2 ] unità quadrate
Dove,
s è il lato della base quadrata
h è l'altezza del prisma quadrato
Prisma pentagonale
Un prisma con base pentagonale si chiama prisma pentagonale. Un prisma pentagonale è formato da cinque superfici rettangolari inclinate e due basi pentagonali parallele. Sia h l'altezza del prisma pentagonale; a e b siano la lunghezza dell'apotema e le lunghezze dei lati delle basi pentagonali.
Il perimetro di una base pentagonale (P) = Somma dei suoi cinque lati = 5b
L'area di una base pentagonale (A) = 5/2 x (lunghezza dell'apotema) x (lunghezza del lato) = 5ab
Sappiamo che la formula generale per la superficie laterale di un prisma retto è L. S. A. = PH, dove P è il perimetro di base e A è l'area di base.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo,
La superficie laterale di un prisma pentagonale = 5bh unità quadrate
Dove,
normalizzazione rdbmsb è il lato della base pentagonale
h è l'altezza del prisma pentagonale
Sappiamo che la formula generale per la superficie totale di un prisma retto è T. S. A. = PH+2A, dove P è il perimetro di base, A è l'area di base e H è l'altezza del prisma.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo,
La superficie totale del prisma pentagonale = [5bh + 5ab] unità quadrate
Dove,
b è il lato della base pentagonale
a è la lunghezza dell'apotema.
h è l'altezza del prisma pentagonale
Prisma esagonale
Un prisma a base esagonale viene detto prisma esagonale. Un prisma esagonale è formato da sei superfici rettangolari inclinate e due basi esagonali parallele. Sia h l'altezza del prisma esagonale; a siano le lunghezze dei lati delle basi esagonali.
Il perimetro di una base esagonale (P) = Somma dei suoi sei lati = 6a
L'area di una base esagonale (A) = 6 x (Area di un triangolo equilatero)
A = 6 x (√3a2/4) ⇒ A = 3√3a2/2
Sappiamo che la formula generale per la superficie laterale di un prisma retto è L. S. A. = PH, dove P è il perimetro di base e A è l'area di base.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo,
La superficie laterale di un prisma esagonale = 6ah unità quadrate
Dove,
a è il lato della base esagonale
h è l'altezza della base esagonale
Sappiamo che la formula generale per la superficie totale di un prisma retto è T. S. A. = PH+2A, dove P è il perimetro di base, A è l'area di base e H è l'altezza del prisma.
Sostituendo tutti i valori nella formula generale otteniamo
La superficie totale del prisma esagonale = [6ah +3√3a2] unità quadrate
Dove,
a è il lato della base esagonale
h è l'altezza della base esagonale:
Formula dell'area superficiale del prisma
La tabella seguente fornisce la formula per i diversi tipi di prismi:
Forma | Base del prisma | Superficie laterale[Perimetro base × altezza] | Superficie totale[(2 × area di base) + (perimetro di base × altezza)] |
|---|---|---|---|
Prisma triangolare | Triangolo | (a + b +c)H unità quadrate | (a + b + c)H + bh unità quadrate |
Prisma rettangolare | Rettangolo | 2h(l + w) unità quadrate | 2 (lh + wh + lw) unità quadrate |
Prisma quadrato | Piazza | 4sh unità quadrate | [4sh + 2s2] unità quadrate |
Prisma pentagonale | Pentagono | 5bh unità quadrate | [5ab + 5bh] unità quadrate |
Prisma esagonale | Esagono | unità quadrate 6ah | [3√3a2+ 6ah] unità quadrate |
Area superficiale di un prisma Esempi risolti
Problema 1: Qual è l'altezza di un prisma la cui area di base è di 36 unità quadrate, il suo perimetro di base è di 24 unità e la sua superficie totale è di 320 unità quadrate?
Soluzione:
Dati i dati,
Area di base = 36 unità quadrate
Perimetro base = 24 unità
La superficie totale del prisma = 320 unità quadrate
Abbiamo,
La superficie totale del prisma = (2 × area di base) + (perimetro di base × altezza)
⇒ 320 = (2 × 36)+ (24 × h)
⇒ 24 ore = 248 ⇒ ore = 10,34 unità
Quindi, l'altezza del prisma dato è 10,34 unità.
Problema 2: Trova la superficie totale di un prisma quadrato se l'altezza del prisma e la lunghezza del lato della base quadrata sono rispettivamente 13 cm e 4 cm.
Soluzione:
Dati i dati,
L'altezza del prisma quadrato (h) = 13 cm
La lunghezza del lato della base quadrata (a) = 4 cm
Lo sappiamo,
La superficie totale di un prisma quadrato = 2a2+4ah
= 2×(4)2+4×4×13
= 32 + 208 = 240 centimetri2
Quindi, la superficie totale del prisma dato è 240 cmq.
Problema 3: Determina la lunghezza della base di un prisma pentagonale se la sua area totale è 100 unità quadrate e la sua altezza e lunghezza dell'apotema sono rispettivamente 8 unità e 5 unità.
Soluzione:
Dati i dati,
La superficie totale del prisma pentagonale = 100 unità quadrate
L'altezza del prisma (h) = 8 unità
Lunghezza dell'apotema (a) = 5 unità
Lo sappiamo,
La superficie totale del prisma pentagonale = 5ab + 5bh
⇒ 100 = 5b (a+ h)
⇒ 100/5 = b (5 + 8)
⇒ 20 = b × (13) ⇒ b = 25/16 = 1,54 unità
Quindi, la lunghezza di base è 1,54 unità
Problema 4: Determina l'altezza del prisma rettangolare e l'area totale di un prisma rettangolare se la sua superficie laterale è 540 cm quadrati e la lunghezza e la larghezza della base sono rispettivamente 13 cm e 7 cm.
Soluzione:
Dati i dati,
La lunghezza della base rettangolare (l) = 13 cm
La larghezza della base rettangolare (w) = 7 cm
La superficie laterale del prisma = 540 cmq
Abbiamo,
La superficie laterale del prisma = perimetro di base × altezza
⇒ 540 = 2 (l + l) h
⇒ 2 (13 + 7) h = 540
⇒ 2 (20) h = 540 ⇒ h = 13,5 cm
Lo sappiamo,
La superficie totale del prisma rettangolare = 2 (lw + wh + lh)
= 2 × (13 × 7 + 7 × (13,5) + 13 × (13,5))
= 2 × (91 + 94,5 + 175,5) = 722 cmq
Quindi, l'altezza e la superficie totale del prisma rettangolare dato sono rispettivamente 13,5 cm e 722 cm quadrati.
Problema 5: Determina l'area superficiale del prisma esagonale regolare se l'altezza del prisma è 12 pollici e la lunghezza del lato della base è 5 pollici.
Soluzione:
Dati i dati,
L'altezza del prisma (h) = 12 pollici
La lunghezza del lato della base (a) = 6 pollici
La superficie di un prisma esagonale regolare = 6ah + 3√3a2
= 6 × 5 × 12 + 3√3(5)2
= 360 + 75√3
= 360 + 75 × (1,732) = 489,9 pollici quadrati
Quindi, la superficie del prisma dato è 489,9 pollici quadrati.
Problema 6: Calcola le aree laterali e totali di un prisma triangolare il cui perimetro di base è 25 pollici, la lunghezza della base e l'altezza del triangolo sono 9 pollici e 10 pollici e l'altezza del prisma è 14 pollici.
Soluzione:
Dati i dati,
L'altezza del prisma (H) = 14 pollici
Il perimetro di base del prisma (P) = 25 pollici
La lunghezza della base del triangolo = 9 pollici
L'altezza del triangolo = 10 pollici
Lo sappiamo,
La superficie laterale del prisma = perimetro di base × altezza
= 25 × 14= 350 pollici quadrati
in grassetto il testo in cssArea della base triangolare (A) = ½ × base × altezza = 1/2 × 9 × 10 = 45 pollici quadrati
La superficie totale del prisma triangolare = 2A + PH
= 2 × 45 + 25 × 14 = 90 + 350 = 440 pollici quadrati
Pertanto, le superfici laterali e totali del prisma sono rispettivamente di 350 pollici quadrati e 440 pollici quadrati.
Problemi pratici sulla superficie di un prisma
1. Dato un prisma rettangolare di dimensioni:
- Lunghezza = 6 cm
- Larghezza = 4 cm
- Altezza = 5 cm
Calcola la superficie totale.
2. Considera un prisma triangolare con dimensioni:
- Base del triangolo = 8 cm
- Altezza del triangolo = 6 cm
- Lunghezza del prisma = 10 cm
Trova la superficie totale.
3. Determina l'area superficiale di un prisma pentagonale regolare con:
- Lunghezza laterale della base = 7 cm
- Altezza del prisma = 9 cm.
4. Calcola la superficie di un prisma esagonale con:
- Lunghezza del lato della base esagonale regolare = 10 cm
- Altezza del prisma = 12 cm.
Area superficiale di un prisma – Domande frequenti
Cos'è un prisma in geometria?
Un prisma è una forma tridimensionale con due basi parallele congruenti e facce laterali rettangolari o a parallelogramma che le collegano. I prismi sono disponibili in varie forme, come prismi rettangolari, prismi triangolari e prismi pentagonali, ciascuno con caratteristiche uniche.
Come si trova l'area superficiale di un prisma?
Per trovare l'area della superficie di un prisma, calcola le aree di tutte le sue facce e poi sommale. Per un prisma rettangolare, la formula dell'area superficiale è 2lw + 2lh + 2wh, dove l è la lunghezza, w è la larghezza e h è l'altezza. Per altri tipi di prismi, come quelli triangolari o pentagonali, potrebbero essere necessarie formule aggiuntive per l'area di base e l'area laterale.
Quali sono le proprietà di un prisma?
I prismi hanno diverse proprietà chiave:
- Hanno due basi parallele congruenti.
- Le facce laterali sono tutte parallelogrammi.
- L'altitudine (altezza) è la distanza perpendicolare tra le due basi.
- Le basi sono identiche per forma e dimensione.
- La sezione parallela alle basi ha sempre la stessa forma e dimensione delle basi.
Quali sono alcuni esempi di prismi nella vita reale?
I prismi possono essere trovati in vari oggetti e strutture di uso quotidiano. Esempi inclusi:
- Prismi rettangolari: edifici, scatole di cereali, libri.
- Prismi triangolari: Tetti di case, oggetti a forma di cuneo.
- Prismi pentagonali: alcuni tipi di colonne, alcune strutture architettoniche.
- Prismi esagonali: alcuni tipi di cristalli, alcuni contenitori per imballaggi.
Perché la superficie è importante nei prismi?
L'area superficiale è fondamentale nei prismi poiché rappresenta l'area totale di tutte le superfici (facce) del prisma. Comprendere l'area superficiale aiuta in varie applicazioni pratiche, come il calcolo della quantità di materiale necessario per costruire o coprire un oggetto a forma di prisma, la determinazione delle velocità di trasferimento del calore e l'ottimizzazione del design dell'imballaggio.